2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：二次函數(shù)與圓（含答案）

專題17二次函數(shù)與圓

定義：外接圓是指與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓.特別地，三角形的外接圓是指過一個(gè)三角

形三個(gè)頂點(diǎn)的圓.外接圓的圓心是任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)被稱為三角形

的外心.

性質(zhì)：外接圓的圓心性質(zhì)：三角形的外接圓的圓心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn),

這個(gè)交點(diǎn)被稱為外心.

銳角三角形：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部.

直角三角形：直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上.

鈍角三角形：鈍角三角形的外心在三角形外部.

(2024春?開福區(qū)校級(jí)月考)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖像與x軸交于(,)、(，),與y軸交于

⑴求二次函數(shù)的解析式；

(2)若平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線的對(duì)稱軸交于〃點(diǎn)，若點(diǎn)〃

到x軸的距離是線段九W的萬，求線段的長；

⑶拋物線的頂點(diǎn)為。，過定點(diǎn)0的直線>=區(qū)一"+3與二次函數(shù)交于￡、RSE戶外接圓

的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式.

(2024?興化市二模)

2.已知二次函數(shù)7=/+6x+c與x軸交于"(TO),8(3,0)兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C.

1/33

J

備用圖

5

（2）如圖1,連接/C,BC,若點(diǎn)M在拋物線上，且"的橫坐標(biāo)為連接C",

//C3與48。朋?相等嗎？請(qǐng)說明理由；

⑶如圖2,點(diǎn)N是線段N3上任意一點(diǎn)3不與A,8重合），過點(diǎn)軸，交拋物

線于點(diǎn)“，連接/E,作的外接圓。尸，延長外交°P于點(diǎn)尸.試說明點(diǎn)尸在某條

定直線上.

（2024春?龍華區(qū)月考）

y=_x~+kx+k—

3.已知：二次函數(shù).22.

（1）求證：不論人為何實(shí)數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；

」+日+」

⑵設(shè)左當(dāng)二次函數(shù)22的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)48間的距離為4時(shí),

求此二次函數(shù)的解析式；

⑶在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C,過了軸上一點(diǎn)河（°，⑼作了軸的垂線/,當(dāng)

加為何值時(shí)，直線/與△/sc的外接圓有公共點(diǎn)？

（2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）

4.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)〉'以""〉。）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移

2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與X軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），

°工=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)了=履+以左3°）的圖象與丁軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線

的另一個(gè)交點(diǎn)為。，△48。的面積為5.

⑴求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

_j_

⑵點(diǎn)0是直線,一5上的一動(dòng)點(diǎn)，連接FQ,設(shè)△OO尸外接圓的圓心為"，當(dāng)

sin/°Q廠最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫答案）.

（2023秋?宿豫區(qū)校級(jí)期中）

5.定義：平面直角坐標(biāo)系xQy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所有交點(diǎn)的圓，稱為該二次

函數(shù)的坐標(biāo)圓.

⑴已知點(diǎn)玖2,2）,以P為圓心，石為半徑作圓，請(qǐng)判斷。尸是不是二次函數(shù)

?=/一飄+3的坐標(biāo)圓，并說明理由；

⑵已知二次函數(shù)＞-4x+4圖象的頂點(diǎn)為a交＞軸于點(diǎn)c,則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的

圓心為尸在上；

（3）求APCM周長最小值.

（2023秋?雨花區(qū)期末）

6.如圖，二次函數(shù)k*+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)'（TO），'（3,0）,點(diǎn)￡為二次函數(shù)第一

象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，即工工軸于點(diǎn)立，交直線8C于點(diǎn)尸，以斯為直徑的圓。”與

BC交于點(diǎn)R.

3/33

y

(1)求6,c的值；

(2)當(dāng)&EFR周長最大時(shí)，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)及AE尸五周長；

(3)連接CE、BE,當(dāng)AERCSABRE時(shí),求出E點(diǎn)坐標(biāo).

(2024?沂源縣二模)

7.如圖，己知二次函數(shù)了="，-2ox+c的圖象與x軸交于N、2兩點(diǎn)，其中/在2的

左側(cè)，。/:。3=1:3；與y軸的正半軸交于點(diǎn)C；與一次函數(shù)＞=r+6的圖象交于

2

tanZ.ADB=—

/、。兩點(diǎn)，連接3.

⑴求6的值；

(2)求二次函數(shù)的關(guān)系式；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得以尸為圓心的圓與直線40和x軸都相切？若存在，求

出尸點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2023秋?中山市期中)

8.如圖，?關(guān)于x的二次函數(shù)3m圖象的頂點(diǎn)為圖象交x軸于

48兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)D.以N8為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C,定點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一3，°),

連接￡，（m＞0）

⑴求用m表示的4瓦。三點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)加為何值時(shí)，點(diǎn)M在直線助上？判定此時(shí)直線瓦）與圓的位置關(guān)系；

（3）當(dāng)m變化時(shí)，用m表示的面積.

（2023秋?阜寧縣期末）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)'-"X的圖像經(jīng)過點(diǎn)2）和點(diǎn)。（4,＜）,點(diǎn)

1c

y=—x+2

E是直線3的圖像與二次函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

圖①圖②

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接“G0EME,

求四邊形面積的最大值；

（3）如圖②，經(jīng)過“、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)C不重合），請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

（2024?龍湖區(qū)校級(jí)一模）

10.如圖，二次函數(shù)＞=x2-6x+8的圖象與X軸分別交于點(diǎn)/,8（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)）,

直線/是對(duì)稱軸.點(diǎn)尸在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4,連接尸4尸2,過點(diǎn)尸作PW/,

垂足為"，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與?！毕嗲?，切點(diǎn)為

5/33

⑵若以°M的切線長尸T為邊長的正方形的面積與AP/3的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)

(工2),求尸M長的取值范圍.

(2024?市中區(qū)校級(jí)模擬)

32,

y=—x+bx+c

11.二次函數(shù)4的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)C(0,-3)與x軸的另一交

點(diǎn)為點(diǎn)B.

(2)定義：在平面直角坐標(biāo)系xQy中，經(jīng)過該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次

函數(shù)的坐標(biāo)圓.問：在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)。，以點(diǎn)0為圓心，

5I—3

—sjlOy=—x9+bx+c

6為半徑作O0,使OQ是二次函數(shù).4的坐標(biāo)圓？若存在，求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶如圖所示，點(diǎn)M是線段8c上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作兒啰//y軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)P,

CM

以"為圓心，〃尸為半徑作OM,當(dāng)與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出血的值.

參考答案:

](])y=+2x+3

⑵g±l

（3））=-212+4x+1

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求解析式，三角形外接圓，正切等

知識(shí)點(diǎn)；

（1）把根據(jù)“（T°）、8（3，°）設(shè)拋物線解析式為廠“（x+l）（x-3）,在把C（°，3）代入計(jì)算

即可；

（2）設(shè)點(diǎn)〃縱坐標(biāo)為3”（如〃），N（〃，,然后根據(jù)點(diǎn)〃到x軸的距離是線段MN

工

的萬，列方程計(jì)算即可；

（3）證明GEF是直角三角形即可得到GEF外接圓的圓心為線段昉的中點(diǎn).

【詳解】（1）???二次函數(shù)圖像與x軸交于“（T°）、8（3,0）,

???設(shè)拋物線解析式為k"（x+l）（x-3）,

把C（0,3）代入y=a（x+l）（x-3）可得3=axlx（-3）,

解得好T,

??二次函數(shù)的解析式尸一（X+1）（?3）=*+2X+3

⑵根據(jù)題意設(shè)設(shè)點(diǎn)”縱坐標(biāo)為3"（如,N"，人）,

則加、〃是—一+2x+3=h兩根

...m+n=2,mn=h-39△=2?-4（〃一3）之0即卜（4,

???點(diǎn)H到x軸的距離是線段的萬,

|/z|=—MN=—|/n—w|

???22

2

h=^(m—"J=；(冽+_mn

h2=1X22-(/Z-3)

,-1±V17

h=-----------

解得2

1/33

AGV=2|/?|=V17±1

(3)'=-/+2》+3對(duì)稱軸為直線OK：x=l,頂點(diǎn)D(l,4)

過E作￡K_LOK于K,過尸作尸G_LDK于G,

設(shè)￡@刀+20+3)、F(f,-f2+2f+3)

4-(-e2+2e+3)1

tanZDEK=—

EK\-e

/-I1

tanZ.FDG=-----=

DG4-(-/2+2/+3)/-I

...直線夕=區(qū)一左+3與二次函數(shù)交于￡、F,

.?、/是依-左+3=-x?+2x+3兩根，整理得’+(%一2六一%=0,

...e+/=2-左，ef=—k

e(e--t^=ef-(e+f^+\=-k-2+k+\=-\

...tanZDEK=tanZFDG

...ZDEK=ZFDG,

...ZDEK+ZEDK=90°

：./FDG+/EDK=90。,gpZFDE=90°f

??.GEF外接圓的圓心為線段族的中點(diǎn)出,

..E(e,ke-k+3)F(f,kf-k+3^

(e+f左(e+/)

-------,--------------K-r.

??.E尸的中點(diǎn)區(qū)坐標(biāo)為I22

...e+f=2—k

’2-左k(2-k)\

R-左+3

2，-T~

7

k（2—k）

y=———^-k+32

令〔2，消去上得+4x+l,

GEF外接圓的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式為了=-2/+4x+1.

2.⑴尸*-2x-3

（2）相等；見解析

（3）點(diǎn)尸始終在直線》=1

【分析】⑴把“（T°）,'（3,0）兩點(diǎn)代入〉=/+反+"由待定系數(shù)法即可求解；

2一叼

（2）由點(diǎn)3、C的坐標(biāo)知，N/BC=45。,M的橫坐標(biāo)為3,則點(diǎn)（39人過點(diǎn)8作

了軸的平行線交CM于點(diǎn)〃，證明ABCH之ABC/（SAS）,即可求解；

（3）證明WNSAEBN,即嬴-而，設(shè)N（t,。），由題意得效-2”3）,可得

Z+1_NF

NE=-t2+2t+3,得出_?+2/+3-3-，求得湎=1,即可求解.

【詳解】（1）解：把，（T°）,8（3，°）兩點(diǎn)代入y=—+6x+c得，

fl-Z?+c=O

19+3b+c=0

jb=-2

解得

y—-2x-3.

(2)解：4cB=/BCM,理由：

把％=0代入昨f-2x-3得：y=-3,

,C(0,一3),

...8(3,0),

：.OB=OC,

3/33

ZABC=45°

5

???M的橫坐標(biāo)為3,

5_32

M5'一互

?.?點(diǎn)

過點(diǎn)3作歹軸的平行線交C"于點(diǎn)”,

設(shè)直線C"的表達(dá)式為：＞=Px+9,由點(diǎn)°、〃的坐標(biāo)得,

夕=一3

p=—一

<3

解得〔”一3,

1。

y=——x-3

二直線CM的表達(dá)式為：3,

當(dāng)x=3時(shí)，y=-4t

即BH=4=4B,

???BC=BC,ZABC=45°=ZHBC,

.“BCb@ABCZ(SAS)

...ZACB=ZBCM；

????

?:FB=FB,AE=AE,

/FAB=/FEB,/F=/ABE,

:AAFNS^EBN,

,AN_NF

…EN~NB.

設(shè)N(t，°),由題意可得￡,"2T)

?.?EN_Lx軸，

?■?NE=-產(chǎn)+2'+3,

因?yàn)?(TO),5(3,0),

AN=t+1fBN=3—%,

.1+1_NF

—t2+2%+33—tf

/.NF,』+2/+3)=(t+1)(3-1)

整理得NF=1.

在x軸上，且尸在x軸上方，

二點(diǎn)尸始終在直線了=1上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似和全等、圓的基本性質(zhì)等,

綜合性強(qiáng)，難度適中.

3.(1)見解析；

123

y=—x-x——

⑵拋物線的解析式為-22.

⑶-2W機(jī)V2時(shí)，直線/與AABC的外接圓有公共點(diǎn).

【分析】(1)利用判別式進(jìn)行證明；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程求人的值即可；

(3)判斷出△/BC是等腰直角三角形，再由外接圓的性質(zhì)求解即可.

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，勾股定理逆定理，三

角形的外接圓性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A=A:2-4x-*1-k--|=(^-1)2>0

【詳解】(1)證明：???212J,

???不論人為何實(shí)數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；

5/33

11

_x9+kx+k——0

(2)解：當(dāng)＞=°時(shí)，22,

.演+/=—2左xx-x2=2k-l

AB=^4公-4(2左-1)=4

解得左=T,

13

y=—x2-x——

???拋物線的解析式為22.

1X23

-X—X-------U

(3)解：當(dāng)》=°時(shí)，22,

解得x=3或x=-l,

./(TO),8(3,0),

2z.\2-

1XX3=12

t/=2~~22^~^~

???拋物線的頂點(diǎn)為C(『2),

...AC=242,8c=2拒，AB=4,

...△/2C是直角三角形，

???△/BC的外接圓圓心為(LO),半徑為2,

???-2V%V2時(shí)，直線/與A/BC的外接圓有公共點(diǎn).

/［、20y——（x—I）2—2

【分析】（1）根據(jù)平移可求》二磯'—1）一2,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求2,從而

可求8（3,0）,再由面積求出。的坐標(biāo)，即可求解4。的解析式；

3

1/——

（2）”是。尸的中點(diǎn)，〃在直線,4上運(yùn)動(dòng)，可得N°。尸=/OM/,當(dāng)〃。取得最小

值時(shí)，sinN°Q/的值最大，由此可得：當(dāng)MQ垂直直線'一5時(shí)，M0取得最小值，進(jìn)而

可求解.

【詳解】（1）解：將二次函數(shù)歹=",（">°）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單

位，得到的拋物線解析式為，二°（xT）2-2,

?/OA=1

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T，0),代入拋物線的解析式得，4a-2=0,

1

a=-

2,

—

y=-(x-l)2-2

二拋物線的解析式為2,即"22

y=-x2-x--=0

令y=0,則22,

解得：為=-1,*2=3

???5(3,0).

AB=OA+OB=4,

的面積為5,

.SAABD='AB-yD=5

5

解得：玉=-2,超=4,

設(shè)直線的解析式為丁=丘+,則有

4k+b=-

-2

-k+b=Q

1J

解得：2,

11

y——x-\—

直線4。的解析式為22.

3

y=—

(2)解：如圖，”是。尸的中點(diǎn)，M在直線4上運(yùn)動(dòng),

7/33

sinZOQF=sinZ.OMH=-----=」一

OMOM,

二當(dāng)?！比〉米钚≈禃r(shí)，sin』。。廠的值最大,

MO=MQ,

?二當(dāng)取得最小值時(shí)，sin/°Q廠的值最大，

1

17——

???當(dāng)MQ垂直直線,2時(shí)，MQ取得最小值，

，此時(shí)〃、。在二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x=l上,

根據(jù)對(duì)稱性，存在I「

故：I4）或I4；

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，三角函數(shù)定義，二

次函數(shù)與圓的綜合等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

5.（1）是，理由見解析

（2）線段/C的垂直平分線

（3）6

【分析】（1）先求得該二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公

式和圓的定義判斷三個(gè)點(diǎn)是否在。尸上，進(jìn)而根據(jù)題中定義作出判斷；

（2）根據(jù)題中定義和圓的定義，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，進(jìn)而可得到結(jié)論；

（3）連接尸C,APO/的周長為。尸+P/+O/=OP+PC+O/NOC+。/,當(dāng)點(diǎn)。、p、

。共線時(shí)取等號(hào)，進(jìn)而可求解.

【詳解】（1）解：是二次函數(shù)＞=x2-4x+3的坐標(biāo)圓，理由為：

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,當(dāng)y=0時(shí)，解方程x2_4x+3=0得占=1,赴=3

??二次函數(shù)y=x?-4x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為/。,0）,8（3,0）,與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

為。（。，3）,

..PA=J（2-1、+（2-0）2=V5PB=J（2—I、+（2-0）2=卡＞

PC=7（2-0）2+（2-3）2=y/5

J

.PA=PB=PC=y[5

,,，

故。尸是二次函數(shù)＞=x2-4x+3的坐標(biāo)圓；

⑵解：舊知二次函數(shù)y=x2-4x+4=G-2）2圖象的頂點(diǎn)為N,交y軸于點(diǎn)c,

該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心尸滿足尸/=尸0,

??.該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心P在線段AC的垂直平分線上，

故答案為：線段NC的垂直平分線；

（3）解：連接PC,則尸/=PC,

O\J!x

I

*

...△尸。4的周長為。尸+尸/+。4=。尸+PC+6MNOC+6M,當(dāng)點(diǎn)。、尸、。共線時(shí)取等號(hào)，

J（2,。）C（0,4）

?9，

.-.OC=4,OA=2,

...A尸。/周長最小值為6.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與圓的綜合，涉及二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圓的定義、

最短路徑問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式等知識(shí)，理解題

中定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

6.（1產(chǎn)2,c=3

9/33

但”]9?9后

⑵點(diǎn)￡的坐標(biāo)為12'4人AEER的周長為^士丁

1+V55+Vs/i]5)

(3)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為〔221或15'4)

【分析】⑴將/(T°>以3，°)代入y=f2+6x+c,解方程組即得；

(2)根據(jù)直徑性質(zhì)得/及S=90。，根據(jù)C(0,3),得OC=OB=3,得NC8O=NOC8=45。，

得/EFC=N℃B=45。,△瓦西為等腰直角三角形，當(dāng)AER尸周長最大時(shí)，M最長，求

出直線8c解析式kf+3,設(shè)￡(加，一布+2加+3),F(m,-m+3))得斯一[加總+七

3FF_9但")990

當(dāng)2時(shí)，￡尸取得最大值，4,點(diǎn)E的坐標(biāo)為124L△￡/次的周長為44.

(3)設(shè)￡(私一療+2機(jī)+3),根據(jù)AERCSABRE,得NCER=NEBR,當(dāng)點(diǎn)R在8C上，

NCEB=90。,過點(diǎn)EN'y軸于N,過點(diǎn)3作BG'x軸交直線EN于點(diǎn)G,有

/CEN+/BEG=9。。,/CEN+4NCE=90。，得/BEG=/ECN,得ACNES^EGB,得

ENCN1+V5/1+逐5+逐

BGEG,得2,k),當(dāng)點(diǎn)R在BC延長線上，有

NCEF=NFEB,延長EC交工軸于K,求出直線網(wǎng)的解析式了=(一加+2卜+3,當(dāng)?shù)?/p>

3,

d—,。]m=m-1+m=-d：，孚

【加一2人根據(jù)跖垂直平分線段3K,得2，得2,點(diǎn)(24人

【詳解】(1)解：將"(T°>8(3，°)代入了=*+加+。，

J-l-Z?+c=0

彳導(dǎo)[-9+3b+c=0

[b=2

解得lc=3,

(2)???￡尸為。M的直徑，

...ZERF=90°,

x=0時(shí)，y=一12+2x+3=3

,。(0,3)

,,，

...OC=OB=3,

：./CBO=NOCB=45。,

又..CO\TEH,

：/EFC=/0CB=A5。,

:.ER=FR,

.MERF為等腰直角三角形，

ER=FR=——EF

則2,

"ERF周長為ER+FR+EF=3+1)EF,

...當(dāng)AER尸周長最大時(shí)，M最長；

設(shè)直線BC解析式為〉=任+1,

將CW)，8(3,0)代入,

(3k+d=0

得i"=3,

jk=-l

解得1"=3,

.?J=_x+3,

設(shè)片（冽,一冽2+2機(jī)+3）

貝IJ廠（加「加+3）,

3

m——

2

39

m=-EF=-

當(dāng)2時(shí)，即取得最大值，4,

315

29T

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

99萬

EF+ER+FR='+^-

故△￡)火的周長為44.

(3)解：設(shè)“%-加2+2%+3),

11/33

?..AERCS^BRE,

...ACER=AEBR,

當(dāng)點(diǎn)火在5C上，?EB=90。,

過點(diǎn)EN,V軸于N,過點(diǎn)5作BG,x軸交直線EN于點(diǎn)G,

則ACNE=NG=90°,

.../CEN+/BEG=90。,

???/CEN+/NCE=90。,

.../BEG=ZECN,

...ACNESAEGB,

EN_CN

：JG=~EG,

m_-m2+2m

-m2+2m+33-m

1+V5

mx=

解得2（舍去）,

"1+A/55+VP

2'2,

當(dāng)點(diǎn)R在8c延長線上,

延長EC交x軸于K,

設(shè)直線叢的解析式為V=P無+4,

Imp+q=-m2+2m+3

貝3=3,

\p=—m+2

解得la,

.y=（-加+2）x+3

,,，

3

x=

當(dāng)…A時(shí)，m-2,

（機(jī)-2

VEFLBK,NCEF=/FEB,

...EF垂直平分線段SK,

3.

-------+3

m=m-2-

??.2,

1

m=—

解得2,

E

???點(diǎn)

1+5+>/5]5)

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為I221或S'4).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與三角形綜合.熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，圓周角

13/33

定理推論，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類

討論，是解題的關(guān)鍵.

7.⑴6=2

(2)y=一工2+2,x+3

(3)存在，2±0

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)-2"+c,則其對(duì)稱軸為直線x=l,根據(jù)拋物線對(duì)稱軸和

0/:08=1:3,即可求得點(diǎn)/、3的坐標(biāo)分別為：(T°)、G°),從而得拋物線的表達(dá)

式為「="('+1)6-3),再由直線的表達(dá)式為廣f+方，可得48/0=45。，過點(diǎn)

2

tan/ADB=—

8作88工/。于點(diǎn)，，根據(jù)3,故設(shè)加=2x,則。〃=3x,則

AH=BH=2x,則/3=2缶=4,則工=&,則AD=5x=5收，過點(diǎn)。作x軸的平行

線交過點(diǎn)/和y軸的平行線于點(diǎn)T,則A/。？為等腰直角三角形，則/7=7。=5,貝U

點(diǎn)。(4,-5),將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：-5=“4+1)(4-3),求得：”一1.

即可求解；

(2)由(1)知，即求解；

(3)設(shè)點(diǎn)2拆一川+2機(jī)+3),分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)p在了軸右側(cè)時(shí)，先求得

PT

“”不,tanZ7^P=tan22.5°=——=V2-1AT=(41+\\PT

tan22.5°=V2-1,再根據(jù)AT，即?尸，所以

蘇-2加-3=(應(yīng)-以加+1),求解即可；當(dāng)點(diǎn)p在y軸左側(cè)時(shí)，同理可解.

【詳解】(1)

解：由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線》=1,

???設(shè)點(diǎn)/、3的坐標(biāo)分別為：(')、(’),則1一5。加一加)，解得：加=i,

則點(diǎn)/、3的坐標(biāo)分別為：(‘)、()，

則拋物線的表達(dá)式為：7="x+l)(x-3),

如下圖，設(shè)直線交y軸負(fù)半軸于E,過點(diǎn)3作么。于點(diǎn)凡

E（O,b）,

..0=網(wǎng),。￡=網(wǎng),

.■OA=OE,

...4OE=90。，

...NOAE=NAEO=45°,

???BH1AD,

.../AHB=90。,

??/ABH=/BAH=45°,

.?.AH=BH,

2

tanZ.ADB=—

V3,故設(shè)物=2x,貝Ij￡＞，=3x,則/H=3〃=2x,

貝i]/5=2缶=4,貝0x=0,貝ijNO=5x=5及，

過點(diǎn)。作x軸的平行線交過點(diǎn)/和〉軸的平行線于點(diǎn)T,

則2OT為等腰直角三角形，則47=3=5,則點(diǎn)。（4,3）,

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：-5=“（4+1）（4-3）,解得：a=

則拋物線的表達(dá)式為：、=-丁+2丈+3,即6=2；

（2）

解：由（1）知，拋物線的表達(dá)式為：y=-f+2x+3；

則拋物線的表達(dá)式為：、=-丁+2%+3；

（3）

15/33

解：存在，

理由：設(shè)點(diǎn)小-蘇+2機(jī)+3),

當(dāng)點(diǎn)尸在y軸右側(cè)時(shí)，如下圖①,

圖①圖②

當(dāng)以尸為圓心的圓與直線/。和x軸都相切，

則點(diǎn)p為NB4D的角平分線和拋物線的交點(diǎn)，

由（1）知：^DAB=45°,

而直線加和x軸的夾角為22.5°,

如上圖②，設(shè)為等腰直角三角形，DA=CD,則NC=22.5。,

設(shè)AB=BD=x,則AD=yflx=CD,

tanC=—=—一l=tan22.5°

則CBx+yj2x,

設(shè)與x軸相切于7,連接P7,

.-.PTA-X,

PTr

tan/TAP=tan22.5°=——=<2-1

???AT

.AT=@+"T

???點(diǎn)尸在第四象限，

.?.加〉0,—m2+2m+3<0,

貝IPT=m2—2m—3,OT=m

..M（T，o）

.■OA=1,

...AT=OA+OT=m+\

m2—2m—3=—1）機(jī)+1）

m2-（42+1^1-（2+42^=0

解得：班=2+收，啊=T（舍去）

當(dāng)點(diǎn)尸在y軸左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)尸所在的直線（n）和冽垂直,

同理可解得：叫=2-航，加2=T（舍去），

綜上，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2土行.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圓和

直線的位置關(guān)系等，有一定的綜合性，難度適中.

8⑴N（-加,0）,￡＞（6,可，）8（3加,0）

（2）機(jī)=1；相切

G2.

----m+<m<3)

2

S=<

出

—m2—m(m>3)

⑶[2

【分析】（1）根據(jù)X軸，＞軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入即可求出4瓦。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）待定系數(shù)法先求出直線的解析式，再根據(jù)切線的判定得出直線與圓的位置關(guān)系;

（3）分°〈加＜3時(shí)，當(dāng)加＞3時(shí)兩種情況討論求得關(guān)于機(jī)的函數(shù).

y=y[3m

【詳解】（1）解：當(dāng)天=°時(shí)，3m,

D@,也m）

當(dāng)廣。時(shí)，°=一￡卜+加）。-3加）

再=-m,x2=3m

,/m＞0,

A（-m,0）,B（3m,0）

（2）解：設(shè)直線。石的解析式為＞=云+囪機(jī)，

17/33

把(-3,0)代入直線解析式得°=一3左+6加,

k=3

解得3

v=^-mx+y/3m

直線DE的解析式為.3,_

y=--^-(x+m)(x—3m)y=m

將3m'化為頂點(diǎn)式為3m3

J473、

Mm,-----m

3

7,

4731

Mm,-----my=mx+V3m

把I3)

代入3

可得33

,/m>0,

巫力m+C

33

解得加=1,

..C(tn,。)，CA=2m=1,

CE2=(m+3)2=m2+6m+9=16

根據(jù)勾股定理可得m=(加-O'+(°-島j=荷=4

DE?=(-3-0)2機(jī)］=3"廣+9=12

；.CD=E=2=CA,

二點(diǎn)。在圓C上,

222

CD+DE=4+3+9=16=CEr

:.ZEDC=90°

???直線。E與圓C相切;

SAFD=-AE-OD=-m(3-m')

(3)解：當(dāng)0<加<3時(shí)，22

.$V3z/C

..3=---mH----m

22.

i,巧

S.AED=Q4E.OD=~^m(m-3)

當(dāng)加〉T時(shí),

V3235/3

s=—m--------m

22

工病+

<m<3)

2

S=v

G

—m2-m(m>3)

綜上所述,[2

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有軸，軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物

線解析式的確定，拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法，切線的判定，勾股定理和勾股

定理的逆定理等等，注意分析題意分情況討論.

25。

y——x2H—x+2

9.(1)33

21

⑵彳

小，-1

⑶

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解;

（2）將二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式聯(lián)立，求出點(diǎn)￡的坐標(biāo)，過點(diǎn)河作初“〃了軸，交直

1c

y——x+2

線3于點(diǎn)H,用代數(shù)式表示出質(zhì)的長度，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式及相關(guān)點(diǎn)的

坐標(biāo)表示出四邊形COE”的面積，即可求解；

（3）先求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出04和06,再根據(jù)圓周角定理得出

ZACO=ZABF,進(jìn)而證明△歡次FOB,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，

即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25

【詳解】⑴解：將?⑼和0任書代入了-?+尸+:

19/33

c=2

’16a+—+c=-2

得13

c=2

解得<I"_32

廣二人1+2

，二次函數(shù)的解析式為33

(2)解：將二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式聯(lián)立，得:

25―

y=—X24—x+2

33

1.

y——x+2

3

—xH—5x+c2--l--%e+2

消去占得333

解得再=3,々=0,

v=--x3+2=l

當(dāng)x=3時(shí)，3

二￡(3,1).

1c

Ad//y~—x+2

如圖，過點(diǎn)M作"“〃了軸，交直線.3于點(diǎn)〃,

m,--m2+—m+2jH\m,--m+2|

設(shè)l33九則I3人

25(\A2

HM=——m2+—m+2-——m+2=——m2+2m

.33I33

)

]12(321

S四邊形COE腸=S.OCE+SACME=-x2x3+-xA/Hx3=-m+3m+3=-lm--I+—

321

m=———

，當(dāng)2時(shí)，四邊形COW面積取最大值，最大值為4；

(3)解：如圖所示，連接瓦"

--X2+—X+2=0

當(dāng)33時(shí),

5+V735-V73

Xi—,Xn—

解得4-4

?"AW

NACO=ZABF,ZAOC=ZFOB,

:.AAOCSAFOB,

OA0C

OFOB,

V73-5

ZXZ=^_

OF月+5

即4

OF=-

解得2,

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一次函數(shù)的

交點(diǎn)問題，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟

練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

10.⑴月(2Q，8(4,0)

⑵/(2,0),8(4,0)1<PM<?或6<PM<2或PM>2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理.

（1）令＞=°求得點(diǎn)42的橫坐標(biāo)即可解答;

⑵由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線》=3,設(shè)尸（〃?，〃"6〃?+8）,貝嚴(yán)（3,…6〃吐8）；

如圖連接巾，則進(jìn)而可得切線長尸T為邊長的正方形的面積為（比一3）-71

1,

2

Sp.?=-ABPH=m-6m+?,

過點(diǎn)P作PH'x軸，垂足為可得’2;由題意可得

21/33

(m-3)2-r2=m2-6m+8

解得〃=1;然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解

答即可.

【詳解】（1）解：令貝?。萦校?2-6X+8=0,解得：x=2或x=4,

/（2,0）,2（4,0）

⑵解：???拋物線過“（2，°）1（4,0）,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線》=3,

設(shè)尸（私療-6加+8）,且相>也

M（3）,m2-6m+8）

如圖：連接MT,則MT，尸7,

.PT2=PM2-MT2=（m-3>y-r2

???切線PT為邊長的正方形的面積為（根一3）2一,，

過點(diǎn)?作加工工軸，垂足為“，則尸4=病一6加+8,

1

29

SAPrAADB=—r\4B-PH=m-6m+8

A2,

.（m-3）2-r2=m2-6m+S

>0,

：.r=\,

假設(shè)過點(diǎn)NG?）,則有以下兩種情況:

①如圖1：當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)N的上方，即

0A7/BHX

圖1

-6%+8=3,解得：加=5或加=1,

...”7>4,

,-.m=5.

②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方，即回（3」）,

0A、/HX

圖2

-6機(jī)+8=1,解得：m-3+V2;

...〃z>4,

...m=3+V2.

綜上，PM=m-3=2或5.

...當(dāng)。M不經(jīng)過點(diǎn)（3"）時(shí)，I<PM<也或血<PM<2^PM>2.

b，

11.（1）4,c=-3

23/33

3_5

(2)存在，圓心。的坐標(biāo)為(5,6)

CMj_

⑶而值是2或§

【分析】(1)把點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可；

(2)先求出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，在通過A48