第一章 全等三角形模型歸納（知識(shí)拓展）（原卷版）

第一章全等三角形拓展知識(shí)模型拓展1雙垂直模型一、雙垂直模型①雙垂直中的角度關(guān)系②雙垂直中的全等關(guān)系∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，則△ABF≌△CBE△ABC、△BEF為等腰直角三角形典例1例1如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長(zhǎng)線與F，E為垂直，則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4跟蹤訓(xùn)練1如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，則CF=_______．拓展2三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形，圖①為一條直線經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)A，過(guò)△ABC的外側(cè)，圖②、③為一條直線經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)A，過(guò)△ABC的內(nèi)側(cè)，BM與CN分別垂直于過(guò)A點(diǎn)的直線．核心結(jié)論：△ABM≌△CAN（AAS）圖①：MN=BM﹢CN圖②：MN=CN﹣BM圖③：MN=BM﹣CN例2如圖，銳角△ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過(guò)點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．求證：EM﹢FN=AB．例3．如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）證明：DE=BD﹢CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD﹢CE是否還成立？如果成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖（3），D、E是直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．跟蹤訓(xùn)練2王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

拓展3手拉手模型三、手拉手模型模型要點(diǎn)：兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)?？紙D形等邊三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心結(jié)論：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心結(jié)論：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）例4如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).例5小明和同學(xué)小穎在學(xué)習(xí)了全等三角形后，研究了以下問(wèn)題：（1）探索：如圖2，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，試說(shuō)明：BD=CE．（2）拓展：如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．試判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．跟蹤訓(xùn)練3如圖，為線段上一點(diǎn)，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．拓展4半角模型四、半角模型模型描述從\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線AE、AF，并連接EF構(gòu)成的幾何模型輔助線畫(huà)法：延長(zhǎng)CB，使BF′=DF，連接AF′（本質(zhì)：旋轉(zhuǎn)△ADF至△ABF′）核心結(jié)論：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE例6：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF.求證：.1．如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．如圖，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求證：4．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，在，中，，，，連接交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，線段，交于點(diǎn)O，求證：

(1)(2)(3)5．已知，中，，，直線m過(guò)點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：與、的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出，不必證明）6．如圖，四邊形和四邊形是正方形，（正方形四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角）【感知】（1）某學(xué)習(xí)小組探究如下問(wèn)題：如圖1，連接，，直線于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，則與面積的大小關(guān)系是：_________．【探究】（2）該學(xué)習(xí)小組在探究（1）中面積問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)M為中點(diǎn)，你認(rèn)為是否成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【拓展】（3）經(jīng)過(guò)以上探究，該學(xué)習(xí)小組也提出問(wèn)題：若正方形和正方形的位置如圖2所示，點(diǎn)M為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，那么與有怎樣的關(guān)