2025屆浙江杭州市高三二模高考數(shù)學(xué)卷試題及答案

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，則（

）A．2 B．0 C． D．3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（

）A．或 B．或 C． D．4．已知數(shù)據(jù)，，…，的方差，則（

）A． B． C． D．5．已知，為任意正數(shù)，若恒成立，則（

）A． B． C． D．6．定義“真指數(shù)”（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，，則（

）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．為的極小值點(diǎn)11．設(shè)曲線，直線與曲線的交點(diǎn)的可能個(gè)數(shù)的集合記為，則（

）A． B．C． D．若，則且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在點(diǎn)處的切線方程是.13．已知是單位圓，正三角形的頂點(diǎn)，在上，則的最大值為.14．甲、乙、丙三人分別從2個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)選擇若干個(gè)數(shù)（可以不選），分別構(gòu)成集合，，，記中元素的個(gè)數(shù)為，則的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計(jì)男性5010女性251540總計(jì)25100(1)求，；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？(3)假設(shè)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨(dú)立.若從購買者中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．已知函數(shù)（）.(1)若，求的極小值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)的極大值為，求證：.17．在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)設(shè)，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；(3)設(shè)為軸上一點(diǎn)，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．設(shè)，，…，是1，2，…，（且）的一個(gè)排列.數(shù)列滿足為，，（）的中位數(shù)，規(guī)定，.將中的所有取值構(gòu)成的集合記為.(1)當(dāng)時(shí)，求和；(2)求中所有元素之和的最大值；(3)求中元素個(gè)數(shù)的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【解析】略2．C【解析】略3．C【解析】略4．D【解析】略5．A【解析】略6．C【解析】略7．B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再利用賦值法由代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B8．A【分析】將平方，結(jié)合可得，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，即，即，故CD錯(cuò)誤又，故A對，B錯(cuò)；故選：A9．ABC【解析】略10．BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可判斷A,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可求解B，求導(dǎo)，根據(jù)上導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解C，根據(jù)單調(diào)性即可由極值點(diǎn)的定義求解D.【詳解】的定義域?yàn)椋蕿榉瞧娣桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤，由于，且，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因此，B正確，對于C,，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因此在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，對于D，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)，D正確，故選：BD11．ACD【解析】略12．【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，則切線斜率，又，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13．2【解析】略14．【分析】根據(jù)已知一個(gè)元素被某人選中的概率為且相互獨(dú)立，應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及對立事件的概率求法得兩個(gè)元素均未被三人選中的概率為，最后應(yīng)用對立事件的概率求法即可得.【詳解】設(shè)兩個(gè)不同數(shù)為，一個(gè)元素被某人選中的概率為且相互獨(dú)立，所以一個(gè)元素被甲乙丙三人都選中的概率為，由中元素的個(gè)數(shù)，表示至少一個(gè)元素被三人選中，而兩個(gè)元素均未被三人選中的概率為，所以的概率為.故答案為：15．(1)，；(2)與性別有關(guān)(3)【詳解】（1），；（2）零假設(shè)為：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，可以認(rèn)為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；（3）隨機(jī)抽取1人購買B款車的概率為，的可能取值有0，1，2，3，依題意服從，.因此，.16．(1)(2)和(3)證明見解析【詳解】由題意知.（1）若，則，所以.令，得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于.（2）因?yàn)?，所以，由，即，解得?故的單調(diào)增區(qū)間為和.（3）當(dāng)時(shí)，的極大值等于；當(dāng)時(shí)，，無極大值；當(dāng)時(shí)，由題意得，的極大值等于，令，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.17．(1)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）(2)【詳解】（1）（ⅰ）因?yàn)?，，所以，所?又因?yàn)椋云矫?（ⅱ）.（2）如圖，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的平面角為，則，，，.所以.平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.設(shè)，設(shè)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．(1)(2)-1(3)【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因?yàn)?因?yàn)椋?所以，當(dāng)時(shí)，為定值.所以.19．(1)，(2)(3)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，1，2，3無論按何種順序排列，中位數(shù)只能是2，故.當(dāng)時(shí)，在1，2，3，4中任取3個(gè)數(shù)：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數(shù)只能為2或3，所以.（2）顯然，不存在使得或，故中所有元素的和，且當(dāng)時(shí)，有.此時(shí)成立.（3）注意到對于任意，，記中元素個(gè)數(shù)的最小值為，由（1）可知，，.考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數(shù)；不妨，考慮三元素組，，，至少產(chǎn)生2個(gè)不同的中位數(shù).①若此時(shí)中位數(shù)為，，不妨，則，.所以三元組將產(chǎn)生新的中位數(shù)，所以；②若此時(shí)的中位數(shù)為，，則，，.若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)；若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù).所以.③同理可知，若此時(shí)中位數(shù)為，；，也有；所以，，.下面證明：.比較下面兩個(gè)數(shù)列：（?。?，，…，，，.（ⅱ），，…，，，，，，.其中，，…，和，，…，具有相同的大小順序.因此，這兩個(gè)數(shù)列的前個(gè)三元數(shù)組所對應(yīng)的中位數(shù)個(gè)數(shù)相同.因此，只需要比較數(shù)列（?。┲腥M，和數(shù)列（ⅱ）