2025廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編《圓的計算與證明》含答案解析

專題15解答中檔圓的計算與證明

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A5Z）中，AB=BD,。。為△A3。的外接

圓，延為。。的切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長交3E于點(diǎn)E.

D

（1）求證：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半徑.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,B均在格點(diǎn)

上，OA=3,AB=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問

題：

①過點(diǎn)A作切線AC,且AC=4（點(diǎn)C在A的上方）；

②連接OC,交。。于點(diǎn)。；

③連接BD,與AC交于點(diǎn)E.

（1）求證：為OO的切線；

（2）求AE的長度.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)丁=5爐,先向上平移6個單位，再向右平移3

個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標(biāo)系上.

y=2x2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

（L2）（4,8）

。，8）（5/4）

（T2）（2,8）

(-2,8)UM

（1）冽的值為；

11

（2）在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并求出y=-萬必9+5與丁=5好9的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P（玉,％）,。（9,當(dāng)）在新的函數(shù)圖象上，且尸，。兩點(diǎn)均在對稱軸的同一側(cè)，若

兀>/，則4巧（填“>”或“〈”或“=”）

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別

交AC、于點(diǎn)。、E.點(diǎn)尸在AC的延長線上，且NC3P=LNC4B.

2

A

(1)求證：直線防是O。的切線；

(2)若AB=3,sinZCBF=—,求正的長.

5

5.(2024?廣東深圳?福田區(qū)三模)如圖1,AB為O。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。為AC

的中點(diǎn)，連接AD,CD,過點(diǎn)C作CE〃A￡)交A3于點(diǎn)E,連接DE,DB.

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。。的切線交EC的延長線于點(diǎn)R若A￡)=0,且AC=BC，求石尸

的長.

6.(2024.廣東深圳33校聯(lián)考二模)如圖，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

過點(diǎn)A作交80的延長線于D連接CD,過點(diǎn)。作DEL50交的延長線于

(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由;

（2）若DE=10,sinZDAO=—，求四邊形ABC。的面積.

5

7.（2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模）如圖，QO是VABC的外接圓，直徑3。與AC交于點(diǎn)E,

點(diǎn)尸在5c的延長線上，連接。產(chǎn)，ZF=ZBAC.

（1）求證：。歹是0。的切線；

（2）從以下三個選項(xiàng)中選一個作為條件，使。/〃AC成立，并說明理由;

①=②AD=DC；③=

你選的條件是：.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，8。是矩形ABC。的對角線.

（1）求作。A,使得。A與8。相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)瓦）與。A相切于點(diǎn)E,CF±BD,垂足為尸.若直線C尸與。A相

切于點(diǎn)G,求tan/ADB的值.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可

近似看成一個‘圓，即弧A。。，已知。4和遮陽棚桿子OD在同一條直線上，且與地面垂直,

4

當(dāng)上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時，光線恰好能照到桿子底部。點(diǎn),

已知OD長為2m.

（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離

遮陽棚外檐C點(diǎn)正下方E點(diǎn)（月-1卜的尸點(diǎn)處有一株高為L2m的植物，請問植物頂端能否

會被陽光照射？請說明理由.（指”L73）

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

12

部分，已知新遮陽棚上最高點(diǎn)仍為A點(diǎn)，且外檐點(diǎn)C到AD的距離為二111、到DH的距離

28

為-m.現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)P為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其

中GP，與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點(diǎn)P（不含A點(diǎn)）都能按照上述

要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備_____m的鋼材搭設(shè)架子.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，。。是AABC的外接圓，連接。A交于點(diǎn)。.

（1）求證：NQ4C與4互余；

（2）若AD=6,班＞=10,CD=8,求。。的半徑.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，在AABC中，AB=AC,以A3為直徑的交

邊AC于點(diǎn)。，連接3。，過點(diǎn)C作CE〃AB.

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作。。的切線，交CE于點(diǎn)尸；（不寫作法，保

留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點(diǎn)P作。。的切線，切點(diǎn)為A,AB是。。

的直徑.連接尸0,過點(diǎn)A作/3。的垂線，垂足為。，同時交。。于點(diǎn)C,連接3cpe.

（1）求證：PC是的切線：

（2）若BC=2,OB=?OD,求切線P4的長.

13.（2024?廣東深圳-33校三模）如圖，。。是VABC的外接圓，AD是O。的直徑，尸是AD

延長線上一點(diǎn)，連接。，CF,且CF是。。的切線.

（1）求證：ZDCF=ZCAD；

（2）若CF=限叵，DF=4,求。。的半徑.

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖，以A3為直徑的。。交于點(diǎn)，DE1AC,

垂足為E.

（1）在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請增加一個條件：，使直線OE為。。的切線,

并說明理由；

2

（2）在（1）的條件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半徑.

3

15.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模）如圖，45是0。的直徑，弦8，回于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在。。

上，ZPBC=NC.

（1）求證：CB//PD；

（2）若5c=12,BE=8,求。。的半徑.

16.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)。在。。上；按下列步完成

作圖，并回答問題：

①作ZBAC的平分線AD交。。于點(diǎn)。，

②過點(diǎn)O作直線AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E,

③連接3DCD,

（1）求證：直線￡）￡1是O。的切線；

（2）若DE=#＞，AB=4,求AD的長.

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖，以等腰4WC的腰A3為直徑作O。，交底邊于

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作?！旯C,垂足為工

A

BDC

（1）求證：DE為。。的切線；

（2）若DE=4,DC=6,求OO的半徑.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）如圖，在AABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，且

/BC0='/A,點(diǎn)。在5c上，以點(diǎn)。為圓心的圓經(jīng)過G。兩點(diǎn).

2

（1）求證：是的切線；

3

（2）若sinB=《,。。的半徑為3,求AC的長.

19.（2024?廣東深圳.九下期中）家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料，電阻R（單

位：kQ）隨溫度/（單位：℃）（在一定范圍內(nèi)）變化而變化，通電后該表記錄了發(fā)熱材料溫度

從上升到30°。的過程中，發(fā)現(xiàn)電阻與溫度有如下關(guān)系：

t(℃)10152030

R/Q)6432

R/k。

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O510152025303540455055〃工

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出實(shí)數(shù)對&H)的對應(yīng)點(diǎn)，猜測并確定R與。之間的函數(shù)解

析式并畫出其圖象；

4

(2)當(dāng)時，R與?的函數(shù)解析式為R=百，—6.在圖中畫出該函數(shù)圖象；

(3)根據(jù)以上信息，家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)發(fā)熱材料的電阻不超過

6kQ?

20.(2024?廣東深圳?紅嶺中學(xué)模擬)如圖，在△ABC中，NABC=90。，點(diǎn)。是5c邊上一

點(diǎn)，以CD為直徑的OO與邊AC交于點(diǎn)連接BE,AB=BE.

A

￡

BD\O

(1)求證：B石是O。的切線;

(2)若tanNACB=」，。。的直徑為4,求5。的長.

2

專題15解答中檔圓的計算與證明

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A5Z）中，AB=BD,。。為△A3。的外接

圓，延為。。的切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長交3E于點(diǎn)E.

D

（1）求證：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）375

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）連接50并延長，交AD于點(diǎn)H,連接0。，易證80垂直平分AD，圓周角定理，切

線的性質(zhì)，推出四邊形5HDE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知￡>"=3石=5,勾股定理求出的長，設(shè)OO的半徑為「，在RtAAOH

中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接80并延長，交AD于點(diǎn)H,連接。。，

D

VAB=BD,OA=OD,

/.80垂直平分AD,

ABH±AD,AH=DH，

BE1為。。的切線，

/?HBLBE，

?：AC為。O的直徑，

：.ZADC^90°,

四邊形5HDE為矩形，

；?DELBE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形3?。┦癁榫匦?，BHJ.AD，AH=DH,

SAH=DH=BE=5,

?*-BH=y/AB2-AH2=575，

設(shè)。。的半徑為,，貝的OA=OB=r,OH=BH-OB=5y[5-r,

在Rtaaw中，由勾股定理，得：,=（5『+（56—

解得：r-3^5；

即：。。的半徑為36.

2.（2023?廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,B均在格點(diǎn)

上，04=3,AB=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問

題：

①過點(diǎn)A作切線AC,且AC=4（點(diǎn)C在A的上方）;

②連接0C,交。。于點(diǎn)。；

③連接BD,與AC交于點(diǎn)E.

（1）求證：5。為。。的切線；

（2）求AE的長度.

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析

3

（2）AE=-

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到OC=Nod+402=5，然后證明出

AAOC^ADOB（SAS）,得至I]ZOAC=ZODB=90°,即可證明出BD為O。的切線；

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=AC=4,然后證明出VB4ESVBDO,利用相

似三角形的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

如圖所示，

：AC是OO的切線,

；?OA1AC,

VOA=3,AC=4,

???OC=^O^+AC2=5>

VOA=3,AB=2,

***OB=OA+AB=5,

***OB=OC,

又,：OD=OA=3,AAOC=/DOB,

：.AAOC^DOB(SAS),

/.ZO4C=Z<9DB=90°,

/.ODLBD,

:點(diǎn)。在。。上，

為。。的切線；

【小問2詳解】

,/7Aoe冏DOB,

：.BD=AC=4,

VZABE=ZDBO,ZBAE=ZBDO,

，NBAE^NBDO,

AEABAE2

二——=——，即an一=一,

ODBD34

3

解得AE=—.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角

形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

1,

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=e],先向上平移6個單位，再向右平移3

個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標(biāo)系上.

y=2%2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

。，2）（4,8）

（2,8）（544）

(T2)(")

(-2對（U4）

（1）加的值為；

1919

（2）在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并求出丁=———+5與3；=——的交點(diǎn)坐標(biāo)；

2.2

（3）點(diǎn)P（%,%）,。（%,%）在新的函數(shù)圖象上，且RQ兩點(diǎn)均在對稱軸的同一側(cè)，若

yi>%則Xi4（填“>”或“〈”或“=”）

【答案】（1）m-6

（2）圖見解析，（石,0）和（―J?,0）

（3）<或>

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)（3,機(jī)）代入y=2（x—37+6即可求解.

（2）根據(jù)描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象可得平移后的圖象，在根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)得一元二次方程，解

出方程即可求解.

（3）根據(jù)新函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：當(dāng)P,。兩點(diǎn)均在對稱軸的左側(cè)時，若%>%，則占<多，

當(dāng)P,。兩點(diǎn)均在對稱軸的右側(cè)時，若為〉％,則%>々，進(jìn)而可求解.

【小問1詳解】

解：當(dāng)x=3時，m=2（3-3）2+6=6,

m=6.

【小問2詳解】

平移后的圖象如圖所示:

當(dāng)X=J?時，y=o,則交點(diǎn)坐標(biāo)為：（、后,0）,

當(dāng)x=—6時，y=。，則交點(diǎn)坐標(biāo)為：（一J?,o）,

綜上所述：y=—與y=的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（、后,0）和（-J?,0）.

【小問3詳解】

由平移后的二次函數(shù)可得：對稱軸x=3,。=2>0,

.?.當(dāng)％<3時，y隨尤的增大而減小，當(dāng)時，y隨工的增大而增大，

當(dāng)P,。兩點(diǎn)均在對稱軸的左側(cè)時，若丹〉為，則X[<9，

當(dāng)P,。兩點(diǎn)均在對稱軸的右側(cè)時，若為〉％,則%%,

綜上所述:點(diǎn)尸（七,州）,。（々,％）在新函數(shù)圖象上，且P，Q兩點(diǎn)均在對稱軸同一側(cè)，若M〉為，

則X]</或?yàn)?gt;%2，

故答案為：〈或〉.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，理解二次函數(shù)的性質(zhì)，

利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

4.（2024.廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在反48。中，AB=AC,以A3為直徑的O。分別

交AC、于點(diǎn)。、E.點(diǎn)廠在AC的延長線上，且=

2

A

BF

（1）求證：直線班'是。。的切線；

（2）若AB=3,sinZCBF=—，求班'的長.

5

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握各種

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳

角相等得到直角，從而證明結(jié)論；

⑵作CG,所于點(diǎn)G,利用已知條件證明廣，利用比例式求出線段長.

【小問1詳解】

證明：連接AE,

???AB是的直徑，

ZAEB=90。,

:.ZEAB+ZEBA=90°,

?.?AB=AC,

:.NEAB=NEAC,

ZCBF=-ZCAB,

2

ZCBF=ZEAB,

ZCBF+ZEBA=90°,

即NABb=90°,

二直線^8戶是。。的切線；

小問2詳解】

解：作CG_L5b于點(diǎn)G,

在RtAABE中，sinZEAB=sinZCBF=—

5

EB7?

---——，

AB5

AB=3,

.RF_3小

..JDJLS------------，

5

BC=2BE=述，

5

在Rt^BCG中，sinZCBF=—=—,

BC5

於6石

BC=-----，

5

??Cj--,

5

'.?CG//AB,

.GFCG

一而一而‘

BG=y]BC2-CG2=—

5

:.GF=BF-BG=BF-—

5

A

?：CG=-,AB=3,

5

DDAr----1--2-

52,

BF5

解得5尸=4.

5.(2024?廣東深圳?福田區(qū)三模)如圖1,AB為O。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。為AC

的中點(diǎn),連接AD,CD,過點(diǎn)C作CE〃A￡)交A3于點(diǎn)E,連接DE,DB.

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。。的切線交EC的延長線于點(diǎn)R若A￡)=0,且AC=BC，求石尸

的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵2+72

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧與弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，

等腰直角三角的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：

(1)由直徑所對的圓周角是直角得到NADfi=90。，由平行線的性質(zhì)得到

NEGB=NCGB=90。,證明得到EG=CG,再證明

△DGEmADGC(SAS),即可證明DE=DC；

(2)如圖所示,連接OD、OC,先求出ZAOC=NBDC=90°，則ZCDB=-ZBOC=45°,

2

進(jìn)而得到NADC=NAD5+NCDfi=135。，由平行線的性質(zhì)得到NZ)CE=45°,則可證明

△￡)CE是等腰直角三角形，可得CD=DE=AD=0，則CE=J5CD=2;

是。。的切線，再證明NCD尸=22.5。=/尸，得到。尸=8=血，貝U

EF=CE+CF=2+y/2-

【小問1詳解】

證明：設(shè)CE,BD交于G,

AB為。。的直徑，

AZAZ)B=90°,

?：CE//AD,

：.NEGB=NADB=90°,

：.NEGB=/CGB=90°,

:點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

?>-AD=CD，

：./EBG=NCBG,

又,：BG=BG，

：.ACBG名AEBG,

：.EG=CG,

又?：DG=DG,/DGE=/DGC,

：.SGE均DGC(SAS),

**?DE=DC；

C

D

rI【小問2詳解】

圖i

解：如圖所示，連接OD、OC,

"-,AC=3C，

ZAOC=ZB￡>C=90°,

/.ZCDB=-ZB（9C=45°,

2

ZADC=ZADB+ZCDB=135°,

?/AD//CE,

：./DCE=180°—/ADC=45°,

由（1）可得DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=45°,

/.△￡）色是等腰直角三角形，

?二.,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

二AD=CD，

:.CD=DE=AD=6,

?>-CE=亞CD=2;

:。石是。。的切線，

ZODF=90°,

ZBDF=67.5°,

NF=90°-NFDB=22.5°,

?/ADHEF,

，NADF=180°-ZF=157.5°，

：./CDF=2250=/F,

CF=CD=也,

EF=CE+CF=2+y/2.

F

圖2

6.（2024?廣東深圳-33校聯(lián)考二模）如圖，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

過點(diǎn)A作AD/BC交80的延長線于O,連接CD,過點(diǎn)。作DELBD交的延長線于

E.

BCE

（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

（2）若。E=10,sinZDAO=—,求四邊形ABC。的面積.

5

【答案】（1）四邊形ABCD是菱形，理由見解析；

（2）25.

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角的相關(guān)計算、菱形

的面積計算，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

第一問，由等腰三角形三線合一，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證得到=

推出四邊形ABCD是平行四邊形，再結(jié)合鄰邊相等，得證；

第二問，由sinNZMO=sin/3CO,得到80和的比，再利用勾股定理得到80和CO

的長度，最后由菱形的面積公式得出答案.

【小問1詳解】

四邊形ABCD是菱形，理由如下，

AB=BC,80平分/ABC,

???AC1BD,AO^CO,

■：ADUBE,

；ZADO^ZCBO,

：.AADO=^CBO（AAS）,

AD=BC,

四邊形ABC。是平行四邊形，.

??AB=BC,

四邊形ABC。是菱形.

【小問2詳解】

???OC//DE,。是的中點(diǎn)，

*'■ABOCSABDE，

,BOBCPC1

??茄一族一法—5'

OC=-DE=-xlQ=5,

22

AD//BE,

/DAO=ZBCO,

■■■sinZDAO=sinZBCO,

BC5

設(shè)50=x,則5C=&x，

由及ABOC得,￡+52k（小,

x=-,SPBC>=-,

22

???四邊形ABC。是菱形,

?.BD=2BO=5,AC=2CO=10,

S^^——BD-AC=—x5xlO=25.

麥影ABfiCrDn22

故答案為：25.

7.（2024?廣東深圳33校聯(lián)考一模）如圖，QO是VABC的外接圓，直徑3。與AC交于點(diǎn)E,

點(diǎn)尸在5C的延長線上，連接DR,ZF=ZBAC.

（1）求證：。歹是0。的切線；

（2）從以下三個選項(xiàng)中選一個作為條件，使。尸〃AC成立，并說明理由；

①AB=AC；②A。"。；③NC4D=ZAB"

你選的條件是：.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，理解并掌握相關(guān)圖形

的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由直徑所對圓周角為直角可知N54C+ND4c=90。，結(jié)合圓周定理可知

ZDAC=ZDBC,由/歹=44。，可知ZF+N￡>fiC=90°,進(jìn)而可知即，爐，即

可證明結(jié)論；

（2）若選②，由等弧所對圓周角相等可知NASD=NDB廠，結(jié)合（1）證NADB=NR,

由圓周角定理可知/4/汨=/8。4,證得/歹=/86,進(jìn)而可得結(jié)論；

若選③由同弧所對圓周角相等可知NC4O=NOBC,結(jié)合NC4D=NA5。，可知

ZABD=NDBC,得公。=℃，同②，可證。7〃AC.

【小問1詳解】

證明：是。。的直徑，

ZBAD=90°,

ZS4C+ZZ14C=90o,

CD=CD

/DAC=NDBC,

又：ZF=ZBAC,

：.ZF+ZDBC=90°,則ZBDF=90°,

：.BD±DF,

O歹是。。的切線；

【小問2詳解】

若選②AD=DC；

;AD=DC'

/.ZABD=ZDBF，

由（1）可知：ZABD+ZADB=90°=ZDBF+ZF=90°,

ZADB=ZF,

由圓周角定理可知ZADB=NBCA,

NF=/BCA,

DF//AC■,

若選③NC4Z）=NASD；

???CD=CD，

NCAD=NDBC,

???NCAD=ZABD,

：.ZABD=ZDBC,

AD=DC）

同②，可知。E〃AC；

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，8。是矩形ABC。的對角線.

（1）求作。A,使得。A與8。相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)3。與。A相切于點(diǎn)E,CFLBD,垂足為足若直線CP與。A相

切于點(diǎn)G,求tan/ADB的值.

【答案】（1）作圖見解析

⑵

2

【解析】

【分析】（1）先過點(diǎn)A作5。的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；

（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)NAZ55=a,OA的半徑為「，先判斷出5E=DE,進(jìn)而得出

四邊形AE尸G是正方形，然后在放△A3E中，根據(jù)勾股定理建立方程求解vtan。，再

判定△ABE1四△CDF,根據(jù)5￡=。方二八311。，DE—DF+EF-rtana+r9在

AE

放△AOE中，利用tanNAQE=—,得到taMa+tana—1=0，求解得到tanNAOB的值

DE

為叵立

2

【小問1詳解】

解：如圖所示，0A即為所求作：

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

設(shè)NAD5=a,。4的半徑為廠，

???8D與。A相切于點(diǎn)及C尸與。A相切于點(diǎn)G,

：.AE_LBD,AGLCG,即NAEb=NAG尸=90。，

VCF1BD,

：.ZEFG=90°,

???四邊形AEFG是矩形，

又AE-AG-r,

???四邊形AEFG是正方形，

EF=AE=r,

在放AAM和放△ZMB中，ZBAE+ZABD=90°,ZADB+ZABD=90°,

:./BAE=ZADB=cc,

BE

在放中，tanZBAE=——,

AE

BE=rtana

???四邊形ABC。是矩形，

/.AB//CD,AB=CD,

：.ZABE=ZCDF,又ZAEB=/CFD=90°,

：.AABE/ACDF,

:.BE=DF=rtanof,

DE—DF+EF-rtana-vr,

AE

在Rt/\ADE中，tan/ADE=---,即DE-tana-AE,

DE

(rtana+r)tana=r,即tan?￡+tana—l=0，

丁tana>0,

tana=近4，即tanZADB的值為近人.

22

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線

段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可

近似看成一個工圓，即弧AOC，已知。4和遮陽棚桿子0。在同一條直線上，且與地面垂直，

4

當(dāng)上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時，光線恰好能照到桿子底部。點(diǎn)，

已知OD長為2m.

圖1圖2圖3

（1）求遮陽棚半徑04的長度.

（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離

遮陽棚外檐C點(diǎn)正下方E點(diǎn)（6-1卜的尸點(diǎn)處有一株高為L2m的植物，請問植物頂端能否

會被陽光照射？請說明理由.（G7L73）

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

部分，已知新遮陽棚上最高點(diǎn)仍為A點(diǎn)，且外檐點(diǎn)C到A。的距離為gm、到DH的距離

為現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)尸為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其

中GPL與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點(diǎn)尸（不含A點(diǎn)）都能按照上述

要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備_____m的鋼材搭設(shè)架子.

【答案】(1)2m

(2)植物頂端不能被太陽照射，理由見解析

【解析】

【分析】(1)解直角三角形CDO,求得結(jié)果；

(2)連接延長FG交于V,可證得RtAHPWkRtAHOD,從而得出

ZWHO=ZDHO^30°，DH=WH,從而求得QH的值，進(jìn)而得出

FH=DH-DE-EF=6，從而得出

FV=FH-tanZDHW=(6—1)?tan60°?tan60°=3-A5a3—1.73=1.27/n,進(jìn)一步得

出結(jié)果;

(3)以所在直線為x軸，DA所在的直線為＞軸建立坐標(biāo)系，可求得拋物線的解析式為

y=-|x2+4,從而可設(shè)設(shè)P(777,--m2+4),從而表示出

22

119

PG+PH=——TT?+m+4=——(m-l)?2+-,進(jìn)一步得出結(jié)果.

2t22

【小問1詳解】

\-OALDX,NCDX=45。,

:.ZODC=45°,

ZCOD=90°,OD=2,

OC=OD-tan/ODC=2，

\OA=OC=2；

【小問2詳解】

植物頂端不能被太陽照射，理由如下：

連接延長FG交于V,

?.?WH與相切，

:.ZD^ZOWH^90°,

?.?OW=OD=2,OH=OH,

：.Rt"ffWgRtqOD(HL),

ZWHO=ZDHO=30°,DH=WH,

DH=———=—-—=2A/3,

tanZDHOtan30°

1.?FH=DH-DE-EF=26-2-4-口=6-1,

FV=FH-tanZD7/W=(V3-1)-tan600-tan60°=3-A/3?3-1.73=1.27m,

V1,27>1.2,

二植物頂端不能被太陽照射；

【小問3詳解】

解：如圖3,

設(shè)拋物線的解析式為：y=o?+4,

1

a——,

2

(12

設(shè)夕陽,——m+4

11?Q

PH+PG=——Tr+m+4=——(m-1}+-,

2t2V72

9

???當(dāng)加=1時，9+PG有最大值為一，

2

9

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),

解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，。。是AABC的外接圓，連接Q4交于點(diǎn)。.

A

(1)求證：NQ4c與互余；

(2)若AD=6,BD=10,CD=8,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

29

(2)——

3

【解析】

【分析】(1)延長A0交。。于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示，由直徑所對的圓周角是直角,

利用互余及圓周角定理代換即可得證；

40

(2)由題中條件得到△AOBSAQCE,利用相似比，代值求解得到DE=一即可確定答案.

3

【小問1詳解】

證明：延長AO交。。于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示:

???AE是。。的直徑，

ZACE=90°,

：.ZE+ZOAC^90°，

,/ZB=ZE,

：.ZOAC+ZB=90°；

【小問2詳解】

解：vZB=ZE,ZADB^ZEDC,

AADBS^DCE,

DBDA

DE~DC

*.*BD=10JCD=8,AD=6,

t=['解得=,

.?.oa=L1竺+629

23T

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及圓周角定理、互余、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等

知識，熟練掌握圓的性質(zhì)及三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的交

邊AC于點(diǎn)。，連接3。，過點(diǎn)C作CE〃AB.

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作。。的切線，交CE于點(diǎn)尸；（不寫作法，保

留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

【答案】（1）畫圖見解析

（2）證明見解析（3）。。的半徑為5.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點(diǎn)8作A3的垂線，交CE于點(diǎn)產(chǎn)，即可求解；

（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明N5￡）C=N5FC,根據(jù)平行

線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出BCD=ZBCF,進(jìn)而證明ABCD^ABCF（AAS）,即

可得證.

（3）由（2）得:BD=BF=6,CD=CF=2,設(shè)A5=AC=2r,再利用勾股定理可得

（2r-2）2+62=（2r）\再解方程即可.

【小問1詳解】

解：方法不唯一，如圖所示.

【小問2詳解】

AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

又；CE//AB,

:.ZABC=/BCF,

:.ZBCF=ZACB.

?.?點(diǎn)。在以AB為直徑的圓上,

：.ZADB=90°,

:.NBDC=90。.

又；B尸為。。的切線，

：.ZABF=90°.

'：CE//AB,

：.ZBFC+ZABF^1SO0,

：.ZBFC=9Q°,

：.ZBDC=ZBFC.

:在ABC。和△BCR中，

NBCD=NBCF,

<ZBDC=NBFC,

BC=BC,

：.ABCD^ABCF(AAS).

，BD=BF.

【小問3詳解】

由（2）得：BD=BF=6,

,：RtAB￡）C^RtABFC,

：.CD=CF=2,

設(shè)AB=AC=2r,

；?AD=2r-2,

VZAZ）B=90°,

.-.（2r-2）2+62=（2r）\

解得：r=5,

的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性

質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?廣東深圳.光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為A,AB是

的直徑.連接尸o,過點(diǎn)A作PO的垂線，垂足為。，同時交。。于點(diǎn)c,連接3cPC.

（1）求證：PC是OO的切線:

(2)若BC=2,OB=?OD,求切線Q4的長.

【答案】（1）見解析（2）3M

【解析】

【分析】⑴連接OC,由垂徑定理可得AD=CD,通過小。!!在△OCD（SSS）,得

ZAOD=ZCOD,通過4Pg△OCP（SAS）,可得NOCP=NQ4P=90°,根據(jù)切線的判

定定理，即可求解;

(2)由三角形的中位線得到。。=33。=；*2=1,OA=OB=MOD=M,

在RtZXADO中，根據(jù)勾股定理，得到A。的長，tanNAOD=3,在Rt^APO中，根據(jù)正

切三角函數(shù)，即可求解，

【小問1詳解】

解：連接0C,

13.(2024?廣東深圳33校三模)如圖，。。是VABC的外接圓，AD是。。的直徑，尸是AD

延長線上一點(diǎn)，連接CD,CF,且C尸是。。的切線.

(1)求證：ZDCF=NCAD；

(2)若CF=限叵，DF=4,求O。的半徑.

【答案】(1)見解析(2)。。的半徑為2

【解析】

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓周角、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出

輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)連接OC,結(jié)合“直徑所對的圓周角為直角”可得ZACD=90。，即有

ZOCD+ZOCA=90°,再結(jié)合切線的性質(zhì)可得OCJ_CE,進(jìn)而可得

“CF+NOCD=90。，可證明NOC4=NDCF,結(jié)合OC=Q4,易得NC4D=NOC4,

即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)OC=OD=x,在RtZkOCE中，根據(jù)勾股定理可得0。2+。/2=0尸2,代入數(shù)值

并計算，即可獲得答案.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OC,

2

rc

：AD是。。的直徑，

ZACD=90。,

Z.ZOCD+ZOCA=90°,

：“是。。的切線，OC為。。半徑，

OCA.CF,

：.ZDCF+ZOCD^90°,

ZOCA=ZDCF,

:OC^OA,

：.ZCAD=ZOCA,

：.ZDCF=ACAD；

【小問2詳解】

解：設(shè)OC=OD=x,

,:CF=4叵,DF=4,

?*.OF=OD+DF=x+4，

,?OCA.CF,

：.NOCF=90。,

?*-OC~+CF2=OF2,

：.X2+(4A/2)2=(x+4)2,

解得x=2,

即。。的半徑為2.

AD—CD，

,:OA-OC,OD-OD,

A04D^AOCD（SSS）,

ZAOD=ZCOD,

VOA=OC,OP=OP，

：.AOAP^AOCP（SAS）,

ZOCP=ZOAP,

'：是。。的切線，

NQ4P=90。，

ZOCP=ZOAP=90°,

：.PC是。。的切線，

【小問2詳解】

解：：AD=CD,AO=BO,

：.OD=-BC=-x2=l,

22

：.OAOB=MOD=M,

_____________24P3

在RtZXADO中，AD=^AO2-DO2=V10-l=3>tanZAOD=麗=7=3，

在Rt^APO中，PA^AOtanZAPO^y/10x3^3sJ10，

故答案為：3M.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)與判定，三角形的中

位線，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及判定定理是解題關(guān)鍵.

14.（2024?廣東深圳.龍華區(qū)二模）如圖，以A3為直徑的。。交于點(diǎn)，DE1AC,

垂足為E.

（1）在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請增加一個條件：，使直線OE為。。的切線,

并說明理由；

2

（2）在（1）的條件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半徑.

3

【答案】（1）增加條件：AB=AC,見解析

13

(2)

T

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線

的判定方法，屬于中考?？碱}型.

（1）添加條件：AB=AC（答案不唯一）.證明推出0。E即可；

（2）解直角三角形分別求出AE，EC,再證明=得出AB=AC=13,進(jìn)而

可得答案.

【小問1詳解】

增加條件：AB=AC.

證明：連接0。，

???AB為。。的直徑，

ZADB=90°,

VAB=AC,ZADB=90°,

BD=CD,

AO-BO，BD=CD，

：.OD//AC,

又,：DEJ.AC,

NODE=NDEC=9Q。,

即ODIDE,

為半徑，

OE為。。的切線；

【小問2詳解】

2

在Rt2XADE中，DE=6,tanZADE=一，

3

2

AE=DEtanZADE=6x—=4,

3

,/ZAZ)B=ZAZ)C=90°,

ZADE+ZEDC=90°,

?：DE±AC,

：.ZDEC=90。,

ZEDC+ZC-90°,

ZC=ZADE,

*—___DE—