2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考前突破：閱讀理解、函數(shù)與幾何探究、綜合實踐題（4大必考題型）原卷版

考前突破07閱讀理解'函數(shù)與幾何探究'綜合實踐題（4大必考題型）

題型一：函數(shù)與圖象探究題

題型二：閱讀理解題

題型三：幾何探究題

題型四：綜合與實踐

.精淮理分

題型一：函數(shù)與圖象探究題

【中考母題學(xué)方法】

1.（2022?湖北襄陽?中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖

象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)>的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì).

|x|

⑴繪制函數(shù)圖象

①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a=.

X....-5-4-3-2-112345....

y....-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8....

②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（無，>）,請補充描出點（2,a）；

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；

（2）探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)>=含-lxl的一條性質(zhì)：_____;

IxI

⑶運用函數(shù)圖象及性質(zhì)

①寫出方程5Txi=5的解____；

IxI

②寫出不等式尤區(qū)1的解集.

2.（2020?重慶?中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特

12

征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=-一二的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì).

x+2

X回-4-3-2-101234回

_2_12_2

y回~3a-2-4b-4-2~U~3回

（1）列表，寫出表中〃，人的值：a-,b=.

描點、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象.

（2）觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論是否正確（在答題卡相應(yīng)位置正確的用‘V’作答，錯誤的

用〃x〃作答）:

①函數(shù)y=的圖象關(guān)于y軸對稱；

x+2

12

②當(dāng)九二0時，函數(shù)y=-一2^有最小值，最小值為-6；

x+2

③在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減小.

9in12210g

（3）已知函數(shù)〉=-；尤-5的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式-<——x-可的

X2+23

解集.

3.（2021?湖北荊州?中考真題）小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y=-（忖進行了探究，在經(jīng)歷列表、

描點、連線步驟后，得到如

下的函數(shù)圖像.請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題:

（1）觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：;

②方程-（國-1）2=-1的解為：；

③若方程-（卜|-1）2=“有四個實數(shù)根，則。的取值范圍是.

（2）延伸思考：

將函數(shù)>=-（忖-1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)%=-（|尤-2|-丁+3的圖象？寫出平移過程，并直接

寫出當(dāng)2<%V3時，自變量x的取值范圍.

4.（2021?廣西河池,中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-（元-1丫+4與無軸交于A,8兩點（A在8

的右側(cè)），與y軸交于點C.

（2）如圖，直線工=機與拋物線在第一象限交于點。，交CA于點E,交x軸于點RDGLC4于點G,若

E為GA的中點，求相的值.

（3）直線＞=加+”與拋物線交于“（為,％）,N優(yōu),%）兩點，其中再＜%.若無2-%＞3且%-%＞。，結(jié)合

函數(shù)圖象，探究w的取值范圍.

5.（2024?寧夏?中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)＞=2尤+1的圖象可以由函數(shù)y=2元的圖象平移得

到.依此想法，數(shù)學(xué)小組對反比例函數(shù)圖象的平移進行探究.

(1)【動手操作】

列表：

XL-5-4-3-2-112345L

2_21_22j_2

>二一L-1-221L

X52332I

_3

XLL

-5-4-3-2~2~20123

2_22J_

y=—L-1-2-4421L

x+l~2-335

22

描點連線：在已畫出函數(shù)＞=—的圖象的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)＞=—;的圖象.

①將反比例函數(shù)y=V的圖象向平移個單位長度得到函數(shù)y='的圖象.

②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是()

整體思想B.類比思想C.分類討論思想

⑶【應(yīng)用延伸】

①將反比例函數(shù)y=-工的圖象先___________，再___________得到函數(shù)y=-一二-1的圖象.

xx-2

②函數(shù)y=-一二-1圖象的對稱中心的坐標(biāo)為__________.

x-2

【中考模擬即學(xué)即練】

L（2024?北京石景山?二模）中國茶文化博大精深，自古以來中國人有飲茶的傳統(tǒng).某校茶文化社團探究了

剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的時間.部分內(nèi)容如下：

a.探究活動在同一社團活動室進行，室溫25℃；

b.經(jīng)查閱資料得知，茶水口感與茶葉類型及水的溫度有關(guān).某種普洱茶用95。。的水沖泡，等茶水溫度降至

60℃飲用，口感最佳；某種綠茶用85℃的水沖泡，等茶水溫度降至60℃飲用，口感最佳；

c.同時用不同溫度的熱水沖泡茶葉，記放置時間為無（單位：min）,普洱茶茶水的溫度為%（單位：℃）,

綠茶茶水的溫度為內(nèi)（單位：。C）.記錄的部分數(shù)據(jù)如下：

X0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0

95.088.582.677.272.468.064.060.357.154.151.4

為85.079.574.570.065.862.058.655.552.750.247.9

對以上數(shù)據(jù)進行分析，補充完成以下內(nèi)容.

⑴可以用函數(shù)刻畫％與X、乃與尤之間的關(guān)系，在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，已經(jīng)畫出口與x的函數(shù)圖

象，請畫出力與龍的函數(shù)圖象；

O\I234567891011>

（2）探究活動中，當(dāng)綠茶茶水的放置時間約為min時，其飲用口感最佳，此時普洱茶茶水的溫度

約為℃（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；

⑶探究活動中，當(dāng)普洱茶茶水的溫度為90℃時，再繼續(xù)放置6min,測得其溫度為加C,則〃?60

（填"或

2.（2024?廣東深圳?三模）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了"確定函數(shù)的表達式好利用函數(shù)圖象研究其

性質(zhì)-運用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)y=|x-1+a的圖象與性質(zhì)，探究過

程如下，請補充完整.

（1）列表：

X-101234

y-2-3-4b-2-1

（2）描點并連線.

5

4

3

2

—

（3）觀察圖象并填空：

?a=,b=

②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：

③圖象與x軸圍成的三角形面積為

④當(dāng)y>1時，直接寫出x的取值范圍

3.（2024?河南商丘?二模）有這樣一個問題：探究函數(shù)y=（尤+iy（x-2）的圖象與性質(zhì)，小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)

的經(jīng)驗，對函數(shù)y=（尤+1）2（尤-2）的圖象與性質(zhì)進行了探究，下面是小明的探究過程，請補充完整:

（1）自變量尤的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如下表：

_7_35_3_795_

X-2-1012

-4~2~2242442

9_2549

-4-2.110m-3.80-1.8902.64

y_7_5-2~4一1"1"

-8-8

其中m二

（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.并畫出該函數(shù)的大致圖象;

⑶觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì);

⑷進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖象與x軸有一個交點，所以對應(yīng)的方程（龍+元-2）=0有個互不相等的實數(shù)根;

②若關(guān)于x的方程（尤+1）2（x-2）=。有3個互不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是

4.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖

象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=2|x+l|-2的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì).

⑴繪制函數(shù)圖象

列表：下列是X與y的幾組對應(yīng)值，其中m=

X-4-3-2-101234

y420m02468

描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（％y）；

連線：請用平滑的線順次連接各點，在圖中畫出函數(shù)圖象;

（2）探究函數(shù)性質(zhì)

請寫出函數(shù)y=2|x+[-2的一條性質(zhì)：；（寫一條即可）

⑶運用函數(shù)圖象及性質(zhì)

根據(jù)圖象，求不等式2歸+1|-2<0的解集.

5.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）《函數(shù)）復(fù)習(xí)課后，為加深對函數(shù)的認識，李老師引導(dǎo)同學(xué)們對函數(shù)

的圖象與性質(zhì)進行探究，過程如下，請完成探究過程:

(1)初步感知：函數(shù)y的自變量取值范圍是

⑵作出圖象：①列表:

_7_3__5_3

X-3-20123

-4~2~4~4~2~4

2J_22

y2m35-3-1n

2~3~274

表中"2=,n=；

②描點，連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖

象；

⑶研究性質(zhì):

x1

小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，進一步研究中，小明將函數(shù)y轉(zhuǎn)化為1—7,他判斷該函數(shù)

x+1x+1

圖象就是反比例函數(shù)y=通過某種平移轉(zhuǎn)化而來,反比例函數(shù)y=-1是中心對稱圖形，對稱中心為(0,0),

XX

則函數(shù)二后的對稱中心為

⑷拓展應(yīng)用：當(dāng)1<XW4時，關(guān)于無的方程區(qū)+1=已有實數(shù)解，求上的取值范圍.

1

6.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)小明在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函數(shù)>=一而的圖

象與性質(zhì).其探究過程如下：

⑴繪制函數(shù)圖象，如圖，

列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中機=,

X-3-2-1123

~22

_2_

-1-2機-1

y~3~2~2-3

描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值(％y),在平面直角坐標(biāo)系中描出各點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整;

⑵通過觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：.

⑶利用函數(shù)圖象，解不等式2%-3+3<0.

7.(2024?山東濟南?二模)【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形.那么，面積為定值的矩形中，其周長

的取值范圍如何呢？

【解決問題】

小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進行探究：

(1)建立函數(shù)模型

設(shè)一矩形的面積為4,周長為機，相鄰的兩邊長為尤、y,貝U.孫=4,2(x+y)=m,即y=?y=-尤+/,那

么滿足要求的(x,y)應(yīng)該是函數(shù)>==與y=-x+?的圖象在第象限內(nèi)的公共點坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖象

①畫函數(shù)的圖象；

X

②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出y=-x的圖象，則函數(shù)y=T+￡的圖象可以看成是函數(shù)丁=-%的圖象向

上平移個單位長度得到.

(3)研究函數(shù)圖象

平移直線〉=-乙觀察兩函數(shù)的圖象；

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=±(x>o)的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標(biāo)為，周長根的值

X

為;

②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應(yīng)數(shù)值相

的取值范圍.

【結(jié)論運用】

(4)面積為8的矩形的周長機的取值范圍為.

8.(2024?山東濟南?二模)探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特

征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們準(zhǔn)備結(jié)合已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，畫出函數(shù)＞=￡的圖

X+1

象并探究該函數(shù)的性質(zhì)，

(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：。=,b=；并觀察表格中數(shù)據(jù)的特征，在所給的

平面直角坐標(biāo)系中補全該函數(shù)的圖象.

(2)【性質(zhì)再探】觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)＞=￡的結(jié)論正確的是_______.

X+1

①函數(shù)y=M的圖象關(guān)于y軸對稱.②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三、四象限.③當(dāng)尤=0時，函數(shù)

有最大值，最大值為6.④在自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的值隨自變量X的增大而增大.

4

⑶【學(xué)以致用】寫出直線與函數(shù)丁=一7+1有兩個交點時，。的取值范圍，并說明理由.

X+1

9.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)一次數(shù)學(xué)課上，張老師讓同學(xué)們在網(wǎng)格紙上畫出函數(shù)y=-J/+i6的圖象，下

16

面是小宇同學(xué)通過列表、描點、連線畫函數(shù)圖象的過程的一部分，請你完善探究過程，并解決相關(guān)問題.

X-16-8-404816

y0a1516b120

⑴繪制函數(shù)圖象：

①如表是y與x的幾組對應(yīng)值，則表中。=，b=

②在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，已描出了表中部分坐標(biāo)對應(yīng)的點，請描出表中剩余坐標(biāo)對應(yīng)的x點，

并畫出這個函數(shù)圖象；

(2)如圖2,小宇同學(xué)準(zhǔn)備了若干張等腰直角三角形紙片，其中？O90?,DE=DF=60.

探究一：若按照如圖3方式將兩張等腰三角形紙片擺放在平面直角坐標(biāo)系中，其中點。在X軸上，邊跖所

在直線始終與無軸平行，點廠和點E'重合，D,E,尸三點按順時針順序排列，請通過計算說明當(dāng)DEF,

△DE尸全部落在x軸上方拋物線內(nèi)部(不包括邊界)時，最左邊三角形紙片頂點E的橫坐標(biāo)機的取值范

圍是多少？

⑶探究二：如圖4,若等腰直角刀砂在平面內(nèi)平移運動，并且邊跖所在直線始終與x軸平行，拋物線始

終與邊。尸相交于點。，且。，E,尸三點按順時針順序排列，拋物線始終與直線E尸交于點P.（運動時,

點尸不與點E,E兩點重合）

①當(dāng)尸O=時，等腰直角，）EF左右平移時，求出點E橫坐標(biāo)機的最大值；

②在①條件下，當(dāng)PQ=4忘時，求出點E的坐標(biāo).

題型二：閱讀理解題

【中考母題學(xué)方法】

1.（2021?貴州貴陽?中考真題）（1）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代

的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的"弦圖"，后人

稱之為"趙爽弦圖根據(jù)"趙爽弦圖"寫出勾股定理和推理過程；

（2）問題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心。，

作將它分成4份.所分成的四部分和以為邊的正方形恰好能拼成以A3為邊的正方形.若

AC=12,BC=5,求跖的值；

（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外

作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形N的邊長為定值"，小正方形

A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d.已知Zl=Z2=Z3=a,當(dāng)角?（0°<a<90°）變化時，探究6與c的關(guān)系式，

并寫出該關(guān)系式及解答過程（6與c的關(guān)系式用含〃的式子表示）.

圖③

2.（2020?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）閱讀理解:

材料一：若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實

數(shù)X,?Z構(gòu)成“和諧三數(shù)組

_hc

材料二：若關(guān)于X的一元二次方程。/+陵+。=0（80）的兩根分別為X],12，則有玉+兀2=—，X-X=—.

ax2a

問題解決：

（1）請你寫出三個能構(gòu)成〃和諧三數(shù)組〃的實數(shù)」

（2）若巧，%是關(guān)于%的方程0（〃，b,c均不為0）的兩根，工3是關(guān)于X的方程bx+c=0（b，C均不

為0）的解.求證：XI,X2,%3可以構(gòu)成''和諧三數(shù)組〃；

一4

（3）若A（zn,yi）,B（m+1,笫），C（m+3,竺）三個點均在反比例函數(shù)y=—的圖象上，且三點的縱坐標(biāo)恰

好構(gòu)成”和諧三數(shù)組〃，求實數(shù)機的值.

3.（2023?江蘇徐州?中考真題）【閱讀理解】如圖1,在矩形中，^AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2=a2+b2,同理皿2=6+凡故4c2+必=2（/+〃）.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形，^AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以

判斷，并說明理由.

4+〃22

【拓展提升】如圖3,已知30為VASC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO2=^^-—.

24

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形中，若A5=8,3C=12,點尸在邊的＞上，則尸笈+尸。2的最小值為

4.（2020?山東日照?中考真題）閱讀理解：

如圖1,RtS48c中，a,b,c分別是她，SB,回C的對邊，回C=90。，其外接圓半徑為R.根據(jù)銳角三角函數(shù)

的定義：sinA=—,sinB=-,可得一=—^=c=2R,即：=2R,（規(guī)定sin90。

ccsinAsinBsinAsinBsinC

如圖2,在銳角a48c中，q,b,c分別是EA,fflB,回C的對邊，其外接圓半徑為R,那么：二_____二

sinAsinB

（用＞、=或＜連接），并說明理由.

sinC

事實上，以上結(jié)論適用于任意三角形.

初步應(yīng)用：

在0ABe中，a,b,c分別是0A,0B,EIC的對邊，0A=6O°,05=45°,a=8,求6.

綜合應(yīng)用：

如圖3,在某次數(shù)學(xué)活動中，小鳳同學(xué)測量一古塔C。的高度，在A處用測角儀測得塔頂C的仰角為15。，

又沿古塔的方向前行了100m到達8處，此時A,B,。三點在一條直線上，在B處測得塔頂C的仰角為45。，

求古塔CO的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（6=1.732,$訪15。=近二也）

5.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）主題學(xué)習(xí)：僅用一把無刻度的直尺作圖

【閱讀理解】

任務(wù)：如圖1,點。、E分別在VABC的邊A3、AC上，DE//BC,僅用一把無刻度的直尺作DE、8C的

中點.

操作：如圖2,連接BE、CD交于點P,連接AP交DE于點M,延長AP交2C于點N,則M、N分別為。E、

2c的中點.

理由：由小〃加可得一孫12曲及△曲所以瑞=笫，/黑.所以，

DMBN「皿?人preDMMPEMMP.DMCN.

——=—.同理，由ADMPs￡A\CNP及.AAEMPs乙ABNP,可得——=—,——=—.所Cr以HI——=——.所Cr

EMCNCNNPBNNPEMBN

BNCN

以而=而'則BN=CN'DM=EM,即〃、N分別為DE、2c的中點.

【實踐操作】

請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）如圖3,k〃k，點、E、/在直線乙上.

----------------------------h

圖3

①作線段族的中點；

②在①中作圖的基礎(chǔ)上，在直線乙上位于點尸的右側(cè)作一點P，使得PF=EF;

（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復(fù)上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、倍&為正整數(shù)）

的線段.如圖4,4〃*已知點A、2在4上，他利用上述方法作出了心A=6乙=45.點￡、/在直線4

上，請在圖4中作出線段所的三等分點;

A

圖4

【探索發(fā)現(xiàn)】

請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（3）如圖5,DE是VABC的中位線.請在線段EC上作出一點°,使得QE=；CE（要求用兩種方法）.

6.(2023?四川涼山?中考真題)閱讀理解題：

閱讀材料：

如圖1,四邊形ABC。是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記一班E為2FAD為B,若tanc=g,則

tan夕=-.

易證AAEB必EFC(AAS)

團EC=2k,CF=k,

團FD-k,AD=3k

DFk1

團tanBn==——=一，

AD3k3

若a+尸=45。時，當(dāng)tana=g,貝1|tan〃=；.

同理：若。+/?=45。時，當(dāng)tana=；,貝！Jtan尸=：.

根據(jù)上述材料，完成下列問題：

如圖2,直線y=3x-9與反比例函數(shù)y=—(%>0)的圖象交于點A,與％軸交于點5.將直線A3繞點A順

x

時針旋轉(zhuǎn)45。后的直線與y軸交于點E,過點A作AM_L%軸于點M,過點A作AN，V軸于點N,已知

04=5.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵直接寫出tan44M、tan/A54E的值;

⑶求直線AE的解析式.

7.（2021?廣西?中考真題）【閱讀理解】如圖1,〃〃2，VA3C的面積與△D3C的面積相等嗎？為什么？

圖1

解：相等，在VABC和△￡）3c中，分別作AE_L4，DF112,垂足分別為E,F.

:.ZAEF=NDFC=9Q。,

AE//DF.

Q〃4，

，四邊形AEFD是平行四邊形，

:.AE=DF.

又SVMC=〈BC.AE，SADBC=^BCDF,

..^AABC=S&DBC?

【類比探究】問題①，如圖2,在正方形ABCD的右側(cè)作等腰二CDE,CE=DE,AD=4,連接AE,求VADE

圖2

解：過點E作EF1CD于點尸，連接AF.

請將余下的求解步驟補充完整.

【拓展應(yīng)用】問題②，如圖3,在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG,點8,C,E在同一直線上，AD=4,

連接8。，BF,DF,直接寫出VB/m的面積.

圖3

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）閱讀理解

教學(xué)實踐活動：910班測量雷峰塔高度實踐的相關(guān)數(shù)據(jù)

/4

活如圖，A點為塔頂，將一根木棒立在。處，AC的連線交地面于。點，

動同理將相同長度的木棒立在尸處，同時得到尸點.若移動木棒使得z

1CD=QD,在E點的仰角為30。，則/尸AQ=___________.p力aE

/7Q1DL

4

活如圖，小組2設(shè)計了此測量方法，若CO的長度為18m,已知Nc=37。，

。，則可以得到塔的高度大約為___________(

動4=30.73=1.732)

2(sin370工0.602,cos37°?0.799,tan37°?0.754)

1/?CD

總結(jié)與取優(yōu)

老師做了一個小小的總結(jié)，并且設(shè)計了一個新的方案，已知塔前有一高4

米的小樹CO,發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂和塔項A恰好在一條直線上，測

得班＞=57米，D、E之間有一個花圃無法測量，然后在E處放置一個平面皿

鏡，沿8E后退，退到G處恰好在平面中看到樹頂C的像，此時EG=24米，乜

1I317EG

測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米，求出塔高AB.花圃

2.(2024?廣東深圳?一模)綜合與應(yīng)用

為促進中學(xué)生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學(xué)在"大課間"開展"集體跳繩”運動.跳繩時，繩甩到最高處

時的形狀是拋物線y="2+6x+c的部分圖象，以點。為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若搖繩的兩

9

人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為而米；已知小麗身高1.575米，在距離搖繩者A的水平距離1.5

米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂.

----4，---?

OX

【閱讀理解】

(1)求圖中拋物線的解析式；(不需要求自變量取值范圍)

【問題解決】

(2)體育龍老師身高1.82米，請問他適合參加本次運動嗎？說明理由；

(3)若多人進入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米，試計算最多

可供幾人齊跳.

3.(2024?河北邯鄲?二模)【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計了點的兩種移動方式：從點(x,y)移動到

點(X-2,y)稱為一次甲方式；從點(x,y)移動到點(x,y-2)稱為一次乙方式.例點尸從原點0出發(fā)連續(xù)移動

2次：都按甲方式，最終移動到點M（T,O）；若都按乙方式，最終移動到點N（O,Y）；若按1次甲方式和1

次乙方式，最終移動到點后（-2,-2）.

【應(yīng)用】點A從原點0出發(fā)連續(xù)移動機次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點3（x,y）.其中，按

甲方式移動了〃次.

⑴當(dāng)機=10時，若點B恰好落在直線y=；x+l上，求〃的值；

（2）無論〃怎樣變化，點8都在自變量x的系數(shù)為定值的直線/上，P（-8,0）,2（-10,-6）,

①若點P、點。位于直線/的兩側(cè)，求機的取值范圍；

②若點。關(guān)于直線/的對稱點落在V軸上，直接寫出m的值.

4.（2024?江蘇徐州?二模）［閱讀理解］如圖1,在學(xué)習(xí)三角形的中位線時，我們發(fā)現(xiàn)三角形的三條中位線在三

角形內(nèi)部構(gòu)成一個新的三角形，則其面積與原三角形面積的比是，

［探究思考］如圖2,已知。，E,產(chǎn)分別是VABC三邊的三等分點，且空=等=冬=：,依次連接

ABBCCA3

EF、FD,則OEF與VABC的面積比是定值嗎？如果是，請求出該數(shù)值；如果不是，請說明理由.

［發(fā)現(xiàn)結(jié)論］如圖3,已知。，E,歹分別是VABC三邊的n等分點，且空=段=/=!_,依次連接DE、EF、

ABBCCAn

FD,則J）EF與VABC的面積比是_.

5.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）某中學(xué)九年級（1）班開展"發(fā)現(xiàn)與探究黃金分割”為主題的綜合實踐活動，愛

思考的小麗積極響應(yīng)，認真做好下面項目及任務(wù).

、收集資料，閱讀理解

兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus,約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：將一條線段A3分割成

PRAp

長、短兩條線段AP、PB,若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即蕓（此時線段反

APAB

叫做PB、AB的比例中項），則可得出這一比值等于0.618….這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，

點P叫做線段AB的黃金分割點.

APB

黃金分割被視為最美麗的幾何學(xué)比率，并廣泛地應(yīng)用于建筑和藝術(shù)中，如埃及的金字塔，女神維納斯的雕

像等，就是在日常生活中，黃金分割也處處可見.如演員在舞臺上表演，站在黃金分割點上，臺下的觀眾

看上去感覺最好.有人發(fā)現(xiàn)，人的肚臍高度和人體總高度的比值接近于黃金比.就連普通樹葉的寬與長之

比，蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比也都接近于0.618.還有黃金矩形（即長與寬之比為黃金比）、黃金

三角形（頂角為36。的等腰三角形）等，五角星中更是充滿了黃金分割.讓我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)大千世界中奇妙無比

的黃金分割吧！

二、動手操作，直觀感知

任務(wù)一：如圖1,己知正方形ABCD,點尸是A3的中點.連結(jié)PC,以點P為圓心，PC為半徑作弧，與

的延長線交于點尸，過點歹作瓦，班'于尸，與DC的延長線交于點E,則所得到的四邊形3CEF是黃金

①根據(jù)題意，利用尺規(guī)作圖，將圖1補充完整；

②寫出黃金矩形3CEF的兩邊與CE之比，即絲=______（結(jié)果保留根號）

CE

三、探究延伸，靈活運用

任務(wù)二：如果正n邊形的中心角等于72°,其外接圓半徑為R,則?=,其邊長％與R的關(guān)系式為

（用三角函數(shù)表示）

任務(wù)三：如圖2,在Rt^ABC中，已知/2=90。,/。=18。，求sinC的值.（結(jié)果保留根號）

請結(jié)合上述材料，解決下面問題：

⑴補全任務(wù)一①、②所缺的內(nèi)容；

⑵根據(jù)任務(wù)二，寫出〃=，邊長與R的關(guān)系式為；（用三角函數(shù)表不）

⑶完成任務(wù)三問題的解答?

6.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）閱讀理解:

AAD

圖1

圖2圖4

⑴【學(xué)習(xí)心得】

章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使

問題變得非常容易.我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型.

①類型一："定點+定長J如圖1,在VA3C中，AB^AC,ABAC=44°,。是VA3c外一點，且AD=AC,

求/即C的度數(shù).

解:若以點A（定點）為圓心，AB（定長）為半徑作輔助圓。4,（請你在圖1上畫圓）則點C、。必在（:A

上，N7MC是A的圓心角，而/BDC是圓周角，從而可容易得到=°.

②類型二：“定角+定弦j如圖，△△ABC中，ABLBC,AB=6,BC=4,尸是VABC內(nèi)部的一個動點，

且滿足NK4B=/PBC,求線段CP長的最小值.

解：0ZABC=9O°,ElZABP+ZPBC=90°,?NPAB=NPBC,SZBAP+ZABP=90°,

0ZAPB=,（定角）

回點尸在以AB（定弦）為直徑的，。上，請完成后面的過程.

（2）【問題解決】

如圖3,在矩形A3CD中，已知鉆=6,BC=8,點尸是邊上一動點（點尸不與B,C重合），連接AP,

作點B關(guān)于直線AP的對稱點M,則線段MC的最小值為.

⑶【問題拓展】

如圖4,在正方形ABCD中，AD=4,動點E,尸分別在邊DC,CB上移動，且滿足DE=CF.連接AE和。尸，

交于點P.點E從點。開始運動到點C時，點P也隨之運動，請直接寫出點尸的運動路徑長.

題型三：幾何探究題

【中考母題學(xué)方法】

1.（2024?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在VABC

中，點N分別為A3,AC上的動點（不含端點），且AN=3M.

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)VABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到

連接BD,則=請思考并證明：

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究：如圖2,在VABC中，AB=AC,ZBAC=90°,

AE，MN于點E,交BC于點尸，將M4繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD,連接DA,DB.試猜想四邊形AFBD

的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在VABC中，A5=AC=4,ABAC=90°,連接BN,

CM,請直接寫出aV+CN的最小值.

2.（2023?江蘇?中考真題）如圖1,小麗借助幾何軟件進行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形ABCD和矩形EFGH,

點E、F在邊4B上（EF<AB）,且點C、D、G、H在直線4B的同側(cè)；第二步，設(shè)置一=m,——=n,

ADEH

矩形EFGH能在邊48上左右滑動；第三步，畫出邊E尸的中點0,射線與射線力。相交于點P（點P、D

不重合），射線OG與射線BC相交于點。（點。、C不重合），觀測DP、CQ的長度.

⑴如圖2,小麗取AB=4,EF=3,m=l,"=3,滑動矩形EFGH,當(dāng)點E、A重合時，CQ=；

⑵小麗滑動矩形EFGH,使得。恰為邊力B的中點.她發(fā)現(xiàn)對于任意的〃件“DP=CQ總成立.請說明理由;

⑶經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定〃?、〃的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形EFG”，OP=CQ總成立.小麗的猜

想是否正確？請說明理由.

【中考模擬即學(xué)即練】

3.（2024.甘肅蘭州.模擬預(yù)測）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動點的幾何問題.若四邊形ABCD是

正方形，M,N分別在邊CD,BC上，且/A￡4N=45。，我們稱之為"半角模型"，在解決"半角模型"問題時,

旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.

⑴【初步嘗試】如圖1,將“D暇繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，點。與點8重合，得到ABE,連接MN.用

等式寫出線段DM,BN,MV的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）【類比探究】小啟改變點的位置后，進一步探究：如圖2,點N分別在正方形的邊CD,的

延長線上，ZAWV=45°,連接MN,用等式寫出線段MN,DM,BN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3,在四邊形ABC3中，AB^AD,ZBAD=120°,

/3+/。=180。，點N,M分別在邊3C,CD上，ZMAN=60°,用等式寫出線段3N,DM,MN的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

4.（2024?福建莆田,二模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)對幾何動點問題進行了探究:

問