2025屆高考數(shù)學二輪復(fù)習：等差數(shù)列（含解析）

2025屆高考數(shù)學二輪復(fù)習專題卷等差數(shù)列

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本大題共8小題，

每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正

確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

L若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，為數(shù)列｛%｝的前w項和，%+%>0,百1<0，則5“的最小值為（）

c.s,D.

A.S.5B.5,o/O

等差數(shù)列｛｝中，

2.4%=2,%=12,則?6的值為（）

A.18B.20C.22D.24

3.設(shè)數(shù)列｛%,｝的通項公式為4=2〃-7'則國+同+|%|+…+|%|=()

A.139B.153C.144D.178

:::二櫻凱擻叫｝的前2”和為

4.己知數(shù)列｛4｝,4=2,%=°，且，

()

A.OB.2C.2024D.4048

5.等差數(shù)列｛4｝中,已知%+%+%=18,則該數(shù)列的前9項和為（）

A.54B.63C.66D.72

6.已知數(shù)歹?。?｝的前〃項和S'=2"—1,若a=1082%（〃小*）,則數(shù)列也｝的前“項和是（）

〃(幾十1)/.、

A.2,!+1-1B.2"—1c

'2D.<n+1)

7.在等差數(shù)列｛4｝中,%+為）=10,則數(shù)列｛4｝的前14項和514為（）

A.55B.60C.65D.70

8.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若%=6,項=12,則應(yīng)等于（）

A.lB.6C.8D.4

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，已知S,=-“2+7”，則下列說法正確的是（）

A.｛4｝是遞增數(shù)列B.a10=-14

C.當〃>4時，4<0D.當〃=3或4時，S”取得最大值

10.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，則下列說法正確的是（）

A.若q=2，an+a.=21,〃eN*）,a2022=3031

B.若S〃=p4+r（p,qw0），則當r=-p時,｛4｝是等比數(shù)列

C.若數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，4〉0，久二風，則跖〉工

D.若數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，*>0，兒<0，則〃=8時，*最大

H.等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若邑<S8，S=耳，59〉號0，則（）

A.佝=0B.數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列

c.s9<0D.s5=S12

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項依次成等差數(shù)列，偶數(shù)項依次成等比數(shù)列，且q=1,%=2,%+%=7，

%+4=13，貝！J%+%—.

13.習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，

發(fā)展素質(zhì)教育，促進教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化.某師范大學學生會為貫徹

黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學生赴鄉(xiāng)村支教.原計劃第一批

派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時決定改變派遣計劃，

具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為｛4｝,在數(shù)列｛4｝的任意相鄰兩項怎

與%一+1（左=1,2,…）之間插入丁個3,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也｝.按新數(shù)列出｝的

各項依次派遣支教學生.記為派遣70批學生后支教學生的總數(shù)，則S71的值為.

14.已知數(shù)列｛4｝滿足=一2,且%M，S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，則52023=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的公差dW0,且%=5,%,%，生成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)d=——求數(shù)列也｝前n項和為Sn；

a“+4"2

(3)設(shè)％=3"4求數(shù)列｛g｝的前項和7；.

16.已知等差數(shù)列｛q,｝滿足：%=9，tz10=19-

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式an以及前n項和S“；

(2)求a、+iz4+H—+go的值.

17.如圖是一塊高爾頓板的示意圖,在一塊木板上釘著若干行相互平行但相互錯開的圓柱型小木釘，小

木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰

到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.當高爾頓板共有“+1(〃eN*)行小

木釘時，第i行的空隙從左到右分別編號為0,1,2，…工—1(2WiW〃+l"eN)，底部格子從左到右分

別編號為0,1,2,…九用X表示小球最后落入格子的號碼.

(1)若〃=10,求小球在第3行落入編號為2的空隙的條件下，最后落入編號為5的格子的概率;

1?

(2)記X的數(shù)學期望為￡--------.

7

E,(X)an+an+1

①設(shè)數(shù)列也｝的前n項和為Sn，求證:Sn>“(丁)；

②設(shè)與bn最接近的整數(shù)為c“，求數(shù)列｛c,,｝的前n項和.

18.記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，公差d不為0,若2s3=352+3%,則｝.

19.已知數(shù)列｛”"｝，q=9，a“+i=3a,+63，S“是｛?！保那皐項和.

(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

⑵求s“；

f2n

，〃為奇數(shù)，

(3)若b='S"一",

記數(shù)列也｝的前W項和為7；，證明：T4n<l.

(-1門.*—,〃為偶數(shù)

r，s?

參考數(shù)據(jù)：In2a0.69?

參考答案

1.答案：B

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可得S[1="=11&<0'即4<0；

又4+。9=。6+。7〉0，所以。7〉0，

因此數(shù)列｛4｝的公差]>0,且前6項均為負值，

所以S的最小值為前6項和，即為用.

故選：B.

2.答案：C

解析：等差數(shù)列｛4｝中,%=2,%=12,

而％+R=2%，

所以4=2%-％=2x12—2=22.

故選：C

3.答案：B

解析*61n—2〃—7,Q〃+i—%—2(〃+1)—7—(2〃—7)—2，

二.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且。i=—5，d=2-

.??前〃項和S=叫+迎也=-5〃+"T)X2=〃2_6〃.

〃122

|<2]|+|<z,|+???+|<i|5|=_%_a?-g+%---H%5=-+(Rs—S3)=—2s3=153-

故選：B

4.答案：B

解析：當“為奇數(shù)時，a*2=an—2,4+2—?！?—2,

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項構(gòu)成首項為2,公差為—2的等差數(shù)列；

當w為偶數(shù)時，an+2=an+2,an+2-an=2,

所以數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項構(gòu)成首項為0,公差為2的等差數(shù)列.

所以，數(shù)列｛%｝的前2024項和為：

1012x10111011x1010

1012x2+1011x0+2=2.

22

故選：B.

5.答案：A

解析：?.?+。5+%=18，且。3+%=2。5，「?3a5=18,。56,

該數(shù)列的前9項和為s9=9（%+為）注出=9x6=

2

故選：A.

6.答案：C

解析：當〃=1時，/=，=21—1=1,

n11

當“22時，an=Sn-Sn_x=2-l-（2"--1）=2"-,ax1滿足上式,

所以4=2"L

所以么=log?an+1=log22"=n,

所以數(shù)列也｝的前〃項和是1+2+3+…0

故選：C

7.答案：D

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,%+%）=q+囚4=1°，

根據(jù)等差數(shù)列前"項和公式:

S"="（a；%）=7（%+心）=70,

故選:D.

8.答案：C

%+2d=6

解析：由題意可得3x2，

3%H—--d—12

4=2

解得11,

d=2

%=4+3d=2+3x2=8.

故選：c.

9.答案：CD

解析：當〃22時，an=Sn—=—2n+8,

又a】=S]=6=—2x1+8,所以—2n+8,

則｛4｝是遞減數(shù)列，故A錯誤；

4o=—12,故B錯誤；

當〃>4時，an=8-2n<0f故C正確；

7

因為S"=-〃2+7”的對稱軸為〃=一，開口向下，

2

而"是正整數(shù)，且〃=3或4距離對稱軸一樣遠，

所以當"=3或4時，S,取得最大值，故D正確.

故選：CD.

10.答案：AD

解析：對于A：q=2，an+an+l=3n>1,neN>

an_1+an=N2,"eN*）,

兩式相減得：aa,=3（/i>2,neN*）>

所以4=1，=1+（1011-1）x3=3031-故A正確；

對于選項B：當r=_p,q=l時，S“=p_p=G（p,qwO），此時。“=0,

數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項B錯誤；

對于選項C：若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，q〉0，56=59.

6。]+15d=96+36d，二％=-7d〉0，

:.a8=a】+7d=0,S-j->故C錯誤；

對于選項D：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，九〉0，$6<0，

...Si5=15%〉0，as>Q，.5"16（/+。9）<0,；.為<（）,

2

即數(shù)列前8項為正值，從第9項開始為負,

.?.”=8時，S”最大，故選項D正確；

綜上所述：選項AD正確.

故選：AD.

11.答案：ABD

解析：對于A,由為=品,得=§9—$8=0,A正確；

對于B,由邑<58，得?s=S8-S7>0，等差數(shù)列｛4｝的公差d=—/=—%<0,

數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列,B正確；

對于C,等差數(shù)列｛4｝的前8項都為正，第9項為0,則S9>0,C錯誤；

對于D,S],—=&+%+g+%+4o+a”+42=7佝—0,D正確.

故選:ABD

12.答案：23

解析：設(shè)數(shù)列｛??｝的奇數(shù)項依次成公差為d的等差數(shù)列，

偶數(shù)項依次成公比為q的等比數(shù)列，

由q=1,a2—2,%+%=7，%+4=13，

故l+d+2q=7,1+2d+2/=13,

3

解方程得d=q=2.故%=4+3d=7,aS=a2-q=16,

則o7+ag—23.

故答案為：23.

13.答案：390

解析：?.?數(shù)列｛4｝滿足%=5%+15,

a1=20,a,=25,%=30,

%=35,%=40,a6=45

???在任意相鄰兩項ak與以+1（左=1，2,…）之間插入2*個3,

,其中4,4之間插入2個3,出，的之間插入

4個3,a3,%之間插入8個3,%，%之間插入16個3,

%，%；之間插入32個3,a6,%之間插入64個3,….

又6+2+4+8+16+32=68<70,

6+2+4+8+16+32+64〉70

二數(shù)列出｝的前71項含有｛%｝前6項和65個3,

故S71=20+25+30+35+40+45+65x3=390.

故答案為：390.

14.答案:2024

4

解析：由q=-2,且a=-------

n+l2—4

444

可得為-=4,%=-2=%

2-Q]2-。22—生

故｛4｝是以周期為3的等差數(shù)列，且％+出+。3=-2+1+4=3,

所以>^2023=674(4+%+幻+弓=674x3-2=2020,

故答案為：2024

15.答案:(1)an=2n-l

(2)S=n

n2〃+l

(3)(=3+(〃—

解析：（1）根據(jù)題意，因為%=5,%,電，生成等比數(shù)歹人

4+2d—5

所以4z\2/\，又dw0，

(%+d)=q⑼+鈕)

解得q=l，d=2.

故Q九=l+2(n—l)=2n—1；

711

(2)因為2=-2A=7?2

Q〃+4〃-2(2〃-1)+4zz—2

.1_1=lp_____

4n2-l(2H-1)(2H+1)2｛2n-l2n+l)

1

所以=4+&+??

2n+l

n

2n+l

（3）?.?C,1=??-T=（2?-l）.y

:.TII^C1+C2+---+Cn_1+Cn=1-3+3召2+…+（2〃—3卜3呀1+（2〃—1）.3"①,

3Tn=1-32+363+…+（2九一3>3"+（2九一1卜3向②,

①-②得

-27；=3+2（32+33+---+3"）-（2TI-1）-3"+1

=3+2><9（：-：

=2（1-M）-3W+1-6

.-.7；=3+（n-l）-3n+1.

16.答案：（1）%=2〃-1，5〃=島

（2）210

解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

所以d=411*=生2=2，

10-55

所以為=%+（〃—5）d=9+2（〃—5）=2〃—1，則％=1，

所以s/（二+4）〃（l+2〃—1）2

n

〃22~

（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：的，為，〃6,…是以4=3為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以

。2+44+。6"I---。20=10x3H----——X4=210-

17.答案：（1）7_

32

（2）①證明過程見解析；

,n=2k—l,keN*

?T=八f—21J

n（n+2）*

△------L,n=2k,keN

[4

解析：（1）設(shè)“小球在第3行落入編號為2的空隙”為事件A,“小球最后落入編號為5的格子”為事件

B,

設(shè)向右下落次數(shù)為y.

因為小球在第3行落入編號為2的空隙的條件下，最后落入編號為5的格子，

所以在接下來的8次下落過程中一定有5次向左、3次向右,

所以尸（3|A）=P（y=3）=C；出=5

小球在第3行落入編號為2的空隙的條件下，最后落入編號為5的格子的概率為二;

32

⑵①乂?臺,則七（X）=g

oo,22"("+1)

所以可二9+匚^^所以母一二二一心丁一下乃"-

nn+\nn+i—H-------

nn+1

nn(n+l)nn

因為〃一一=----L一一>0,所以人>--

〃22M+122(2H+1)"2

故數(shù)列也｝的前n項和S“〉="（?。?

②因為:_＜工+,＜2,所以四＜6＜絲1

〃+1n〃+1n2〃2

當"為奇數(shù)時，11為整數(shù)，故C=3,當〃為偶數(shù)時,4為偶數(shù)，故cJ

2〃22"2

Z1+-，〃=2"1,%￡N

所以=,2

—,n=2k,k€N*

[2

當〃=2左時,。21+。2k=2屋所以j=左（2：+2）=/（左+］）,

由于T，故“(”+2)

2―_4~.

當〃=2左+1時1=24+1，所以右M=1+蛆薩@=（4+1戶

18.答案：1

解析：在等差數(shù)列｛4｝中，由2s3=3邑+3%,

得2(3%+3d)=3(2q+d)+3ax,

整理得q=d,所以,=1.

故答案為：1

19.答案：(1)證明見解析；

(3)證明見解析

解析：(I)由題，得4包—組=2；

3什13"

又色=3,所以數(shù)列1%］是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.

3134

(2)由(1)可知號=3+2(“一1)=2"+1，故4=(2"+1>3".

S?=3x31+5x32+7x33+...+(27i-l)-3,,-1+(2n+l)-3^

則3s“=3x32+5x33+7x34+…+(2”—1)?3"+(2"+l)-3n+1-

兩式相減得，

123,lnn+\

-2Sn=3x3+2-(3+3+---+3"+3)-(2n+l)-3

2X32X(1-3?!-1)

=9+-------力-----(2〃+1)-3日

=(—2〃>3"1，

所以S'=〃3"+i.

甲+】/為奇數(shù),

(3)由(2)可知人=1°T

nn9

(-1)十2,“為偶數(shù)，

1n

所以數(shù)列也｝中的奇數(shù)項/t=黃工(左CN*)，

2〃八〃

偶數(shù)項如.2=〃J砥=(keN)，&-EVi+EVz+E^-

2K-12kk=\k=lk=\

71,則%1=一一<二

由于則8.9%T<9左一］，所以一；——<...-7T

_9t-14-9^2k~x9左一14.9%一i

2n_2221111、9「1、9

所以A??J------------1-----\----F…-I---------------<一(-77H------+…-I-----------)=------(1---Z—)<------

k=\9-192-192n-l49°919213292n32

.+-+L.J)

由于Zd"2+Z°4&=(1+弓+W+-

k=lk=lJ32/7-12462n

111111

+歹++

1+-+-+—+???+212(2-4-6-

」