2025廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編《幾何綜合題》含答案解析

專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)

頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中

點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.

圖1圖2

圖3圖3備用圖

（1）如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，AF=5CE=2,則AE=

；AB=；

（2）如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形"，且=猜想A尸與CD的關(guān)

系，并說(shuō)明理由；

（3）①如圖3所示，在中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于點(diǎn)E,

請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提

示：不限作圖工具）；

②若一ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱得到VAB'C，連接CB',作射線CB'交①中所畫平行四邊形

的邊于點(diǎn)P,連接PE,請(qǐng)直接寫出PE的值.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為A￡＞邊上一點(diǎn)，連

接BE,

①若BE=BC,過(guò)C作5,6￡交助于點(diǎn)r，求證：AABEdFCB；

②若S矩形4BC。=2°時(shí)，則BECF=.

D

E

A

(2)如圖，在菱形ABC。中，cosA=-,過(guò)C作CE1A6交A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)E

3

作EF_ZAD交AD于點(diǎn)產(chǎn)，若S菱形"CD=24時(shí)，求EF-5C的值.

(3)如圖，在平行四邊形A6CD中，ZA=60°,AB=6,">=5,點(diǎn)E在上，且CE=2,

點(diǎn)p為上一點(diǎn)，連接所，過(guò)E作EG,即交平行四邊形ABC。的邊于點(diǎn)G,若

￡R46=7班時(shí)，請(qǐng)直接寫出47的長(zhǎng).

備用圖

3.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形ABCD中，E

為A。邊上一點(diǎn)，將ZkAEB沿班翻折到，5EF處，延長(zhǎng)所交CD邊于G點(diǎn).求證：

△BFG學(xué)4BCG

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8,AB=6,將

AAEB沿BE翻折到aBEF處，延長(zhǎng)所交邊于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H,且

FH=CH,求AE的長(zhǎng).

圖②

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形ABCD中，E為。。邊上三等分點(diǎn)，40=60。,將ADE

沿AE翻折得到AAFE,直線E產(chǎn)交于點(diǎn)P,求CP的長(zhǎng).

備用1備用2

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)如圖，等腰RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3C,點(diǎn)

D為BC邊上一點(diǎn),。石，人。于點(diǎn)石，延長(zhǎng)3E交AC于點(diǎn)

AA

備用圖

AC2

（1）求證:

ED~CD-

（2）當(dāng)即平分/AEC時(shí)，求——的值；

DC

AF

（3）當(dāng)點(diǎn)。為5c的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出一的值.

FC

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）【初步探究】

如圖1,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)尸是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）

BC

A.PA+PD=PB+PC；B.PA+PC=PB+PD

C.PA2+PD2PB2+PC2;D.PA2+PC2=PB2+PD2

【深入探究】

如圖2,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,,6的半徑為2,點(diǎn)P是‘B上一動(dòng)點(diǎn)，連接Q4,PC,

PD,設(shè)F4=x,PC=y.（如有需要，可直接使用（1）中你所得的結(jié)論）

備用圖

①求％y2的最小值;

②直接寫出|x-y|的最大值，并直接寫出此時(shí)的長(zhǎng).

6.(2024?廣東深圳-33校聯(lián)考二模)在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱

形感受旋轉(zhuǎn)帶來(lái)圖形變化規(guī)律和性質(zhì).

【操作探究】

(1)如圖1,已知JSC,NC=90，將一ABC繞著直角邊AC中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到DEF，

當(dāng)印的頂點(diǎn)。恰好落在的斜邊AB上時(shí)，斜邊OE與AC交于點(diǎn)巴

①猜想：ZADC=

②證明：—DGH?ADH.

【問(wèn)題解決】

(2)在(1)的條件下，已知AC=4,BC=3,求C”的長(zhǎng).

【拓展提升】

(3)如圖2,在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,將菱形ABC。繞著A5中點(diǎn)M順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，得到菱形EFGH,當(dāng)菱形EFGH的頂點(diǎn)E分別恰好落在菱形ABCD的AD邊和

對(duì)角線上時(shí)，菱形EFGH的邊與邊相交于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

圖2番用圖

7.(2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模)在矩形ABCD中，點(diǎn)E是射線5c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,

過(guò)點(diǎn)2作8AE于點(diǎn)G,交直線8于點(diǎn)足

H

（1）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在正方形ABC。的外部作等腰直角三

角形CFH,連接

①如圖1,若點(diǎn)E在線段5C上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段5C的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；

如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若點(diǎn)E在線段5C上，以3E和防為鄰邊作「班*,聞是9中點(diǎn)，連接

GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,

點(diǎn)。、E分別在邊ABAC上，A￡）=AE,連接3E,點(diǎn)/，N,P分別為DE,BE,BC

的中點(diǎn).

圖2

（1）觀察猜想:

圖1中，線段與NP的數(shù)量關(guān)系是,NMVP的大小是

（2）探究證明:

把VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP的形

狀，試說(shuō)明理由;

（3）拓展延伸:

把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AZ）=1,AB=3,請(qǐng)直接寫出△感?面積的最大

值.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,5。交于點(diǎn)。,

過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)E,延長(zhǎng)到點(diǎn)歹，使CF=BE,連接OR.

BECI

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE,若BD=8,AC=4,求cos/BOE.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）（1）【問(wèn)題探究】如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)RG分

別在邊5C、CD±,且”_LBG于點(diǎn)尸，求證：AF=BG；

（2）【知識(shí)遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E、RG、H分別在邊A3、

BC、CD、A￡>上，且于點(diǎn)P.若￡GH/=48,求彼的長(zhǎng)；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在菱形ABCD中，NA6c=60°,AB=9,點(diǎn)E在直線A5上，

BE=6,A產(chǎn)，DE交直線于點(diǎn)尺請(qǐng)直接寫出線段bC的長(zhǎng).

AD

11.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖1.四邊形ABC。、CEGb都是矩形，點(diǎn)G在AC

上，且——=—,A6=6,=8,小李將矩形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)a°（0<a<360）,

AC2

如圖2所示：

（1）①他發(fā)現(xiàn)——的值始終不變，請(qǐng)你幫他計(jì)算出一的值二

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)8、E、F在同一條直線上時(shí)，求出AG的長(zhǎng)度是多少?

（2）如圖3,_ABC中，AB=AC=非，ZBAC=a0,tanZABC=-,G為的

2

中點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且。G=好，將線段3。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。，得到

5

DB'，則四邊形BACB'的面積的最大值為

12.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）問(wèn)題探究：如圖1,在正方形點(diǎn)E,Q分別在

邊BC,ABk,。。，4后于點(diǎn)。點(diǎn)6,尸分別在邊CD、AB±,GPLAE.

（1）①判斷DQ與AE的數(shù)量關(guān)系：DQAE-,

②推斷：——=（填數(shù)值）；

AE

（2）類比探究：如圖2,在矩形ABCD中，—將矩形ABCD沿G/折疊，使點(diǎn)A

AB3

落在邊上的點(diǎn)E處,得到四邊形FEPG,EP交CD于點(diǎn)、H,連接AE交GF于點(diǎn)。.試

探究GE與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）拓展應(yīng)用1：如圖3,四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD^5,

DN

點(diǎn)M,N分別在邊BC、ABh,求——的值.

AM

BE3

（4）拓展應(yīng)用2：如圖2,在（2）的條件下，連接CP,若——=—,GF=2回,求CP

BF4

的長(zhǎng).

13.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與

點(diǎn)C不重合），連接班，線段班的垂直平分線與ADBC、5E分別相交于點(diǎn)尸、G、H,

連接FB、EE.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,若四邊形ABCD為矩形，BFA.EF，求證：AABF^ADFE；

【能力提升】如圖2,若四邊形ABCD為矩形，A3=4,5C=6,43G尸是等腰三角形,

求EC的長(zhǎng):

【拓展應(yīng)用】如圖3,若四邊形ABCD為菱形，5￡，。,3后的垂直平分線與4。、

BC、3E分別相交于點(diǎn)/、G、H,連接EB、FE.若△BEE是等邊三角形，求sinA的

值.

圖3

14.（2024?廣東深圳-33校三模）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片.由于折痕所在的直線

不同，折出的圖形也不同，請(qǐng)根據(jù)下面不同的折痕解決下列問(wèn)題：

問(wèn)題（1）：如圖，在矩形紙片ABCD中，將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，A5邊對(duì)折后與邊

相交于點(diǎn)￡,試判斷八4?！晷螤睿⒄f(shuō)明理由.

問(wèn)題（2）：如圖，在矩形ABCD中，A3=6,AD=4,以尸。為折痕對(duì)折V3PQ,2點(diǎn)落

在。C的中點(diǎn)F處，求折痕PQ的長(zhǎng)

問(wèn)題（3）：如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2娓,P在直線AB上，。在邊上,

以尸。為折痕對(duì)折V3PQ,2點(diǎn)落在邊。C上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為R當(dāng)尸到A點(diǎn)的距離為1時(shí)，直接

寫出折痕PQ的長(zhǎng).

答用圖

15.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是A3邊上一點(diǎn)，F(xiàn)

為CE的中點(diǎn)，將線段4/繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段GF,連接CG.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組

成員發(fā)現(xiàn)線段CE與CG之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用“特殊到一般”的思想開(kāi)展了探

圖1

【特例分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，小組成員經(jīng)過(guò)討論得到如下兩種思路:

思路一思路二

第如圖3,將線段Cb繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

如圖2,連接AG,AC,證明

至HF,連接AH,證明

AAC3AAEF；

步AAFHgAGFC；

第利用相似三角形的性質(zhì)及線段CE與利用全等三角形的性質(zhì)及線段CE與AH

防之間的關(guān)系，得到線段CE與CG之間的關(guān)系，得到線段CE與CG之間的數(shù)

步之間的數(shù)量關(guān)系.量關(guān)系.

（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫出線段CE與

CG之間的數(shù)量關(guān)系式：；

【深入探究】（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合時(shí)，（1）中線段CE與CG之間的數(shù)量關(guān)系

還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【拓展延伸】（3）連接AG,記正方形ABCD的面積為S],_AFG的面積為$2,當(dāng)△FCG

工

是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出亍的值.

16.（2024?廣東深圳.羅湖區(qū)二模）【問(wèn)題提出】

⑴如圖1,在邊長(zhǎng)為6的等邊.ABC中，點(diǎn)。在邊上，CD=2,連接A。，貝『ACD的

面積為

圖1

【問(wèn)題探究】

（2）如圖2,己知在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)尸在邊CD上，且

NE4F=45。，若EF=5,求△AEF的面積；

8

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來(lái)水搶修，需要在AB=4米，40=46米的矩

形A6CD區(qū)域內(nèi)開(kāi)挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、尸分別在BC、CD邊上(不與點(diǎn)8、

C、。重合)，且NE4F=60。，為了減少對(duì)該路段的交通擁堵影響，要求△AEF面積最小,

那么是否存在一個(gè)面積最小的_A即？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在,

17.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模)【問(wèn)題探究】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，同學(xué)們正在解決如下問(wèn)題：

如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊DC,上的點(diǎn)，連接AE,DF,S.AE±DF

于點(diǎn)G,若A3=6,BC=8,求——的值.

AE

A

圖1圖2圖3

(1)請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問(wèn)題，并說(shuō)明理由.

【初步運(yùn)用】

An3

(2)如圖2,在ABC中，ZBAC=90°,不；=:，點(diǎn)。為人。的中點(diǎn)，連接3。，過(guò)

AC4

AF

點(diǎn)A作AEL8D于點(diǎn)點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F,求一的值.

BD

【靈活運(yùn)用】

AD2

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，440=90°,—=—,AB=BC,AD=CD,

AD3

CF

點(diǎn)E,尸分別在邊AB,上，且DELCF,垂足為G,則—=

DE

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊A3、BC

上，江，0￡于點(diǎn)0,點(diǎn)6,以分別在邊A￡＞、BCEGH1CE.

（1）問(wèn)題解決：①寫出。歹與CE的數(shù)量關(guān)系：

②k的值為;

（2）類比探究，如圖②，在矩形ABCD中，—=k（/為常數(shù)），將矩形ABCD沿GH折

BC

疊，使點(diǎn)C落在A5邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形EEG”交A。于點(diǎn)P，連接CE交GH于

點(diǎn)。.試探究GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形ABCD中，4A0=90°,AB=BC=6,AD=CD=4,

CE

BFLCE,點(diǎn)、E、尸分別在邊AB、AD上，求——的值.

BF

19.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）（1）問(wèn)題呈現(xiàn)：如圖1,「ABC和VADE都是直角三角

形，ZABC=ZADE=90°,且空=42=』.連接30，CE,求"的值.

BCDE4CE

（2）類比探究：如圖2,—ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,將」WC繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60°得到VADE，連接3D,EC,延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)P，設(shè)AB=6,求￡尸的

長(zhǎng)；

（3）拓展提升：如圖3,在等邊.4BC中，AB=6,是BC邊上的中線，點(diǎn)M從點(diǎn)A

移動(dòng)到點(diǎn)。，連接MC,以MC為邊長(zhǎng)，在MC的上方作等邊_MVC,求點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路

徑長(zhǎng).

圖1圖2圖3

20.（2024?廣東深圳?九下期中）（1）請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1,寫出完整的證明過(guò)程.

（2）初步探究：如圖2,在四邊形ABCD中，

ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,ZCBD=30°,皿于點(diǎn)P,連接CP,

AC=G+1.

①/ACD的度數(shù)為

②求AD長(zhǎng).

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,在平行四邊形ABCD中，歹是邊上一點(diǎn),

ZABC=60°,BC=6,BF=2.按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半

徑作弧，分別交ABBC于點(diǎn),M,N；②分別以點(diǎn)N為圓心，大于工的長(zhǎng)為半

2

徑作弧,兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE.過(guò)點(diǎn)F作PF〃AB交BE于點(diǎn)、P,過(guò)點(diǎn)P作PG，A3

于點(diǎn)G,。為射線座上一動(dòng)點(diǎn)，連接GQ,CQ,若PQ二BP,直接寫出期的值.

專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)

頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中

點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.

圖1圖2

（1）如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，AF=非,CE=2,則AE=

；AB=；

（2）如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形”，S.AB^BD,猜想A尸與CD的關(guān)

系，并說(shuō)明理由；

（3）①如圖3所示，在ABC中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于點(diǎn)E,

請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提

示：不限作圖工具）；

②若ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱得到VAB'C，連接CB',作射線CB'交①中所畫平行四邊形

的邊于點(diǎn)P,連接尸E,請(qǐng)直接寫出/方的值.

【答案】（1）1,V17

（2）AF=，理由見(jiàn)解析

（3）①見(jiàn)解析；②PE=士叵或上叵.

42

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可推出△AERSACEB,得到一=一,從而推出AE,再根據(jù)

BCCE

勾股定理可求得跳，再求得A5；

4J-!1T-Ay-VJ-!

（2）根據(jù)題意可推出.AED^,-.FEB，得到生=—=—=2,設(shè)BE=a,則。E=2。,

EFBFEB

AB=CD=3a,再利用勾股定理得到AE,從而推出反、A/，即可求得答案；

（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線A。，使AO=6C,連接CD,延長(zhǎng)BE

交AD于點(diǎn)F；第二種情況，作ZABC的平分線，取CH=CB交ZABC的平分線于點(diǎn)H,

延長(zhǎng)CH交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，在射線B4上取A*=A5，連接。咒；第三種情況，作

AD//BC,交3E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接CD,作的垂直平分線；

在DA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使AR=AD,連接3戶；

②根據(jù)①中的三種情況討論：

第一種情況，根據(jù)題意可證得AB4c是等腰三角形，作則AH=HC,可推

出△CDHS2\CB，E,從而推出卓=必，計(jì)算可得P”，最后利用勾股定理即可求得

B'ECE

PE；

第二種情況，延長(zhǎng)C4、。尸交于點(diǎn)G,同理可得,PGC是等腰三角形，連接E4,可由

_GAFs_CAB,結(jié)合三線合一推出24,AC,從而推出CR4S_CB，E,同第一種情況

即可求得/方；

第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意.

【小問(wèn)1詳解】

解：ADBC,歹為A￡）的中點(diǎn)，AD=BC,AF=逐，CE=2,

：._AEFsCEB,BC=AD=2AF=2后,

AFM即奈竽解得31，

~BC

BE2=BC2-CE2=(2后-2?=16,

AB=VAE2+BE2=JF+16=A/17；

故答案為：1；Ji萬(wàn);

【小問(wèn)2詳解】

解：AF=41CD>理由如下：

根據(jù)題意，在垂中四邊形ABCD中，AF±BD,且尸為的中點(diǎn),

AD=BC=2BF,ZAEB=90°；

又AD//BC,

:._AED^_FEB>

AEADDE

?，------------------2；

EFBFEB

設(shè)BE=a,則?！?2〃，

AB=BD，

AB=BD=BE+ED=Q+2a=3a,

???AE=-BE1=J(3a)2-上=2缶，EF=6a，

AF=AE+EF=2y[2a+41a=3版a，

AB=CD,

,AF_AF_3亞a_A

CDAB3a

AF=41CD；

【小問(wèn)3詳解】

解：①第一種情況：

作的平行線A。，使40=5。，連接CD,

則四邊形ABCD為平行四邊形；

延長(zhǎng)3E交A。于點(diǎn)尸，

BCAD,

QAEFSCEB,

AF_AE

''~BC~而‘

AD=BC，CE=2AE,

AFAE111

-----=—,即QnAF=-BC——AD,

BCCE222

???尸為AD的中點(diǎn)；

故如圖1所示，四邊形A5CD即為所求的垂中平行四邊形:

第二種情況：

作/ABC的平分線，取CH=CB交/ABC的平分線于點(diǎn)“，延長(zhǎng)C”交延的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、D,在射線朋上取■=A5,連接。支，

故A為JB戶的中點(diǎn)；

同理可證明：AB=-CD,

2

則6歹=AB+AF=2AB=CD,

則四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖2所示，四邊形BCD尸即為所求的垂中平行四邊形：

第三種情況：

作AD〃BC,交助的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接C。，作的垂直平分線;

在。A延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使AR=AT>,連接卸L

則A為。戶的中點(diǎn)，

同理可證明AD=13C,從而DF=BC,

2

故四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖3所示，四邊形3C"即為所求的垂中平行四邊形：

B

圖3

②若按照?qǐng)D1作圖

由題意可知，ZACB=ZACP,

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZACB=ZPAC,

:.ZPAC=ZPCA,

.?.△Q4c是等腰三角形；

過(guò)P作于H,則=

BE=5,CE=2AE=12,

■.B'E=BE=5,AE=6,

A//=HC=1AC=1(AE+CE)=1(6+12)=9,

:.EH=AH—AE=9—6=3；

PHLAC,BEVAC,

.?△CPHS^CB'E,

PHCHannTTCHB'E9x515

B'ECECE124

3741

；?PE='EH?+PH

若按照?qǐng)D2作圖,

延長(zhǎng)C4、。尸交于點(diǎn)G,

同理可得：PGC是等腰三角形,

連接Q4,

GF〃BC,

:._GAF^CAB,

AFAG,

---=----=1,

ABAC

:.AG=AC,

.-.PA±AC；

同理，△CPAs^cfi'E,

AE=6,EC=12,B'E=BE=5,

B'ECEB'EAC5x1815

——=——，BHPnPA=

PAAC

PE=y/pA2+AE~=

若按照?qǐng)D3作圖，貝ij：沒(méi)有交點(diǎn),不存在PE（不符合題意）

故答案為：PE=2叵或土亙

42

【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題

意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連

接BE,

①若BE=BC,過(guò)C作CFL5E交5E于點(diǎn)尸，求證：AABE必FCB；

②若S矩形ABCO=2°時(shí)，則BECF=.

(2)如圖，在菱形ABCD中，cosA=—,過(guò)C作CEIAB交A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)E

3

作EF1AD交AD于點(diǎn)產(chǎn)，若S菱形"co=24時(shí)，求ER5C的值.

(3)如圖，在平行四邊形ABCD中，ZA=60°,AB=6,">=5,點(diǎn)E在。。上，且CE=2,

點(diǎn)口為上一點(diǎn)，連接所，過(guò)E作EGLER交平行四邊形ABCD的邊于點(diǎn)G,若

■?￡6=7若時(shí)，請(qǐng)直接寫出47的長(zhǎng).

備用圖

3

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②20；(2)32；(3)3或4或一

2

【解析】

【分析】(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NA6E+NCBb=90°,NCEB=NA=90°,進(jìn)而證

明ZFCB=NABE結(jié)合已知條件，即可證明AABE^AFCB；

②由①可得NFCB=NAB￡,NCEB=NA=90°,證明ABEs..FCB,得出—=—,

CFBC

根據(jù)S^ABCD=AB-CD=2Q,即可求解；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，AB=BC,根據(jù)已知條件得出

14

BE=-BC,AE=-AB,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)分三種情況討論,①當(dāng)點(diǎn)G在AD邊上時(shí),如圖所示,延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

連接GF,過(guò)點(diǎn)E作石于點(diǎn)證明_EZ)MS_EC尸，解Rtz\DER,進(jìn)而得

出MG=7,根據(jù)tan/MEH=tan/HGE,得出HE?=HM?HG，建立方程解方程即

可求解；②當(dāng)G點(diǎn)在A5邊上時(shí)，如圖所示，連接GF,延長(zhǎng)GE交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)知,

過(guò)點(diǎn)6作仍〃人。，則GN〃BC,四邊形ADNG是平行四邊形，同理證明

一ENGS—ECM,根據(jù)tanNFEH=tan/M得出硝2,建立方程，解方程

即可求解；③當(dāng)G點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)5作于點(diǎn)T,求得

S而SEFG=ZG，得出矛盾，則此情況不存在.

【詳解】解：(1)①???四邊形ABCD是矩形，則NA=/4BC=90°,

ZABE+ZCBF=90°,

又；CFLBC,

：.NFCB+Z.CBF=90°,ZCFB=ZA=90°,

：.ZFCB=ZABE,

又：BC=BE,

：.Z\ABE^Z\FCB；

②由①可得NECB=/4BE,NCFB=ZA=90°

ABErFCB

.ABBE

"CF-BC'

又：S矩形BAC。=ABC。=20

:.BECF=ABBC=2b,

故答案為：20.

(2)?..在菱形ABC。中，cosA=-,

3

：.AD//BC,AB=BC,

則NCBE=NA,

CEJ.AB,

ZCEB=90°,

BF

'：cosZCBE=——

CB

：.BE=BC?cosNCBE=BCxcosNA=工BC,

3

114

/.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB,

333

EFJ.AD,CE.LAB

：.ZAFE=ZBEC=90°,

又NCBE=NA,

:?△AFEMBEC,

.AEEFAF

"BC~CE~BE'

…444

；

EF-BC—AE-CE——3ABxCE——3S奏^,^*ARrn=—3x24=32

(3)①當(dāng)點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)石石交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接GF,過(guò)

點(diǎn)E作EHLDM于點(diǎn)H,

:平行四邊形ABCD中，AB=6,CE=2,

：.CD=AB=6,DE=DC—EC=6—2=4,

,：DM//FC,

aEDMSAECF

EMED

：.——=——=-=2,

EFEC2

.SMGE_EM_

,?仁一正一

***SMGE=2SEFG=EF-EG=76

在中，ZHDE=ZA=60°,

則E〃=@DE&X4=25DH==DE=2,

222

：.-MGxHE=7y/3

2

:.MG=7,

?：GE±EF,EHIMG,

：.ZMEH=90°-ZHEG=ZHGE

：.tanZMEH=tanZHGE

.HEHM

,?HG-HE

：■HE2=HMHG

設(shè)AG=a,則GD=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5—a+2=7—a,

HM=GM—GH=1—(J—a)=a,

解得：a=3或a=4,

即AG=3或AG=4,

②當(dāng)G點(diǎn)在AB邊上時(shí)，如圖所示，

Z/

連接GF,延長(zhǎng)GE交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GN〃AT>,則GN〃BC,四邊

形ADNG是平行四邊形，

設(shè)AG=x,則D/V=AG=x,EN=DE—DN=4—x,

,：GN//CM

ENG^ECM

.EGENGN4-x

CM=*10

4^1

SGEF_EG_4-x

SMEFEM2

,:EFEG=70

?c?2sCEF7^/3

■,MEF—j-匚^

過(guò)點(diǎn)E作即IBC于點(diǎn)”,

在RtAEHC中，EC=2,ZECH=60°,

:.EH=6CH=L

:.SMEF=之義MFXEH,則=辿，

224-x

14inx

/.FH=MF—CM—CH=--------------1=—^—

4-x4—x4-x

in14-x

MH=CM+CH=-^-+1=——-

4-x4-x

ZMEF=NEHM=9U0,

：.NFEH=90°-ZMEH=ZM

tanZ.FEH—tanNM,

即必=空

EHHM

?'-EH?=FH?HM

2=^x14-x

4-x4-x

3

解得：%=萬(wàn),々=8（舍去）

3

即AG=-；

2

③當(dāng)G點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示,

過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)T，

在Rt37T中，CT=-BC=-,BT=6TC=^^，

222

?0_1”"_1585_25百

??S——BTxTC——x--x——------，

nTr22228

EF?EG=7A/3，

,,SEFC=—6,

???生百＜工6,

82

???G點(diǎn)不可能在BC邊上，

3

綜上所述，AG的長(zhǎng)為3或4或一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的

性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形A6CD中，E

為AD邊上一點(diǎn)，將A4EB沿BE翻折到.5EF處，延長(zhǎng)所交CD邊于G點(diǎn).求證：

ABFG^ABCG

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8,AB=6,將

AAEB沿BE翻折到aBEF處，延長(zhǎng)所交邊于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H,且

FH=CH,求AE的長(zhǎng).

圖②

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形ABCD中，E為CD邊上三等分點(diǎn)，/。=60。,將.ADE

沿AE翻折得到AAFE,直線E產(chǎn)交于點(diǎn)P,求CP的長(zhǎng).

備用1備用2

936

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)-；(3)CP的長(zhǎng)為一或一

225

【解析】

【分析1(1)根據(jù)將AAEB沿BE翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，得=5尸,

ZBFE=ZA=90°,即得ZBFG=90°=ZC,可證Rt_BFG%Rt_BCG(HL)；

(2)延長(zhǎng)A。交于。，設(shè)FH=HC=x,在RjBCH中,有8?+d=(6+/2,

r6BGFG一

711-=------=-----257

得x=—，DH=DC—HC=—,由ABFG^ABCH，得8「77,BG=—,FG=一,

336+--44

33

7

而EQ//GB,DQ//CB,可得器=器，即擊=3，口。若,設(shè)AE=EF=m,

6~3

144

j-J_'j-?mc

則上=8—加，因上=—,有7=},即解得AE的長(zhǎng)為二

BGFG2572

44

(3)分兩種情況：(I)當(dāng)。E=gr>C=2時(shí)，延長(zhǎng)EE交AD于。，過(guò)Q作于〃，

設(shè)DQ=x,QE=y,^\AQ=6-x,CP=2x,由AE是的角平分線，有生三=)

62

①，在RtAHQE中，(1一;x)?+(日盼2=9②，可解得x=4，CP=2x=1；

(II)當(dāng)CE=gz)C=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交A。延長(zhǎng)線于Q',過(guò)。作。NLAB交班延長(zhǎng)線

于N,同理解得x=￡,CP=1.

【詳解】證明：(1)將AAES沿BE翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BF,ZBFE=ZA=90°,

:.ZBFG^90°=ZC,

AB=BC=BF,BG=BG,

Rt_BFG沿Rt_BCG(HL)；

(2)解：延長(zhǎng)BH,AD交于。，如圖:

設(shè)FH=HC=x,

在RtBCH中,BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

7

解得x——,

3

:.DH=DC-HC=—,

3

ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=NFBG,

:.^BFG^ABCH,

6BGFG

BFBGFG

----------------，即Rn87,

BCBHHC二

33

257

:.BG=—,FG=—,

44

EQUGB,DQ//CB,

AEFQ^AGFB,NDHQsACHB,

7

BCCH83

而‘即質(zhì)=二

3

設(shè)AE=EF=m,則DE=8—m,

88144

/.EQ=DE+DQ=8-m-\----=-------m,

77

MFQSAGFB,

144

，旦交，即Tw，

BGFG257

44

9

解得加=一,

2

9

/.AE的長(zhǎng)為一；

2

(3)(1)當(dāng)OE=；OC=2時(shí)，延長(zhǎng)EE交A￡)于。，過(guò)。作"LCD于"，如圖:

CP//DQ,

/.ACPESAQDE,

-C-P=-C-E=2c,

DQDE

CP=2x,

MDE沿AE翻折得到AAFE,

:.EF=DE=2,AF=AD=6,NQAE=NFAE,

.?.AE是AA。尸的角平分線，

AQ=QEan6-x裳①,

~AF~~EF即7

ZD=60°,

?.DH=—DQ=—x,HE=DE—DH=2——x,HQ=乖）DH=x,

在RtAHQE中,HE2+HQ2=EQ2,

廠.（1—；x）2+（^-x）2=y?②，

3

聯(lián)立①②可解得％=—,

4

3

：CP=2x=-；

2

（II）當(dāng)CE=：OC=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交AD延長(zhǎng)線于。'，過(guò)。作ON,交B4延長(zhǎng)線

于N,如圖: