全國(guó)卷Ⅰ2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷理含解析

PAGEPAGE14（全國(guó)卷Ⅰ）2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B． C． D．2．已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．13．“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．已知平面對(duì)量，，滿(mǎn)意，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．6S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(1,x)dx起先否i＜m？結(jié)束是i＝1，S＝0i＝i＋1輸出S8．據(jù)統(tǒng)計(jì)，連續(xù)熬夜48小時(shí)誘發(fā)心臟病的概率為，連續(xù)熬夜72小時(shí)誘發(fā)心臟病的概率為，現(xiàn)有一人已連續(xù)熬夜48小時(shí)未誘發(fā)心臟病，則他還能接著連續(xù)熬夜24小時(shí)不誘發(fā)心臟病的概率為（）A． B． C． D．9．已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．將的圖像向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是C．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減11．焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．12．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意，且當(dāng)時(shí)，，，對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知若則14．在的綻開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為256，則項(xiàng)的系數(shù)是__________．15.知變量，滿(mǎn)意條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為16．如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，且，，則的面積的最大值為_(kāi)_________．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿(mǎn)分12分）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)意：，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（本小題滿(mǎn)分12分）某市實(shí)行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成果大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參與了初賽，全部學(xué)生的成果均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參與學(xué)校座談溝通，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出3人參與全市座談溝通，設(shè)表示得分在區(qū)間中參與全市座談溝通的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成角為．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．（本小題滿(mǎn)分12分）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，若，的面積為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，拋物線在，點(diǎn)處的切線分別為，，且與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求證：．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)．（1）探究函數(shù)的單調(diào)性；（2）若時(shí)，恒有，試求的取值范圍；請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22.(本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，圓的一般方程為．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫(xiě)出圓的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為，，為圓上的隨意一點(diǎn)，求的取值范圍．23．（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù)．（1）設(shè)的解集為，求集合；（2）已知為（1）中集合中的最大整數(shù)，且（其中，，為正實(shí)數(shù)），求證：．2024全國(guó)卷Ⅰ高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)理科答案解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】集合，，則，故選B．2．【答案】D【解析】是純虛數(shù)，，則要求實(shí)部為0，即．故選D．3．【答案】C．【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上單調(diào)遞增，如圖1-7(a)所示；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上先增后減再增，不符合條件，如圖1-7(b)所示.所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需，即“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件.故選C.4．【答案】C【解析】由題意可設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，漸進(jìn)線的方程為，可得，可得，可得離心率，故選C．5．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，因?yàn)?，所以可解除選項(xiàng)，；，時(shí)，可解除選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷正確，故選D．6．【答案】B【解析】由題意可得：，且：，即，，，由平面對(duì)量模的計(jì)算公式可得：．故選B．S＝S＋S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(1,x)dx起先否i＜m？結(jié)束是i＝1，S＝0i＝i＋1輸出S【解析】第一次循環(huán)，其次次循環(huán)，第三次循環(huán)，第四次循環(huán)，……推理可得m=2024，故選B．8．【答案】A【解析】設(shè)事務(wù)A為發(fā)病，事務(wù)B為發(fā)病，由題意可知：，，則，，由條件概率公式可得：．故選A．9．【答案】C【解析】視察三視圖可知，幾何體是一個(gè)圓錐的與三棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑為，高為．三棱錐的底面是兩直角邊分別為，的直角三角形，高為．則幾何體的體積．故本題答案選C．10．【答案】D【解析】由題意可知：，圖像向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位的函數(shù)解析式為：．則函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，C選項(xiàng)說(shuō)法正確；若，則，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；故選D．11．【答案】A【解析】過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，則，則當(dāng)取得最大值時(shí)，必需取得最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，可設(shè)切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選A．12．【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，在上的值域是，所以函數(shù)在上的值域是，因?yàn)?，所以，所以在上的值域是，?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在上的值域?yàn)椋?，解得；?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在上的值域?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，為常函數(shù)，值域?yàn)?，不符合題意，綜上，的范圍是，故選D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】解析：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故則14．【答案】7【解析】令可得各項(xiàng)系數(shù)和：，據(jù)此可得：，綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，令可得：，不是整數(shù)解，據(jù)此可得：項(xiàng)的系數(shù)是．15.【答案】【解析】作出，表示的可行域，如圖變形目標(biāo)函數(shù)，，其中為向量與的夾角，由圖可知，時(shí)有最小值，在直線上時(shí)，有最大值，即，，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選C．16．【答案】【解析】由可得：，則．由可知：，則，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知：．設(shè)，，，在中由余弦定理可得：，在中由余弦定理可得：，由于，故，即：，整理可得：．①在中，由余弦定理可知：，則：，代入①式整理計(jì)算可得：，由均值不等式的結(jié)論可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，據(jù)此可知面積的最大值為：．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿(mǎn)分12分）【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)的公差為，則由已知得，即，解之得：或（舍），所以；因?yàn)?，所以的公比，所以．?）由（1）可知，所以，，所以，所以．18.（本小題滿(mǎn)分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）．【解析】（1）由題意知之間的頻率為：，，獲得參賽資格的人數(shù)為人．（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人．結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為0，1，2，則：；；；故的分布列為：012．19．（本小題滿(mǎn)分12分）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（1）證明：∵平面，平面，∴，又∵底面是正方形，∴．∵，∴平面．（2）解：∵，，兩兩垂直，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵與平面所成角為，即，∴，由，可知，，．則，，，，，∴，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則．∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，∴．∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.（本小題滿(mǎn)分12分）【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）因?yàn)椋缘綔?zhǔn)線的距離即為三角形的中位線的長(zhǎng)，所以，依據(jù)拋物線的定義，所以，，，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立消去得，得，，，設(shè)，，，，，得點(diǎn)坐標(biāo)，由，得，，，所以，即．21.（本小題滿(mǎn)分12分）【答案】（1）增函數(shù)；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，知是?shí)數(shù)集上的增函數(shù)．（2）令，則，令，則．（i）當(dāng)時(shí)，，從而是上的減函數(shù)，留意到，則時(shí)，，所以，進(jìn)而是QUOTE[0,+∞)上的減函數(shù)，留意到，則時(shí)，時(shí)，即．（ii）當(dāng)時(shí)，在上，總有，從而知，當(dāng)時(shí)，；（iii）當(dāng)時(shí)，，同理可知，綜上，所求的取值范圍是．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22