廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三下學(xué)期綜合測試（二）數(shù)學(xué)試題 含解析

屆天河區(qū)普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)本卷滿分分，考試時間分鐘.注意事項：填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液不按以上要求作答的答案無效.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由題意可得，則.故選：D.2.滿足的集合A的個數(shù)為（）A.3B.7C.8D.15【答案】B【解析】【分析】由一元二次方程以及集合之間的包含關(guān)系，可得答案.【詳解】由，整理可得，解得或，第1頁/共22頁則，設(shè)，所以，可得.故選：B.3.已知為等差數(shù)列的前，75的公差（）A.B.2C.5D.2或5【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到所求值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，75成等比數(shù)列可得，即，①，又，即②，由①②解得，，故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判斷出為奇函數(shù)，排除BD；再根據(jù)當(dāng)趨向于時，趨向于0，C錯誤，A正確.【詳解】恒成立，故的定義域?yàn)镽，第2頁/共22頁，故為奇函數(shù)，BD錯誤；當(dāng)趨向于時，的增長速度遠(yuǎn)大于的速度，故趨向于0，C錯誤，A正確.故選：A5.已知雙曲線的離心率為交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點(diǎn)到直線距離公式求出弦心距，進(jìn)而求出弦長作答.【詳解】圓的圓心，半徑，由雙曲線的離心率為，得，解得，于是雙曲線的漸近線方程為，即，當(dāng)漸近線為時，點(diǎn)到此直線距離，即直線與已知圓相離，不符合要求，當(dāng)漸近線為時，點(diǎn)到此直線距離，則直線與已知圓相第3頁/共22頁交，所以弦長.故選：D6.某廠生產(chǎn)一批圓臺形臺燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺兩個底面半徑之比為，高為16cm，母線長為20cm100個這樣的臺燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100需涂料（）A.克B.克C.克D.克【答案】C【解析】【分析】先求圓臺的底面半徑，計算圓臺的側(cè)面積，即可得到答案.【詳解】作圓臺的軸截面如圖：梯形為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為、，再取中點(diǎn)，連接，則中，因?yàn)?，所以，，所?所以.所以燈罩的側(cè)面積為：.所以100個燈罩的外表面面積為：.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故選：C7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象與軸的一個交點(diǎn)，且.若實(shí)數(shù)，滿足，則（）第4頁/共22頁A.B.0C.D.2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象確定的值，再利用、兩點(diǎn)坐標(biāo)及距離公式求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定，然后求出得到函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)計算.【詳解】由正弦函數(shù)的圖象可知，，則.已知，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，因?yàn)?，所以，即，解得（由圖象可知點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)）.因?yàn)樵诘膱D象上，所以，即，又因?yàn)?，所以，則.因?yàn)樵诘膱D象上，所以，即，，，，.由圖象可知，（，又，所以，，當(dāng)時，滿足條件，所以.因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，?頁/共22頁已知，所以，一個為，一個為.不妨設(shè)，，則，，解得；，，解得.所以.將代入得：.故選：C.8已知，.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意整理對數(shù)式，根據(jù)已知的大小關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算律與公式，可得答案.【詳解】由題意可得，，因?yàn)椋?，所以兩邊取對?shù)整理可得，，所以又，，，且，即，所以，，所以.故選：D.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.曲線在處的切線方程為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上有極小值第6頁/共22頁D.在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷A；結(jié)合單調(diào)性、極小值意義判斷BC；求出零點(diǎn)個數(shù)判斷D.【詳解】依題意，，對于A，，，所求切線方程為，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則存在唯一，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此在處取得極小值，C正確；對于D，由選項C知，在上有唯一零點(diǎn)，又，當(dāng)時，，即，，因此在區(qū)間上有1零點(diǎn)，D錯誤.故選：BC10.200圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析學(xué)生的成績分布情況，經(jīng)計算得到這200名學(xué)生中，成績位于的學(xué)生成績方差為13.75，成績位于的學(xué)生成績方差為7.75.則（）A.B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為76.14第7頁/共22頁C.估計該年級在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50D.估計該年級在80分及以上的學(xué)生成績的方差為31【答案】ACD【解析】A選項利用各長方形的面積之和為1可求B選項利用中位數(shù)左邊的直方圖的面積等于0.5即可列式求解；C，D選項利用平均數(shù)和方差的計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，各長方形的面積之和為1，則，解得，故A正確；對于B選項，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14，故B錯誤；對于C選項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，故C正確；對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為，故D正確.故選：ACD.的棱長為2M為P為底面上的動點(diǎn)）A.滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長度為第8頁/共22頁B.滿足的點(diǎn)P的軌跡長度小于C.存在點(diǎn)P滿足D.存在點(diǎn)P滿足【答案】AC【解析】【分析】構(gòu)造面面平行，確定點(diǎn)軌跡，求其長度，判斷A的真假；確定P的軌跡，根據(jù)弧長與弦長的關(guān)系判斷BCD的真假.【詳解】對A：如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則易證平面平面，此時平面，故平面時，點(diǎn)的軌跡為線段.因?yàn)檎襟w棱長為2，所以，故A正確；對B：如圖：因?yàn)?，且，所以，此時點(diǎn)軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，易得分別為，中點(diǎn)，第9頁/共22頁所以，故劣弧的長度大于，故B錯誤；對C：如圖：當(dāng)為正方形中心時，，，，所以，所以，故C正確；對D：如圖：做點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則在直線上，且，連接，則，且.故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對B選項，一定要弄清楚點(diǎn)的軌跡.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知單位向量，，滿足，則________.【答案】【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的定義式，可得答案.【詳解】由題意，作等腰，且，記的中點(diǎn)為，連接，如下圖：第10頁/共22頁設(shè)，，由圖可知，由為單位向量，則，在等腰中，易知，在中，，則，即，所以.故答案為：.13.51004001000米等4個項目.極報名參賽，每位同學(xué)田賽與徑賽各至少報名1個項目，且每人至多報3個項目，則每位同學(xué)的報名方案共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】90【解析】【分析】由分類加法、分步乘法計數(shù)原理以及組合的計算即可得解.【詳解】當(dāng)只報兩個項目，由題意：；若報3個項目，由題意：；所以共有90中，故答案為：9014.已知，，若對任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】第11頁/共22頁【分析】由得.設(shè)，，求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，求兩個函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)值域的包含關(guān)系求的取值范圍.詳解】由得，設(shè)，，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；所以.且當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的值域?yàn)?；設(shè)，，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的值域?yàn)?；依題意，的值域是的值域的子集.顯然，若，則的值域?yàn)?，不合題意，舍去；若，則的值域，第12頁/共22頁則需的值域，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得.設(shè)，，對任意，都存在，使得就轉(zhuǎn)化成的值域是的值域的子集.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對邊分列為，已知.（1）證明：；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，平分，，且的面積是面積的2倍，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由正弦定理邊化角得到，再結(jié)合角的范圍即可求證；（2及.即可求解；法二：由，平方求解；法三：由正弦定理求解即可；【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，在中，有，所以，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，或?3頁/共22頁所以.【小問2詳解】平分，的面積是面積的2倍，，即，設(shè)AB邊上的高為h，又，即，，，，.以下有不同解法.解法一：，，即，.解法二：在中由余弦定理得，，即①由.則，又，，即②.由①②聯(lián)立得，.解法三：在中由正弦定理得，又，，第14頁/共22頁，，又A為中較小的角，，，則，.16.如圖1所示，在平行四邊形EBCD中，，沿折到的位置，使得二面角的大小為，如圖2所示，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）證明：；（3）若點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)條件，先證平面，進(jìn)而可得面面垂直；（2）法一：通過證明線面垂直推出線線垂直；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；（3）利用空間向量，根據(jù)已知的線面角確定點(diǎn)的位置，再求的值.【小問1詳解】由題意可知，圖2中，，，平面，所以平面.又面，所以平面平面.【小問2詳解】解法一：由平面幾何知識可知，在圖2中取AD中點(diǎn)O，連接MO，PO，第15頁/共22頁因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，所以，則為等邊三角形，所以.又平面平面ABCD，交線為AD，所以平面ABCD，所以.又，且平面PMO，所以平面PMO.又平面PMO，所以.解法二：因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，所以，以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，則，，所以，所以.【小問3詳解】以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，設(shè)，面AMN的法向量為，，，則，取，則.又，所以第16頁/共22頁因?yàn)橹本€PC與平面AMN所成角正弦值為，所以解得，，，當(dāng)時，直線PC與平面AMN所成角的正弦值為.17.投擲兩次.（1）甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，求甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率；（2.有人連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結(jié)束.求甲獲勝的概率.（注：若，當(dāng)時，看作0）【答案】（1）.（2）.【解析】1）根據(jù)條件概率公式，先確定事件和，再分別計算和，進(jìn)而求得.（2）通過設(shè)甲獲勝的概率為，分析甲在不同輪次獲勝的情況，借助等比數(shù)列求和公式計算.【小問1詳解】設(shè)事件“甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)”，事件“甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6”，樣本空間，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為，且每個樣本點(diǎn)都是等可能的.，，，，則，，所以）第17頁/共22頁即在甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率為.【小問2詳解】若甲第一輪獲勝，概率為；若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的兩個點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第二輪甲投擲后的兩個點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的兩個點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第三輪甲投擲后的兩個點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的兩個點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第n輪甲投擲后兩個點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù).概率為；于是，，，組成一個以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.則當(dāng)時，，故甲獲勝的概率為.18.已知點(diǎn)，是圓與橢圓的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N和橢圓的一個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個等腰直角三角形.（1）求r的值和橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)M的直線l分別交圓O和橢圓C于A，B兩點(diǎn).（i）若，求直線l的方程；（ii）P是C上一點(diǎn)，直線MP斜率為m，直線NA斜率為n，，求面積的最大值.【答案】（1），.（2i）或.（ii）.【解析】1）根據(jù)題設(shè)，可輕松確定的值及橢圓方程.第18頁/共22頁（2i）設(shè)直線：，分別與圓及橢圓的方程聯(lián)立，可求出，點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)列式，可求的值，得到直線的方程.（ii）先根據(jù)（i）中的結(jié)論，結(jié)合，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式得，表示出的面積，結(jié)合“對鉤函數(shù)”的單調(diào)性求最大值.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M，N是圓O與橢圓C的公共點(diǎn).所以，.又M，N和橢圓的一個焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個頂點(diǎn).所以，，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】如圖：（i）因?yàn)檫^點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為，由.得.則可得.同理，由，解得又已知點(diǎn)，則，，因?yàn)?，?9頁/共22頁因?yàn)?，所以，所以直線的方程為或.（ii）解法一：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，由（i）可得，同理得由對稱性可得PB經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)，由P，B，T三點(diǎn)共線可得：，從而，整理可得：化簡可得：，因?yàn)?，，所以，所以直線PB過定點(diǎn).設(shè)，，則，顯然PB斜率存在，設(shè)由，得，，令，所以，所以.時單調(diào)遞增.，即時，三角形面積有最大值，綜上：當(dāng)PB斜率為0時三角形MPB面積有最大值.解法二：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，方程表示直線MP，MB，上式可化為由得，代入式，則有第20頁/共22頁即則點(diǎn)P，B的坐標(biāo)滿足方程，又過點(diǎn)P，B的直線唯一，且，所以直線PB方程為.令，則直線