2025高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：排列組合與二項式定理（原題版）

專題14排列組合與二項式定理

目錄

題型一：兩個原理

易錯點01混淆兩個計數(shù)原理而出錯

易錯點02分步“有序”導(dǎo)致錯誤

易錯點03分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏

題型二排列組合

易錯點04忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤

易錯點05分組問題混淆“均分”與“非均分”

易錯點07計數(shù)時混淆有序與定序

題型三二項式定理

易錯點08混淆“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”而出錯

題型一：兩個原理

易錯點01：混淆兩個計數(shù)原理而出錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?湖北武漢?期末）某校舉辦中學(xué)生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)分別報

名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學(xué)只能報1個項目，每個項目至少有1名同學(xué)報名，且甲

不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

【答案】C

【分析】在甲單獨參加某項比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計數(shù)原理求滿足條件的方法

數(shù)，再在甲不單獨參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數(shù)原理及排列知識求滿足條件的方法數(shù)，最后利用

分類加法原理求結(jié)論.

【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：

第一類：甲單獨參加某項比賽，

先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有3種，

再將余下4人，安排到與下的三個項目，

由于每名同學(xué)只能報1個項目，每個項目至少有1名同學(xué)報名，

故滿足條件的報名方法有七尸A；=36,

所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有3x36=108種，

第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有C；A；=12種

方法，再安排余下三人，有A；=6種方法，所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有12x6=72種，

所以滿足條件的不同的報名方法共有72+108=180種方法.

故選：C.

【易錯剖析】

在利用兩個計數(shù)原理處理計數(shù)問題時，往往容易因為混淆分類、分步而錯用兩個原理致錯.

【避錯攻略】

1、分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案.在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有

n種不同的方法，完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

2、分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟.做第1步有初種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，完成這件事共

有N=m-n種不同的方法。

3、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.

易錯提醒：|兩個原理的辨析：

⑴聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)

別如下表：

區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

（3）分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數(shù)原理；

分步一將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決一分步乘法計數(shù)原理.

在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的

應(yīng)用.

舉一反三

1.（24-25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，已決出了第1名到第

4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很

遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.12

2.（2025?上海?模擬預(yù)測）有一四邊形ABCD,對于其四邊AB、BC、CD、DA,按順序分別拋擲一枚質(zhì)量

均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去.最后，以A為起點沿著尚未擦

去的邊出發(fā)，可以到達C點的概率為（）.

A.[B.—C.-D.—

216416

3.（23-24高二下?天津紅橋?期中）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位

同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，如果

讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有種.

■4易錯題通關(guān)A

1.（24-25高三上?重慶?期末）已知某班級將學(xué)生分為4個不同的大組，每個大組均有14名學(xué)生，現(xiàn)從這

個班級里抽取5名學(xué)生參加年級活動，要求每個大組至少有1名同學(xué)參加，則不同的抽取結(jié)果共有（）

A.（C；J.q種B.種

C.4（C：J.C；種D.2（C：J.C；2種

2.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）將1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列、記第z?項

為q1=l,2,…,7）,若01V出</，a3>a4>a5,a5<a6<a7,則這樣的數(shù)列共有（）

A.70個B.71個C.80個D.81個

3.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校計劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男

生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（）

A.80種B.90種C.100種D.120種

4.（24-25高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張

老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同

的值班方法共有（）種

A.114B.120C.126D.132

5.（2024?江西新余.模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包

括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同

一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（）種.

A.144B.260C.320D.540

6.（23-24高二下?廣東中山?期末）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個

數(shù)為（）

A.76B.38C.36D.30

易錯點02：分步“有序”導(dǎo)致錯誤

fb易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?福建泉州?階段訓(xùn)練）有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20

個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法是（）

A.560B.2735C.1136D.480

【答案】C

【解析】方法一將“至少有1個是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰

有3個一等品”.由分類加法計數(shù)原理，得不同取法有C；6C：+C；6C：+C；6=1136（種）.

方法二考慮其對立事件“3個都是二等品“，用間接法，得至少有1個一等品的不同取法有

C；o-C：=1136（種），故選C.

【易錯剖析】

由于對實際問題中“至少有1個一等品，，意義理解不明，可能導(dǎo)致下面的錯誤：按分步乘法計數(shù)原理，第

一步確保有1個一等品，有C；6種取法；第二步從余下的19個零件中任取兩個，有CM種不同的取法，故共

有C；6c9=2736（種）取法，實際上這個解法是錯誤的.下面我們作如下分析，第一步取出1個一等品，那

么第二步就有3種可能：①取出的2個都是二等品，這時的取法有C；6c：=96（種）；②取出1個一等品，

1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一

等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產(chǎn)生了多一倍的重復(fù)，即這時的取法有g(shù)c；6C；sC：=480（種）；

③取出的2個都是一等品，這時我們?nèi)〕龅?個都是一等品了，實際的取法種數(shù)應(yīng)是C：=560.

【避錯攻略】

用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析一需要分類還是需要分

步；分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù);

分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一

步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).

易錯提醒：對于“至少”“至多”類型的問題，考生應(yīng)注意從兩個方面處理：一是從正面進行處理，可以根據(jù)要

求進行合理分類，利用分類加法計數(shù)原理求解；二是求解該事件的對立事件，即利用排除法求解，其實質(zhì)

還是先進行分類.求解時要根據(jù)具體情況選取類別較少的一種方法進行解答.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?期中）為促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教

師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學(xué)校，則甲、乙不安排在

同一所學(xué)校的方法數(shù)有（）

A.1440種B.240種C.216種D.120種

2.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

3.（24-25高三上?廣東河源?階段練習(xí)）某市教育局人事部門打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生

安排到該市4所不同的學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排一名，則不同的安排方法種數(shù)是.

,易錯題通關(guān)

1.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校致力于打造“書香校園”，以此來提升學(xué)生的文化素養(yǎng).現(xiàn)準備將7

本不同的書全部分配給甲、乙、丙、丁4個不同的班級，要求每個班級均有書，且甲班的書比乙班多，丙

班至少2本，則不同的分配方案有（）

A.630種B.840種C.1470種D.1480種

2.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和

女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（）

A.15B.40C.55D.70

3.（24-25高三上?河北唐山?開學(xué)考試）某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只能

去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.6B.12C.24D.36

4.（2024?河南安陽?模擬預(yù)測）教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市3

所高校的校長計劃拜訪當?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1

名校長，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.64種C.72種D.80種

5.（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個項目協(xié)助培訓(xùn)工作，每名志

愿者分配到1個項目，每個項目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）

6.（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，是我國

民間的傳統(tǒng)節(jié)日，人們常在此日感恩敬老.某校在重陽節(jié)當日安排6名學(xué)生到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活

動，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案是種.

7.（24-25高三?上海?課堂例題）在迎新班會上，小王設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球

和20個白球，這些球除顏色外完全相同.從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球中獎，則中獎的概率

為.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

7.（2024?河南周口?模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議

籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負責(zé)進場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人.每

人只負責(zé)一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

易錯點03：分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要

的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,L,8.現(xiàn)準備給

該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如

區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.

【答案】630

【分析】確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有6種選擇，再涂區(qū)域2,有5種選擇，

當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故答案為：630.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易錯用分步乘法計數(shù)原理，從1到8依次涂色，方法數(shù)為6x5,，錯解的根源是涂完1、

2后，3號可以與1相同，也可以不同，而3號的顏色影響4號顏色的選擇.

【避錯攻略】

1.分類計數(shù)原理的應(yīng)用原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當?shù)姆诸悩藴?，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.

2.分類計數(shù)原理的應(yīng)用原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完

成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.

易錯提醒：|使用分步計數(shù)原理時，要注意以下三點：（1）步驟完整性：完成一件事必須且只需連續(xù)完

成所有步驟。每個步驟的方法選擇與其他步驟無關(guān)，但所有步驟必須依次完成；

（2）獨立性：每一步的方法選擇是獨立的，即前一步的選擇不會影響后一步的選擇;

（3）連續(xù)性：只有當前一步完成后，才能進行下一步。所有步驟必須依次進行，不能跳過任何一步.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）如圖，對A,B,C,D,E五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有5種不同顏色的顏料

可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方

法共有（）

AB

E

CD

A.480種B.640種C.780種D.920種

2.（24-25高二上?遼寧?期末）《九章算術(shù)》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法:

“半廣以乘正從”.數(shù)學(xué)社團制作板報向全校師生介紹這一結(jié)論，給證明圖形的六個區(qū)域涂色，有三種顏色可

用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（）

半廣

3.（23-24高三上?河南?期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng).一小朋友在玩四棱柱形積木（四

個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的

6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）

A.216B.360C.720D.1080

叁易錯題通關(guān)

1.（25-26高三上?上海?單元測試）如題圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

B{A\D

A.240種

B.300種

C.360種

D.420種

2.（24-25高二上?山東范澤?期中）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)

域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數(shù)為（）

A.36B.48C.72D.144

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色,

欲給如圖所示的地圖中南昌市及與它相鄰的4個城市著色，要求相鄰城市不涂同一顏色，則不同的涂色方

法共有種.

近市,

上饒

朝自1

，市

4.（24-25高三上?福建福州?期中）如圖，對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能

用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

5.（24-25高三?全國?專題訓(xùn)練）已知自然界氧的同位素有|6。,。OF。，氫的同位素有1H,2H（自然界中存

在極微3f1,可忽略不計），水由氧元素和氫元素組成，化學(xué)式為H20,則自然界中水分子共有種.

6.（2025年高考模擬）現(xiàn)有A,B,C,D,E五個興趣小組，在勞動實踐課上制作的手工藝品，擺放到如

圖所示桌面上的四個區(qū)域，供學(xué)生參觀，若要求相鄰區(qū)域不可以放入同一個興趣小組的手工藝品，每個區(qū)

域內(nèi)只能擺放一個興趣小組的手工藝品，共有種擺法.

7.（2024.河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某

段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬

手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為.

8.（24-25高三上?全國?單元測試）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種

顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種.（用數(shù)字作答）

題型二：排列組合

易錯點04：忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?河北?期末）若A：=C：,貝（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】B

【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式計算.

【詳解】由A：=C:得仆-1)=〃(〃T)(-2)，心3,〃eN,

3x2x1

解得〃=8

故選：B.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易忽略〃23這一隱含條件而出錯.

【避錯攻略】

1、排列與排列數(shù)

(1)定義：從"個不同元素中取出W”)個元素排成一列，叫做從“個不同元素中取出加個元素的

一個排列.從〃個不同元素中取出機(加個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數(shù)，用符號父表示.

yiI

(2)排列數(shù)的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-———.

(〃—my.

特例：當機=w時，47=?!=?(?-1)(?-2)3.2.1；規(guī)定：0!=1.

(3)排列數(shù)的性質(zhì)：①線=吟二；②第=―1—4："+1=心;③父=7T；+端.

n—mn—m

2、組合與組合數(shù)

(1)定義：從".個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取出用個元素的

一個組合.從“個不同元素中取出機個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從"個不同元素中取出加個元

素的組合數(shù)，用符號C：表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從〃個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)4",可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出小個元素的組合數(shù)C：；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)A：；

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到A：=C；?線;

因此CJ工"("T)(”2)("一.+1).

"4：加

riI

這里〃，mG7V,且m這個公式叫做組合數(shù)公式.因為M,所以組合數(shù)公式還可表示

+\ji-my.

ri'

為：c：="?特例：C：n=c：=l.

易錯提醒:無論是排列數(shù)A7還是組合數(shù)C：，在計算含參題目中要注意n>m,n^N,m^N隱含條件.

舉一反三

1.（23-24高二下.河南.期中）若C：3=C；”（尤eN*）,則A；=（）

A.5B.20C.60D.120

2.（23-24高三下?寧夏吳忠?期中）不等式A：<6A；2的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11）C.1x|7<x<12|D.1x|7<x<8|

3.（2024?上海寶山?一模）已知關(guān)于正整數(shù)元的方程CR=C*5,則該方程的解為.

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?全國?專題訓(xùn)練）若C：-C：=0,則￡的值為（

A.12B.14C.16D.18

2.（23-24高二下?陜西西安?期末）若。3-。；=0?2）,則”等于（）

A.11B.12C.13D.14

3.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知組合數(shù)C'C：,則關(guān)于機的不等式>C：的解集為

（24-25高三上?河北承德?開學(xué)考試）若昌=:，貝什=

4.

5.（24-25高三?上海裸堂例題）若立尸十八：=4（2",貝ij〃=

6.（24-25高三?上海?課堂例題）不等式的解集為.

7.（23-24高三.全國.對口高考）計算C；尸+C：%的值為.

8.（24-25高三上?江西上饒?階段練習(xí)）若C/'cr，貝口=.

易錯點05：分組問題混淆“均分”與“非均分”

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?天津武清?期末）為了推動城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，某師范大學(xué)6名畢業(yè)生主動申請

到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人,

則分配方案的總數(shù)為.

【答案】540

【分析】先將6名畢業(yè)生分成3組，結(jié)合平均分組和不平均分組公式，得到分配方案數(shù)，再進行全排列,

求出答案.

【詳解】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，

其中1、1、4分配方式有《畢=15種;

1、2、3,分配方式有C；C；C；=60種;

2、2、2,分配方式有生4=15種,

第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學(xué)，其分法有A：=6種，

利用分步計數(shù)原理可知，分配方案的總數(shù)為(15+60+15)x6=540.

故答案為：540

【易錯剖析】

本題容易在分組過程中，忽略均分組的計數(shù)方法而出錯.

【避錯攻略】

分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配

(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：

①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；

②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：

①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；

②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；

③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

易錯提醒：對于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不

同的,位置也應(yīng)是不同的；③分堆時要注意是否均勻.

舉一反三

1.(24-25高三上?湖北武漢?期末)某校舉辦中學(xué)生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)分別報名

參加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學(xué)只能報1個項目，每個項目至少有1名同學(xué)報名，且甲不

能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

2.（24-25高三上?河北邢臺?期末）運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個場地參加志

愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.72B.96C.114D.124

3.（25-26高三上?上海?單元測試）3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生

的概率是.

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?河北邯鄲?開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日

安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A,B,C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不

在A場地的不同安排方法數(shù)為（）

A.32B.24C.18D.12

2.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有

《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華

兩位同學(xué)準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵

探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

3.（23-24高二上?遼寧撫順?階段練習(xí)）已知A,8兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承

包方式共有（）

A.24種B.70種C.48種D.50種

4.（2024高三下?江西新余?專題練習(xí)）將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分

配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

5.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

6.（24-25高三?上海?課堂例題）6本不同的書平均分給3人，共有（）種分法.

A.90B.180C.270D.45

7.(24-25高三上?天津和平?期末)在杭州亞運會比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導(dǎo)運動員入場、賽

場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則合適的安排方案共

有種.(用數(shù)字作答)

8.(2024?陜西寶雞.三模)圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今

已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋

手參加比賽，他們分成三個小組，則甲和乙在同一個小組的概率為.

易錯點06:計數(shù)時混淆有序與定序

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024山東臨沂?模擬)身高互不相同的七名學(xué)生排成一排，從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有

()

A.5040種B.720種C.240種D.20種

【答案】D

【詳解】最高個子站在中間，只需排好左右兩邊，第一步:先排左邊，因順序固定有廢=20種排法，第二步:

排右邊，因順序固定，有1種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有20x1=20種，故選。.

【易錯剖析】

本題容易混淆定序與有序的區(qū)別而錯解，即最高個子站在中間，只需排好左右兩邊，第一步：先排左邊,

有A：=120種排法，第二步：排右邊，有A；種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有120x6=720種,而錯選B.

【避錯攻略】

1.一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時有兩種方法：

(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；

(2)空位(或占位)法:在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進行排列時，只有1種排法.如

已知n個不同的元素進行排列，要求其中m(m<n,“GN*,〃zGN*)個元素相對順序固定不變，有砥種不同

的方法，或從〃個位置中排加個元素之外的"一根個元素，再放這定序的機個元素，共有AIT"種不同的方

法.

對于給定元素順序確定，再插入其他元素進行排列：順序確定的元素為"個，新插入的元素為根個，

(m+n)!

則排列數(shù)為

n!

2.相同元素分配問題的處理策略

（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干

隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔

板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.

（2）將幾個相同的元素分給加個不同的對象（"沙j）,有C；；匚，種方法.可描述為〃一1個空中插入初一1塊

板.

易錯提醒：“定序”是指元素的相對順序固定,定序問題可看作組合問題，可以看做排列問題之后除掉之間

的順序.

舉一反三

1.（24-25高三上?全國?專題訓(xùn)練）用2個0,2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）

A.8個B.12個C.18個D.24個

2.（23-24高三上?鄭州?模擬）今有2個紅球，3個黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個球排成一行，則不

同的排法種數(shù)為（）

N

A.AgB.A；C.A；D.-2'3

A2A3

3.甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為.

■易錯題通關(guān)

1.某班2024年元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目

插入原節(jié)目單中，那么不同的插入方法的種數(shù)為（）

A.2B.11

C.36D.42

2.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程

乙完成后進行，那么安排這6項工程不同的排法種數(shù)是.

3.身高互不相同的7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有種（用

數(shù)字作答）.

4.某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，己知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老

校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有

種.

題型三：二項式定理

易錯點07：混淆“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”而出錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024.寧夏銀川.模擬預(yù)測)(2x+l)5的展開式的第4項的系數(shù)為()

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】利用二項式定理的通項可知展開式中的第％+1項為C：(2x)"HF,代入計算可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)二項展開式的通項可知第4項為C；(2才戶=401,

因此展開式的第4項的系數(shù)為4