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重慶市育仁中學(xué)2025屆全國(guó)高三模擬考(二)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.3.設(shè),則,則()A. B. C. D.4.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.35.已知雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,以(為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn),若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.7.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)8.在中,,,,點(diǎn),分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.99.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10810.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.12.若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_________.14.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_________.15.函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為___________.16.如圖,是一個(gè)四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長(zhǎng)為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,則此四棱錐的體積為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.(1)求的值:(2)若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值.19.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個(gè)開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量,(單位:元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤(rùn)不少于4800元的概率.20.(12分)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足.(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與(Ⅰ)中曲線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求△面積的最大值及此時(shí)直線的方程.21.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).2、C【解析】
根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時(shí),滿足輸出的值為8.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.3、A【解析】
根據(jù)換底公式可得,再化簡(jiǎn),比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.4、D【解析】
在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.5、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.7、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.9、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.10、A【解析】
由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則,考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)如圖:當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí),直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí),值最大,在軸截距最小時(shí),z值最??;當(dāng)時(shí),直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí),值最小,在軸上截距最小時(shí),值最大.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式,再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.14、【解析】
由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀椋磰A角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.15、【解析】
由已知,在上有3個(gè)根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個(gè)根,而含505個(gè)周期,所以在上有3個(gè)根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時(shí),在上無(wú)根,在必有3個(gè)根,則,即,此時(shí);若時(shí),在上有1個(gè)根,注意到,此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿足;若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需,解得;若時(shí),在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;綜上,實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點(diǎn),是一道中檔題.16、【解析】
畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計(jì)算高求解體積即可.【詳解】解:如圖,是一個(gè)四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長(zhǎng)為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正方形,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四棱錐中的長(zhǎng)度計(jì)算以及垂直的判定和體積計(jì)算等,需要根據(jù)題意三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)求出,對(duì)分類討論,分別求出的解,即可得出結(jié)論;(2)由(1)得出有兩解時(shí)的范圍,以及關(guān)系,將,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令,則,即證,構(gòu)造函數(shù),只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,且.由,得;由,得.故當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設(shè).令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調(diào)遞增,.,在上單調(diào)遞增,,即成立,即成立..【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.18、(1)(2)【解析】
(1)依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出.在利用余弦的和差公式即可求出.(2)根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解:因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,.從而.(1)于是.(2)因?yàn)殁g角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以,從而.于是.因?yàn)闉殇J角,為鈍角,所以從而.【點(diǎn)睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.19、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤(rùn)不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計(jì)需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計(jì)需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴(3)由(2)知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),得∴開學(xué)季利潤(rùn)不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法,考查概率的估計(jì),是中檔題,解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.20、(Ⅰ);(Ⅱ)面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程;(2)設(shè)出直線方程后,采用(表示原點(diǎn)到直線的距離)表示面積,最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解:(Ⅰ)由定義法可得,點(diǎn)的軌跡為橢圓且,.因此橢圓的方程為.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為與橢圓交于點(diǎn),,聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得,即,.面積可表示為令,則,上式可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,因此面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的利用定義法求解曲線的軌跡方程問(wèn)題:(1)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足且,則的軌跡是橢圓;(2)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足且,則的軌跡是雙曲線.21、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.22、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,由此化簡(jiǎn)
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