導(dǎo)數(shù)與零點、隱零點綜合應(yīng)用（6題型+高分技法+限時提升練）原卷版-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（新高考）

重難點2-6導(dǎo)數(shù)與零點、隱零點綜合應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(包括隱零點)的綜合應(yīng)用是高考預(yù)計2025年將繼續(xù)保持對導(dǎo)數(shù)知識的深入考查，

數(shù)學(xué)的重要考點，在近三年的高考中均有出現(xiàn)。其注重與零點問題的結(jié)合，題型多樣且難度較大，命

題型多樣，包括選擇題、填空題和解答題，其中解題更加注重綜合性和創(chuàng)新性.

答題常作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大.主要考查零點

個數(shù)問題、隱零點問題及參數(shù)范圍問題.

重難點題型解讀

題型［利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點個數(shù)題型4max,min函數(shù)的零點問題

題型2討論證明函數(shù)零點個數(shù)=一導(dǎo)數(shù)與零點、隱零點綜合應(yīng)用一?題型5不含參函數(shù)的"隱零點■問題

題型3根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)°題型6含參函數(shù)的"隱零點”問題

題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點個數(shù)

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法

(1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖。函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與X軸交點的個：

數(shù)問題.

i

(2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為a=g(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最

值，畫出草圖.函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線y=a與函數(shù)y=g(x)圖象交點的個數(shù)問題.只需要用。與：

函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可.

11_1.y

1.(24-25高三上?山東荷澤?期中)函數(shù)〃——situ的零點個數(shù)為()

21-x

A.1B.0C.3D.2

2.(24-25高三上?四川?期中)已知實數(shù)〃滿足2。+々=2,則函數(shù)〃%)=2%3—3/+1—，的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

ln(l-x),xe(-a?,O]

3.(23-24高三下.北京房山.一模)若函數(shù)/(%)=1/八、，則函數(shù)g(x)=/(%)+%+。零點的個數(shù)

.”(0,十句

為()

A.1B.2C,1或2D.1或3

4.(24-25高三上?山東濟(jì)南?期末)當(dāng)彳4-2兀,2可時，曲線y=sinx與的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

題型2討論證明函數(shù)零點個數(shù)

證明函數(shù)零點個數(shù)的方法與判斷零點個數(shù)的方法相似，多在解答題中進(jìn)行考察.

利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值

(最值)及區(qū)間端點值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

注意：單調(diào)性+零點存在=唯一零點.

1.(24-25高三上?甘肅蘭州?期中)已知函數(shù)/(X)=ae'—x-l.

(1)若f(尤)在(1,2)上存在極小值，求實數(shù)”的取值范圍

⑵討論“X)在(-2,2)上的零點個數(shù).

2.(24-25高三上?吉林?期末)已知函數(shù)/(x)=—+21n尤的極小值為2,g(x)=

X

0<m<—.

2

⑴求a的值;

m

(2)比較并證明g與0的大小;

⑶求y=g(x)的零點個數(shù)并進(jìn)行證明.

3.(24-25高三上?江西宜春?期末)已知函數(shù)/(x)=2sinx-x.

⑴當(dāng)xe[0,7i]時，/(x)<m,求實數(shù)加的取值范圍；

⑵判斷函數(shù)g(x)=(x+l)〃x)+l在9+鼻的零點個數(shù)，并說明理由.

4.(24-25高三下?浙江?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ln^——(。>0)是奇函數(shù).

⑴求a；

⑵求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

(3)證明：函數(shù)g(x)=〃x)-2sinx有且僅有1個零點.

題型3根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

1,分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)

的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)先分離、次選分類)求解.

；2、利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)造不等式求解.

II

3、轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

II

1.(24-25高三上?江蘇淮安?月考)函數(shù)〃尤)=2元3-3依2+1只有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

x3+3尤2-2,x<0,

2.(24-25高三上?廣東?月考)已知〃x)=in》若函數(shù)g(x)=/(x)-根有兩個零點，則加的取

---，尤>0,

、尤

值范圍為.

3.(24-25高三下?安徽?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(^)=e2x-5e'+^.

⑴若4=2,求/(x)的極值；

(2)若f(x)在區(qū)間(9,0)上存在零點，求實數(shù)4的取值范圍.

4.(24-25高三上?湖南邵陽?一模)已知函數(shù)/。)=:(1)/一為-1.

⑴求曲線y=/⑴在點(1"⑴)處的切線方程；

⑵若函數(shù)g(x)=(e"eJeg)"(x)+x+l]+工有2個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

X

題型4max、min函數(shù)零點問題

在處理含max,min函數(shù)的問題中，核心思想是去掉這個符號：

ff>0

1、對于二元的max,min可以通過分類討論去掉，即max{7,g},一&，所以就轉(zhuǎn)化成兩個大小關(guān):

系的比較；

2、對于三元變量或者多元變量，分類討論去max,min符號就變得復(fù)雜，此時往往需要借助該函數(shù)的最

值性去掉該符號；

3、在目標(biāo)圖象容易做出的情況下，我們亦可通過作圖來實現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合.

1.(23-24高三下?湖南衡陽?開學(xué)模擬)已知函數(shù)〃(x)=maxy,-x3+ax-；1(x>。)，其中max{p,q}表

示P,q中的最大值，若函數(shù)〃(力有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

2.(23-24高三上?浙江?二模)定義己知函數(shù)=max{lnx,-4x3+的_“，其中W一.

(1)當(dāng)加=5時，求過原點的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)只有一個零點，求實數(shù)機的取值范圍.

3.(23-24高三上?湖南長沙?月考)已知函數(shù)/'(x)=(x-G(e*+l),g(x)=orlnx+x+e-2(aeR),

表示機，〃的最大值，設(shè)F(￡)=max{/(x),g(x)}.

⑴討論r(x)在(。,+“)上的零點個數(shù)；

(2)當(dāng)x>0時網(wǎng)尤”0,求。的取值范圍.

4.(23-24高三下?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-丁+3尤(x>0),g(x)=x]nx+ax2-2x.

⑴若“X)，8⑴的導(dǎo)數(shù)分別為/⑴，g'(x),且{x,(x)<o}c{xW(x)<o},求a的取值范圍；

⑵用min{a,6}表示a,6中的最小值，設(shè)〃(x)=min{〃x),g(x)},若同>1,判斷〃(力的零點個數(shù).

題型5不含參函數(shù)的“隱零點”問題

1、不含參函數(shù)的“隱零點”問題的解策略：

己知不含參函數(shù)/(%),導(dǎo)函數(shù)方程/'(勸=0的根存在，卻無法求出，

i

設(shè)方程/'(%)=0的根為/,則有：①關(guān)系式尸(毛)=0成立；②注意確定/的合適范圍.

2、“虛設(shè)零點”的具體操作方法：

第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程尸(毛)=0,并結(jié)合Ax)的單調(diào)性得

到零點的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零點的存在性定理確定，也

可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點范圍精確到多少，由所求解

問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍.

第二步：以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)/'(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到/(x)的最值表達(dá)式；這里應(yīng)注意，進(jìn)行代

數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替:

換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵.

第三步：將零點方程g(x0)=。適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明；有時候第一步中的零點范圍還!

可以適當(dāng)縮小.導(dǎo)函數(shù)零點雖然隱形，但只要抓住特征(零點方程)，判斷其范圍(用零點存在性定理)，最

i

后整體代入即可.(即注意零點的范圍和性質(zhì)特征).

I

1.(24-25高三上?河北滄州?月考)已矢口函數(shù)=—alnx.

⑴若在(0,+動上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵當(dāng)a=l時，證明：/(x)>0.

2.(24-25高三上?安徽淮南?月考)設(shè)函數(shù)〃x)=ox-2-Inx,?sR.

⑴若F(X)2O恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

⑵若g(x)=ax-e。求證：在x>0時/(x)>g(x).

3.(24-25高三上?福建漳州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xe'.

⑴求函數(shù)了(元)的極值

⑵若f(x)Tn尤恒成立，求實數(shù)a的值范圍.

4.(24-25高三上?安徽宣城?期末)已知函數(shù)/'(x)=xe，—2alnx,g(x)=^.

⑴當(dāng)a=e時，證明：/(x)Ng(x)恒成立;

⑵設(shè)國表示不超過尤的最大正整數(shù)，若a?O,e),且關(guān)于a的方程〃a)=%有實數(shù)根，記b的最小值為t,

求上+21n2］的值.

題型6含參函數(shù)的“隱零點”問題

含參函數(shù)的“隱零點”問題解題策略：

己知含參函數(shù)/（X,。），其中。為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程/'（x,a）=O的根存在，卻無法求出，

設(shè)方程/'（%）=o的根為/，則有①有關(guān)系式r（/）=o成立，該關(guān)系式給出了％，。的關(guān)系；②注意確

定與的合適范圍，往往和。的范圍有關(guān).

1.（24-25高三上?廣東?期末）已知函數(shù)/（x）=x2-2x+l+alnx.

⑴若。=-1,求函數(shù)在》=1處的切線方程；

⑵若?。o）在區(qū)間（1,2）上有唯一的零點，求。的取值范圍.

2.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知函數(shù)/（x）=e2，-雙-1.

⑴討論〃尤）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若在區(qū)間（0,+8）上存在唯一零點七,證明：x0<<7-2.

3.（24-25高三上?吉林長春?期末）已知函數(shù)/（%）=（*2-依）inx+x（aeR,a>0）.

⑴若1是函數(shù)/（尤）的極值點，求。的值；

（2）若。<。41,試問Ax）是否存在零點.若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由.

4.（24-25高三上?山西長治?月考）已知，（x）=a（x-l）e"-d.

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)“X）在區(qū)間［-1,1］上的最值；

（2）若/'（x）N-l恒成立，求。的取值范圍.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?河北承德?月考）已知函數(shù)/⑺=a+2）e「根有兩個零點，則實數(shù)加的取值范圍為（

A.f—^-,0jB.I--C.（0,+功D.（』0）

a721

x+2xH-----x,xV0

2.(24-25高三上.浙江.期末)已知函數(shù)/("=20，g(x)=f(x)-ax,若函數(shù)g(x)有5

—,x>0

.X

個零點，則。的取值范圍為（）

二、多選題

3.（24-25高三上?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=I；"：'尤<°八,其中aeR,若函數(shù)〃尤）有2

ax—2ox+l,x>0

個不同的零點，則。取值范圍可以是（）

A.（0,1）B.（1,+e）C.（-8,0）D.kj］

4.（23-24高三上?重慶沙坪壩?月考）用min{〃?,"}表示雙"中的最小值，設(shè)函數(shù)

；一卜%>貝

/z(x)=mind++,Inx0),U()

A.力(1)=0B.力(尤)在(1,+⑹上無零點

C.當(dāng)aW-3時，力⑴在(0,