第三章 勾股定理（全等軸對(duì)稱勾股綜合以及最值問題壓軸）（原卷版）

第三章勾股定理（壓軸題專練）一、利用勾股定理證明平方關(guān)系1．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上，連接．（1）求證：；（2）探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若，求兩個(gè)三角形重疊部分的面積．2．如圖1，在中，，，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．AIAI(1)填空：______°；(2)求的值；(3)①說法１：如圖2，在AB上截取，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②說法2：如圖2，若平分交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(4)說法3：若平分交于點(diǎn)E，探究三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．在中，，是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)求證：．4．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，垂足分別為，連接．

(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)試判斷線段之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．二、全等等腰勾股綜合5．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，，E為邊上一點(diǎn)（不與A，C重合），連接，作，垂足為F，交于點(diǎn)G，連接．分別記，，為，，．

(1)求的長．(2)當(dāng)時(shí)，求的周長．(3)當(dāng)時(shí)，求的長．6．如圖，在四邊形中，，，，且，則長為．

7．如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，連接并延長，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接．過點(diǎn)A作于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)H，已知，，則．

8．如圖，在中，，，點(diǎn)D為延長線上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)B，使，連接、．過點(diǎn)F作的垂線，過點(diǎn)G作的垂線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)H，兩條垂線相交于點(diǎn)A，連接、、．下列結(jié)論中正確的是．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）①；②當(dāng)時(shí)，；③；④；⑤若，，，則．

三、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題9．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為，，．顯然，，．請(qǐng)用，，分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，則它們滿足的關(guān)系式為__________，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，河道上，兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距160米，，為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為，，米，米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)，使得抽水點(diǎn)到兩個(gè)菜園，的距離和最短，則該最短距離為__________米．【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數(shù)式的最小值．10．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實(shí)數(shù)后，進(jìn)行了如下的問題探索與分析：（1）【提出問題】已知，求的最小值（2）【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為和的線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題．【解決問題】

①如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，則．則線段__________線段__________；②在（1）的條件下，已知，求的最小值；（3）【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求的最大值．11．已知，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為、，計(jì)算結(jié)果為斜邊，同理計(jì)算可以看成直角邊分別為、，結(jié)果為斜邊長度，利用此原理并結(jié)合圖形解決問題：已知，計(jì)算的最小值為．四、最值問題12．如圖，長方形中，，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．13．如圖，在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，滿足，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．8 D．1314．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少cm？15．如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是．16．如圖，在中，，，，是的平分線，若M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．17．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是cm．18．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞