八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版）

專題L5期中考試重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

【浙教版】

【知識(shí)點(diǎn)1】三角形的基本概念

三角形：不在同??條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形。

【知識(shí)點(diǎn)2】三角形的分類

1.按角分：銳角三角形、宜角三角形、鈍角三角形（定義，區(qū)別）。

2.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。

【知識(shí)點(diǎn)3】三角形的基本性質(zhì)

1.三角形的內(nèi)角和是180%

2.三角形的任何兩邊的和大于第三邊（由兩點(diǎn)之間線段最短得到）。

三角形的任何兩邊的差小于第三邊

三角形的任何兩邊之和大于第三邊大于兩邊之差。

應(yīng)用：知兩條確定第三條范圍；知三條判斷能否組成三角形；知四條及以上

3.三角形的外角：由三角形一條邊的延長(zhǎng)線和另一條相鄰的邊組成的角。

三角形的一個(gè)外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（教材P7做一做）。

【知識(shí)點(diǎn)4】幾條重要的線

1.三角形的角平分線：?個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與對(duì)邊交點(diǎn)的連線段叫做三角形的角平分

線；三條角平分線都在三角形內(nèi)且相交于一點(diǎn)；

2.三角形的中線：連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段；三條中線都在三角形內(nèi)且相交于一點(diǎn)；

3.三角形的高；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線段。

銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部相交于一點(diǎn)。

直角三角形的直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，三條高在三角形的直角頂點(diǎn)處相交于一點(diǎn)。

鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高都在三角形的外部，三條高在三角形的外部相交于一點(diǎn)。

會(huì)帶來面枳問題、直角、直角三角形

4.線段的垂直平分線（中垂線）：垂直并平分一條線段的直線。

中垂線性質(zhì)：線段的中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

5.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

逆定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

【知識(shí)點(diǎn)5】全等三角形

1.全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形。形狀相同、大小相等的圖形；

2.全等三角形：能夠完全重合的法個(gè)三角形。

3.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：能夠相互重合的頂點(diǎn)；

對(duì)應(yīng)邊：相互重合的邊；有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；

對(duì)應(yīng)角：相互重合的角。有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

性質(zhì)定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。注意“對(duì)應(yīng)”二字。

SSS——三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

SAS——一個(gè)角和夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

ASA——兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

AAS——兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

問題：為什么SSA不可以判定？

HL——直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

用符號(hào)且表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

【知識(shí)點(diǎn)6】靈活運(yùn)用全等判定定理

1.判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件

時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性.

2.要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。

3.要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。

（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等（AAS）

（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等（SAS）②第三組邊也相等（SSS）

（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等（AAS或ASA）②夾等角的另一組邊相等（SAS）

【知識(shí)點(diǎn)7】尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：在幾何作圖中，我們把用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，簡(jiǎn)稱尺規(guī)作圖。

1.基本作圖作等量線段、作等量角、作線段的和差倍、作角的和差倍、

2.作線段的中垂線、作角的平分線、中垂線角平分線在?起作、

3.作三角形知三邊、知兩邊夾角、知兩角夾邊、知一邊及該邊上的高

作法：有規(guī)定名稱時(shí)需格外注意字母的標(biāo)注

注意務(wù)必考慮三角形的各要素（類比于三角形全等的判定條件）。

【知識(shí)點(diǎn)8】定義、命題與證明

I.定義：能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。

2.命題：定義：判斷某一件事情的句子

結(jié)構(gòu)：由條件和結(jié)論兩部分組成。

句式改寫：如果……那么……

分類：真命題通過推理的方式來判斷、人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐公認(rèn)為正確的

假命題通過舉反例（具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例）

3.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)

命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆

命題.

4.互逆定理.：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一

個(gè)的逆定理.

5.證明：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)己知的定義、基本事實(shí)、定理（包括推論）、一步一步推得結(jié)論成立的推理

過程。

證明幾何命題的格式：（1）按電意畫出圖形⑵分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在已知中寫出條件，

在求證中寫出結(jié)論（3）在證明中寫出推理過程。

在解決幾何問題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫或虛線。

【知識(shí)點(diǎn)9】圖形的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形定義：一個(gè)沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合圖形。

對(duì)稱軸：定義、位置的確定、條數(shù)、對(duì)稱點(diǎn)、作圖、

性質(zhì)；對(duì)稱軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段

圖形的軸對(duì)稱定義、性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。

【知識(shí)點(diǎn)10］等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)：

邊——等腰三角形兩腰相等；

角一等腰三角形兩底角相等（即在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角）：

線——等腰三角形三線合」這三線是指頂角的平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，也就是說?條線

可以不含）

用不等號(hào)連接的，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的式子叫做一

元一次不等式。

【知識(shí)點(diǎn)13］不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：如果a>b,b>c那么a>c

性質(zhì)2：如果a>b,那么a±c>b±c

即不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

性質(zhì)3：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或a/c>b/c）

如果a>b,c<0,那么ac〈bc（或a/c<b/c）

即不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

注；不等式的兩邊都乘以0,不等號(hào)變等號(hào)。

【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】

【例11（2019秋?洛龍區(qū)校級(jí)期中）已知AABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,化簡(jiǎn)|a+b-c\-\b-a-c|的結(jié)果是（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【變式1-1］（2019秋?灘溪縣期中）設(shè)三角形三邊之長(zhǎng)分別為3,8,1-2小則〃的取值范圍為（）

A.-6<?<-3B.-5<a<-2C.-2<a<5D.〃V-5或〃>2

【變式1-2］（2019秋?寧都縣期中）如圖，在△八夕。中，AB=5,AC=3,則AC邊上的中線AD的取值范

圍是（）

A.2<AOV8B.0<XD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【變式1-3］（2019?防城港期中）在等腰AABC中，A8=AC,其周長(zhǎng)為20”?,則48邊的取值范圍是（）

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<\0cm

C.4cmeABV8cmD.4cm<AB<l0c/n

【考點(diǎn)2三種雙角平分線應(yīng)用】

【例2】（2018春?翠屏區(qū)校級(jí)期中）已知△/18C,下列說法正確的是（只填序號(hào)）.

①如圖（I）,若點(diǎn)P是乙4BC和N4CB的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90。+工/4；

2

②如圖（2）,若點(diǎn)尸是外角產(chǎn)和NBCE的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90。-工乙4；

2

③如圖⑶，若點(diǎn)夕是N/WC和外角NACE的角平分線的交點(diǎn)，則NP=L/A.

2

【變式2-1］（2019秋?新洲區(qū)期中）如圖，ZBAC=70°,N'/WC的平分線與NAC8的外角平分

線交于點(diǎn)0,則N80C=度.

【變式2-2]（2019秋?高密市期口）如圖，NACQ是aABC的外角，NA4C的平分線與/4CO的平分線交

于點(diǎn)4,N48O的平分線與N4CZ）的平分線交于點(diǎn)4，若NA=60。，則NA2的度數(shù)為.

【變式2-3]（2018秋?江漢區(qū)校級(jí)期中）如圖，AAAC中，ZC=104°,"平分NA8C與△48c的外角平

分線AE所在的直線交于點(diǎn)兒則/r=.

【考點(diǎn)3線段垂直平分線的應(yīng)用】

【例3】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在aABC中，AB=AC,N84C為鈍角，BC=6,AB.AC的垂直

平分線分別交8C于點(diǎn)。、E,連接A。、AE,那么ZkADE的周長(zhǎng)為.

【變式3-1]（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在"BC中，DM.EN分別垂直平分AC和8C交A8于M、N,

NAC8=118。，則NMCN的度數(shù)為.

【變式3-2]（2019秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在△D4E中，ZDAE=30°,線段AE,AD的中垂線分別交直線

DE于B和C兩點(diǎn)，則N84C的大小是.

【變式3-3]（2018秋?老河口市期中）如圖，ZiABC的邊48,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,連接尸B,PC,

若NA=70。，則N8PC的度數(shù)是.

【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】

【例4】（2018秋?利津縣期中）如圖,AB//CD,I3C//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的對(duì)數(shù)是

（）

A.4B.3C.2D.1

【變式4-1]（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知，ZCAB=ZDAE,AC=AD,增加下歹J條件：①AB

=AEx②BC=EO；③NC=/。；④NB=/E；⑤N1=N2.其中能使的條件有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式4-2]（2018秋?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一FABC的是（）

A.48=6,BC=5,ZA=50°B.AB=5,BC=6,AC=\3

C.ZA=50°,N3=80°,AD=SD.Z/A=40°,ZZ?=50°,NC=90。

【變式4-3]（2018秋?東臺(tái)市期中）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；

@AB=DE,BC=EF,NB=/E；

③/B=NE,NC=/F,BC=EF；

?AB=DE,AC=DF,/B=NE.

其中，能使AAbC立△￡>￡廠的條件共有（）

A.I組B.2組C.3組D.4組

【考點(diǎn)5全等三角形的判定與性質(zhì)】

【例5】（2019秋?吉縣期中）如圖：在△人中，BE、C戶分別是AC、兩邊上的高，在8E上截取8。

=AC,在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=A8,連接A。、AG.

（1）求證：AD=AG\

（2）人。與AG的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說明理由.

【變式5-1]（2019?內(nèi)江期中）如圖，△AC。和ABCE都是等腰直角三角形，NACQ=N8C￡=90。，AE交

于點(diǎn)R8。分別交CE、AE于點(diǎn)G、”.試猜測(cè)線段AE和8。的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由.

【變式5-2]（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在MBC中，4。是BC邊上的中線，E是A。上一

點(diǎn)，連接8E并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)RAF=EF,求證：AC=BE.

【變式5-3]（2019秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△力。E中，AB=AC,AD=AE,^BAC=DAE

=90。，線段B。，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)6復(fù)雜的尺規(guī)作圖】

【例6】（2018秋?六合區(qū)期中）在七年級(jí)我們就學(xué)過用一副三曲板畫出一些特殊度數(shù)的角.在八年級(jí)第二

章，我們學(xué)會(huì)了一些基本的尺觀作圖，這些特殊的角也能用尺規(guī)作下面請(qǐng)各位同學(xué)開動(dòng)腦筋，只用

直尺和圓規(guī)完成下列作圖.

己知：如圖，射線。4.

求作：ZAOR,使得N八OA在射線04的上方，旦NAOA=45。（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式6-1]（2018秋?泗洪縣期中）已知：如圖，在A48C中，4CVAB且NC=2NB

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條過點(diǎn)4的直線1,使得點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在邊48上（不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）設(shè)（1）中直線/與邊8c的交點(diǎn)為。，請(qǐng)寫出線段48、AC、CO之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【變式6-2]（2018秋?丹陽市期中）如圖，"BC中,48=3,AC=4,BC=5.

（1）試用直尺和圓規(guī)，在直線八〃上求作點(diǎn)，，使△/中。為等腰二角形.要求：①保留作圖痕跡；②若

點(diǎn)戶有多解，則應(yīng)作出所有的點(diǎn)P,并在圖中依次標(biāo)注P、P2、刊、…；

（2）根據(jù)（1）求附的長(zhǎng)（所有可能的值）

【變式6-3]（2018?惠山區(qū)二模）如圖，已知AABC（AC<AB<BC）,請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按

下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）在邊BC上確定一點(diǎn)P,使得PA+PC=BC；

（2）作出一個(gè)△OER使得：①/是直角三角形；②△￡）￡尸的周長(zhǎng)等于邊6c的長(zhǎng).

【考點(diǎn)7利用軸對(duì)稱變換求最值】

【例7】（2019秋?襄州區(qū)期中）如圖，NAO8=30。，NAO3內(nèi)有一定點(diǎn)2且"=12,在。4上有一點(diǎn)

Q,08上有一點(diǎn)R,若△名》周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是

【變式7-1］（2018秋?洛龍區(qū)校級(jí)期中）如圖，等腰三角形/WC的面積是16,且底邊8c長(zhǎng)為4,腰AC

的垂直平分線EF分別交邊AC,48于點(diǎn)EF,若點(diǎn)D為邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CM。

周長(zhǎng)的最小值是.

【變式7-2］（2019秋?北塘區(qū)期中）如圖，在五邊形A8CQE中，ZBAE=\36°,ZB=ZE=90°,在8C,

DE上分別找一點(diǎn)M,N,使得A4MN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則N4MN+NAN用的度數(shù)為.

【變式7-3］（2019?黃岡期中）如圖，AC,4。在4/3的同側(cè)，AC=2,BD=8,/W=8,點(diǎn)M為A8的中點(diǎn)，

若/CMQ=12（）。，則CD的最大值是.

【考點(diǎn)8等腰三角形中的分類討論思想】

【例8】（2018春?鄴城縣期中）等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm,其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為

（）

A.3cmB.6cmC.3c“？或6c〃？D.Scin

【變式8-1］（2018春?金水區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為

40°,則此等腰三角形的頂角是（）

A.50°B.130°C.50?；?40°D.50?；?30°

【變式8-2］（2019秋?綏棱縣期中）已知一個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為5”〃，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成的

兩部分的差為3c7〃，則腰長(zhǎng)為（）

A.2cmB.8c7〃C.2c〃？或8c〃？D.10cm

【變式8-3］（2018秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，

則其頂角等于（）

A.30°B.30°或150。

C.120?；?50°D.30°或120。或150°

【考點(diǎn)9靈活運(yùn)用“三線合一”】

【例9】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知等邊aABC中，。是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

HCE=CD,DMLBC,垂足為M,求證：M是的中點(diǎn).

【變式9-1］（2018秋?湖里區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，AC=2AB,AO平分N8AC交8C于。，E是AD

上一點(diǎn)，且E4=EC,求證：EBVAB.

【變式9-2］（2019春?廣饒縣期中）已知AA47中，NA=90。，AB=AC,。為6c的中點(diǎn).

（1）如圖，若￡、尸分別是A8、AC上的點(diǎn)，且8E=AF.求證：△￡）￡r為等腰直角三角形；

（2）若E,尸分別為A4C4延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有8￡=4兄其他條件不變，那么△。￡尸是否仍為等腰

直角三角形？證明你的結(jié)論.

【變式9-3］（2018秋?研口區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，。是A8上一點(diǎn)，石是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD

=CE,DE交AC于點(diǎn)F.

（1）求證：DF=EFx

（2）過點(diǎn)。作?！盻LAC于點(diǎn)區(qū)求里.

AC

【考點(diǎn)10三角形內(nèi)角和與等腰三角形】

【例10】（2018秋?杭州期中）如圖，"BC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BEA.AC,AF±BC,求NEFC

為度數(shù).

【變式10-1】（2019秋?沛縣期中）如圖，在△/45c中，A1^=AC=2,ZB=ZC=40°,點(diǎn)。在線段8c上

運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)。不與點(diǎn)4、C重合），連接AO,作NA/"i=4。、/無交線段AC'于點(diǎn)兒

（1）當(dāng)/8。4=115。時(shí)，ZBAD=°,NEDC=。，NDEC=。；點(diǎn)。從B向。的

運(yùn)動(dòng)過程中，N8D4逐漸變（填“大”或“小”）；

（2）當(dāng)OC等于多少時(shí)，XABDqADCE,請(qǐng)說明理由.

【變式10-2】（2018秋?泗陽縣期中）已知，在ZiABC中，點(diǎn)。在8C上，點(diǎn)E在8c的延長(zhǎng)線上，且8。

=BA,CE=CA.

（1）如圖1,若/B4C=90。，N8=45。，試求ND4E的度數(shù)；

（2）若N84C=90。，ZB=60°,則NQAE的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）；

（3）如圖2,若NB4O90。，其余條件不變，探究ND4E與NKAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【變式10-3】（2019秋?越秀區(qū)期中）在aABC中，AB=AC,點(diǎn)。在底邊BC上，AE=AD,連結(jié)短￡

（1）如圖①，已知N84C=90。，/朋。=60。，求NCOE的度數(shù).

（2）如圖①，己知N84C=90。，當(dāng)點(diǎn)、D在BC（點(diǎn)、B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究NZMD與NCO￡的

數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖②，若/84行90。，試探究NZM。與NCQE的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)11等腰三角形與全等三角形的綜合】

【例II】（2019?東莞市模擬）如圖，中，AB=BC,NABC=45。,于點(diǎn)石，于點(diǎn)。，

BE與AQ相交于F.

（1）求證：BF=ACx

（2）若8=3,求A尸的長(zhǎng).

【變式》1】（2018秋?臨清市期末）如圖，在等腰RSA5c中,ZACB=90°,。為5C的中點(diǎn),DELAB,

垂足為￡過點(diǎn)8作8r〃AC交DE的延長(zhǎng)線F點(diǎn)尸，連接CE

（1）求證：CD=BF；

（2）求證：ADLCFx

（3）連接AR試判斷A4C尸的形狀.

【變式11-2］（2019秋?寧河縣校級(jí)月考）如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=45。，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CE_LA3,垂足為點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：AE=CE；

（2）求證：AAEFGACEB.

【變式11-3］如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)。、石分別在邊AB、4c上，且AO=A石，連接

BE、CD,交于點(diǎn)F.

（1）判斷NA8E與NACO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：過點(diǎn)4、尸的直線垂直平分線段8C.

【考點(diǎn)12等腰三角形中的新定義問題】

【例12】（2019秋?椒江區(qū)校級(jí)期中）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩

條線段叫做這個(gè)三角形的“三階等腰線”.

（1）請(qǐng)你在圖1,圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為36。的等腰三角形的“三階等腰線“，并標(biāo)注每個(gè)

等腰三角形頂角的度數(shù).（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）.

（2）如圖3,4ABC中，N8=36。，4。和OE是ZiABC的“三階等腰線“，點(diǎn)。在8c邊上，點(diǎn)E在AC

邊上，且A￡>=3O,DE=CE,設(shè)NC=x。，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值.

【變式12-1】（2019春?市北區(qū)期中）（本題畫圖時(shí)，直接用直尺畫出相關(guān)線段即可，不需尺規(guī)作圖，直接

標(biāo)注等腰三角形頂角度數(shù)即可，不需寫出求解過程）

把一張頂角為36。的等腰三角形紙片折疊兩次，得到3個(gè)等腰二角形，你能辦到嗎？圖I是其中的一種

方法（虛線表示折痕）

定義：如果兩條線段將一個(gè)三弟形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線

（1）請(qǐng)你在圖1后面用另一種不同的方法畫出頂角為36。的等腰三角形的三分線

①標(biāo)注折痕（折痕用虛線表示）

②標(biāo)注得到的每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)：

（若兩種方法分得的三角形形成3對(duì)全等三角形，則視為同?種）

（2）請(qǐng)你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45。的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂

角的度數(shù)（不必標(biāo)注折痕，若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）

【變式12-2】（2019春?順德區(qū)期中）如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線

段為這個(gè)三角形的特異線，稱這個(gè)三角形為特異三角形.

（1）如圖1,AABC是等腰銳角三角形，AB=AC（AB>BC）,若/ABC的角平分線8。交AC于點(diǎn)Q,

且BD是△A8C的一條特異線，則N8OC=度；

（2）如圖2,AABC中，N8=2NC,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E.求證：AE是

△A3C的一條特異線；

（3）如圖3,己知△A3C是特異三角形，且NA=30。，為鈍角，求出所有可能的N8的度數(shù)（如有

需要，可在答題卡相應(yīng)位置另外畫圖）.

【變式12-3】（2018秋?濱湖區(qū)期中）【定義】數(shù)學(xué)課上，陳老師對(duì)我們說，如果1條線段將一個(gè)三角形分

成2個(gè)等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個(gè)三角形的“好線”，如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)

等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個(gè)三角形的“好好線”.【理解】如圖①，在AABC中，NA=36。，

ZC=72°,請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫出它的“好線”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù).

如圖②，已知△48C是一個(gè)頂角為45。的等腰三角形，請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫出它的“好好線”，并標(biāo)出所

分得的等腰三角形底角的度數(shù).

【應(yīng)用】

（I）在△人AC中，已知一個(gè)內(nèi)角為42。，若它只有“好線”，請(qǐng)你寫出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能

值:

（2）在8c中，ZC=27°,4。和OE分別是△A8C的“好好線”，點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)E在A8邊上，

且AQ=OC,BE=DE,請(qǐng)你根據(jù)題意畫出示意圖，并求N8的度數(shù).

【考點(diǎn)13與等邊三角形的性質(zhì)與判定有關(guān)問題綜合】

【例13】（2018春?天心區(qū)校級(jí)期末）如圖，。是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，將線段AO繞點(diǎn)人順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。，得到線段AE,連接CDBE.

（1）求證：NAEB=/AOC；

（2）連接。E,若NAOC=105。，求NBE。的度數(shù).

【變式13-1】（2018秋?廣州期末）如圖1,點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，ZUBD,AAEC都是等邊三角形，BE

交AO于點(diǎn)M,CD交,AE千N.

（1）求證：BE=DC；

（2）求證：AAMN是等邊三角形;

（3）將aACE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,其它條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）、

（2）兩小題結(jié)論是否仍然成立，并加以證明.

【變式13-2】（2018秋?麻城市校級(jí)期末）（1）如圖，△/WC中，AB=AC,點(diǎn)。在線段上，E是直線

BC上一點(diǎn)，且若NA=60。（如圖①）.求證：EB=AD；

（2）若將（1）中的“點(diǎn)力在線段A8上”改為“點(diǎn)。在線段AB的延長(zhǎng)線上“，其它條件不變（如圖②），

（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由.

【變式13-3】（2017秋?仁壽縣期末）如圖1,C是線段BE上一點(diǎn)，以8C、CE為邊分別在8E的同側(cè)作等

邊△A8C和等邊ZkOCE,連結(jié)4E、BD.

（1）求證：BD=AE；

（2）如圖2,若M、N分別是線段八石、上的點(diǎn)，且請(qǐng)判斷△OWN的形狀，并說明理由.

【考點(diǎn)14翻折變換中的角度問題】

【例14】（2019春?東臺(tái)市校級(jí)期中）aABC,直線。E交AB于D,交AC于E,將AAOE沿力E折疊，使

4落在同一平面上的4處，N4的兩邊與80、CE的夾角分別記為Nl,Z2.

（1）如圖①，當(dāng)4落在四邊形BOEC內(nèi)部時(shí)，探索NA與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖②，當(dāng)A落在AC右側(cè)時(shí)，探索NA與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式14-1】（2019春?淮陰區(qū)期中）如圖（1）,△/WC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)。、E分別是△ABC邊上

為兩點(diǎn)，

研究（1）：如果沿直線DE折疊，則與NA的關(guān)系是.

研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想N8DV、NCE4和/A的關(guān)系，并說明理由.

班究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想NCE4和乙4的關(guān)系，并說明理由.

【變式14-2】（2019秋?李滄區(qū)期中）圖形在折疊過程中會(huì)形成相等的邊和相等的角，下面是同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)

課上所做的三角形、四邊形折疊實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程解決問題：

問題（一）

如圖①，一張二:角形人/JC紙片，點(diǎn)。、E分別是△八。。邊上兩點(diǎn).

研究（1）：如果沿直線。月折疊，使4點(diǎn)落在CE上，則NBDV和NA的數(shù)量關(guān)系是；

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想NBOA、NCE4和NA的數(shù)量關(guān)系是；

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想NBDA、NCE4和/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題（二）

研究（4）：將問題（一）推廣.如圖④，將四邊形A8co紙片沿￡尸折疊，使點(diǎn)A、6落在四邊形EFCO

的內(nèi)部時(shí)，N1+/2與/A、N8之間的數(shù)量關(guān)系是.（直接寫出結(jié)論）

【變式14-3】（2019春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把AA8C沿?！暾郫B，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，請(qǐng)

你判斷N1+N2與NA有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由

思考（2〉如圖2,W平分NA8C,。平分NACB,把△A4C折疊，使點(diǎn)人與點(diǎn)/重合，若Nl+N2=100。,

求/B/C的度數(shù)；

拓展（3）如圖3,在銳角△A8C中，B凡LAC于點(diǎn)凡CGJ_AB于點(diǎn)G,BF、CG交于點(diǎn)H,把AABC折

疊使點(diǎn)A和點(diǎn)”重合，試探索與N1+N2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【考點(diǎn)15三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】

【例15]（2019秋?全椒縣期中）已知△ABC中，AC=BC,NC=120。，點(diǎn)。為AB邊的中點(diǎn)，NED尸=60。,

DE、。產(chǎn)分別交AC、BC于E、F點(diǎn).

（1）如圖1,若EF"AB.求證：DE=DF.

（2）如圖2,若石尸與AB不平行.則問題（1）的結(jié)論是否成立？說明理由.

【變式15-1】（2018秋?開州區(qū)期中）在"BC中，4B=AC,點(diǎn)Z）為射線C8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），

以AO為一邊在A。的右側(cè)作AAOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,過點(diǎn)E作樣〃8C,交直線AC于點(diǎn)

F,連接CE.

（1）如圖①，若N8AC=60。，則按邊分類：XCEF是三角形；

（2）若N8ACV60。.

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上移動(dòng)時(shí)，判斷△（7石/的形狀并證明；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，ACEF是什么三角形？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出

結(jié)論（不必證明）.

【變式15-2】（2018秋?十堰期中）在"BC中，AB=AC,。是直線8C上一點(diǎn)，以AO為一條邊在4。的

右側(cè)作△&￡>￡；,使AE=A￡>,ZDAE=ZBAC,連接CE.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在6c延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若N8AC=25。，則NQCE=.

（2）設(shè)N8AC=a,ZDCE=f）.

①當(dāng)點(diǎn)。在〃。延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，a與。之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上（不與B,。兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)

論.備用圖備用圖

【變式15-3】（2019秋?洪山區(qū)期中）（1）如圖1,已知△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)

4,直線用，CEJL直線〃7,垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：DE=BEHCE.

（2）如圖2,將（I）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線〃?二，并且有N

BDA=ZAEC=ZBAC,求證：DE=BD+CE

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,D、E是。、A、E三點(diǎn)所在直線用上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），

點(diǎn)"為N8AC平分線上的一點(diǎn)，且aA3r和aAC廠均為等邊三角形，連接4。、CE,若NBDA=NAEC

=ZBAC,求證：△￡>￡/為等邊三角形

【考點(diǎn)16靈活運(yùn)用直角三角形斜邊中線】

【例16】（2018秋?泗洪縣期中）如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,DE1BC,垂足為點(diǎn)￡連接AC交

DE于點(diǎn)F,點(diǎn)G為4尸的中點(diǎn)，NACO=2NACB.

（1）說明DC=DG；

（2）若DG=7,EC=4,求的長(zhǎng).

【變式16-1]（2018秋?海州區(qū)校級(jí)期中）如圖,△43C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊BC的中點(diǎn),

E、產(chǎn)分別是A4、AC邊上的點(diǎn)，KDE.LDF.

（1）請(qǐng)說明：DE=DF；

（2）請(qǐng)說明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6,Cr=8,求△DE/的面積（直接寫結(jié)果）.

【變式16-2]（2018秋?高郵市期中）如圖,4。是AABC的高，CE是"BC的中線.

（1）若4）=12,80=16,求。氏

（2）已知點(diǎn)尸是中線的中點(diǎn)，連接OF,若NAEC=57。，ZDFE=90°,求NBC￡的度數(shù).

【變式16-3】（2018秋?太倉(cāng)市期末）如圖,在△ABC中，CF_L45于尸,IE_LAC于E,M為5c的中點(diǎn),

BC=1().

(1)若N4AC=50。，NACB=60。，求NEW/的度數(shù);

（2）若EF=4,求△“￡尸的面積.

【考點(diǎn)17靈活運(yùn)用30。直角三角形】

[ft17]（2018秋?天臺(tái)縣期中）如圖，在RS/WC中，CM平分NAC8交人B于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN〃8C

交AC于點(diǎn)N,且MN平分NAMC,若AN=1.

（1）求N8的度數(shù)；

（2）求CN的長(zhǎng).

【變式17-1]（2019秋?江津區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖A47c中,AB=AC,ZC=30°,ABLAD,AD=4cm.求

BC的長(zhǎng).

【變式17-2】（2019秋?重慶校級(jí)期中）如圖，已知△/14c中，44=AC,N84C=120。，4c的垂直平分線

EF交AC于點(diǎn)、E,交4c于點(diǎn)F,且CP=3.求BF.

【變式17-3】（2018春?槐蔭區(qū)期中）如圖所示，在等邊AABC中，點(diǎn)E分別在邊AC,AC上，且OE

//AB,過點(diǎn)E作E凡LOE交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求N尸的大??；

（2）若CQ=3,求。尸的長(zhǎng).

【考點(diǎn)18勾股定理與折疊】

【例18]（2019?云陽縣校級(jí)模擬）如圖，在矩形A8CO中，AB=1,BC=2,將其折疊使A4落在對(duì)角線

4c上，得到折痕AE,那么BE的長(zhǎng)度為（）

A6TRh

22c2

【變式18-1】（2018春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形/WCO中，AB=5,AO=4,M是邊。。上一點(diǎn)，將A/WM

沿直線AM對(duì)折，得△ANM,連用V,若。M=l,則△ABN的面積是（）

A.儂B.142c,146

151715

【變式18-2]如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),將ZU座沿4E折疊，使點(diǎn)B

落在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處，連