二次函數(shù)壓軸題型專訓（13大題型65道）解析版-2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學下冊

二次函數(shù)壓軸題型專訓（13大題型65道）

Q題型目錄

旨【題型目錄】

題型一二次函數(shù)圖象與各系數(shù)關系

題型二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題

題型三二次函數(shù)中的最值

題型四二次函數(shù)中平移問題壓軸

題型五二次函數(shù)與方程、不等式壓軸

題型六二次函數(shù)的存在性問題

題型七二次函數(shù)含參應用

題型八二次函數(shù)的翻折對稱問題

題型九二次函數(shù)中的“倍角”關系問題

題型十二次函數(shù)中特殊角度關系問題

題型十一鉛垂高、水平寬求面積最值

題型十二二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合

題型十三二次函數(shù)與相似綜合

心經(jīng)典例題

41經(jīng)典例題一二次函數(shù)圖象與各系數(shù)關系】

1.（24-25九年級上?浙江湖州?期中）已知二次函數(shù)y="2+6x+c（aw0）,圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)

圖象經(jīng)過點（-2,0）,對稱軸為直線x=對于下列結論：①而c<0；②2a+c=0；@am2+bm<^a-2b）

（其中④若4（久i，%）和B（%2,>2）均在該函數(shù)圖象上，且玉>工2>1,則必>%其中正確結論的個數(shù)

共有（）

C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是關鍵.

根據(jù)拋物線與x軸的一個交點(-2,0)以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的另一個交點(1,0),利用待定系數(shù)

法得到b=a,c=—2a，再根據(jù)拋物線開口方向向下，即可判斷②正確，①錯誤，根據(jù)

am2+bm=am2+am=a|—.a（Q—26）=一2a）=—4a，Q<0,加0一］，可以得至U

2

aI<0,從而得到③正確；根據(jù)拋物線的增減性可以判斷出④錯誤，問題得解.

【詳解】解：???拋物線的對稱軸為直線x=且拋物線與x軸的一個交點坐標為(-2,0),

.??拋物線與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

4a-2b+c=0b=a

把(一2,0),(1,0)代入了=。/+瓜+。(4*0),可得:i=0，解得

c=-2a'

2a+c=0,故②正確;

???拋物線開口方向向下,

???Q<0,

b=Q<0,c--2a>0，

abc>0,故①錯誤;

21111

am2+bm=am1+am=am+~|W（"2b）=a（"2a）=7,

2

2

???am+bm—；（Q—2b）=am+~

「1

乂m手——

2

2

a<0,

即加2+加?-2b）（其中故③正確;

???拋物線的對稱軸為直線x=-;，且拋物線開口朝下,

.?.當時，了隨x的增大而減小,

???X]>x2>1>-1,

?,?必<%,故④錯誤,

故選：B.

2.（2024九年級上?全國?專題練習）二次函數(shù)了="2+瓜+《。/0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線

x=-；,且與x軸的一個交點坐標為（-2,0）.下列結論：①abc>Q；②a=b；③a-b+c>0；④關于x

其中正確結論的個數(shù)是（）

D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由拋物線的開口方向判斷。與0的關系，由拋物線與y軸的交

點判斷c與0的關系，然后根據(jù)拋物線對稱性進行推理，進而對所得結論進行判斷，熟練掌握二次函數(shù)的圖

象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意，由圖象可得，a>0,c<0,

???對稱軸為直線》=

b1

2a2

：.b=a>0,

abc<0,故①錯誤，②正確;

又由圖象知，當％=—1時，y<0,

.■-a-b+c<0,故③錯誤；

???二次函數(shù)y=ax2+bx+c與無軸有兩個不同的交點，

二關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確，

綜上，正確的有：②④.

故選：B.

3.（23-24九年級上?江蘇徐州?階段練習）已知二次函數(shù)了=肉+瓜+4分0）的圖象如圖所示，有下列5個

結論：①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>c；（5）a+b>m（am+b^（加wl的實數(shù)），其中結

A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息是解題

的關鍵；由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷。與0的關系，然后根據(jù)拋物

線對稱性和最值進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【詳解】解：①；開口向下，

:.a<0,

???圖象與y軸的交點在正半軸，

/.c>0,

???對稱軸為直線x=l,

--—>0,

2a

b>0,

abc<0,

故①不正確；

②當x=—l時，y=a-b+c<0,

:.b-a>c9

故②正確；

③由對稱性知，當x=2時，函數(shù)值大于0,

y=4a+2b+c>0,

故③正確；

（4）va<0,c>0,

3a<c,

故④不正確；

⑤當x=l時，y取得最大值，最大值為y=a+6+c,而當x="時，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c[m豐1）,

故a+6>am2+bm，

即a+6>m（am+b^,

故⑤正確.

故②③⑤正確.

故選：B.

4.（24-25九年級上?湖北宜昌?期中）如圖是二次函數(shù)了=辦2+8+。圖象的一部分，其對稱軸是直線

x=-l,且過點（-3,0）,有以下結論：①Mc>0；②4a+26+c>0；③a-6+c4"z（a〃2+6）+c（%為任意

實數(shù)）；④若方程。（％+3）（1-力=-1的兩根為X1，尤2，且菁<馬，則⑤5a>6,其中說法

正確的有

【答案】②③⑤

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是理解二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，與坐

標軸交點的關系等知識.

根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與了軸的交點可對①⑤進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性可知X=2時，

y>o,可對②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進行判斷；根據(jù)函數(shù)與方程的關系可對④進行判斷.

【詳解】解：..?拋物線開口向上，

:.a>0,

???拋物線對稱軸為直線x=-3=-1,

2a

.\b=2a>0,貝5。=5。-2a=3。>0,

5a>b,所以⑤正確；

拋物線與了軸的交點在％軸下方，

c<0,

abc<0,所以①錯誤；

V拋物線對稱軸是直線%=-1,且過點（-3,0）,

拋物線過點（1,0）,

x=2時，>>0,

4a+2/?+c>0,所以②正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=T,

.?.當X=-1時，y有最小值，

:.a-b+c<am2+bm+c（加為任意實數(shù)）,

貝iJa-6+c4a（G?+6）+c,所以③正確；

；方程。（x+3）（l-x）=-l即a（x+3）（x-l）=l的兩根為X1,%,且王<工2，

拋物線與直線>=1有兩個交點（外,-1）,（x2,-l）,

由圖象可知項<-3<l<X2,所以④錯誤.

故答案為：②③⑤.

5.（24-25九年級上?福建廈門?期中）已知拋物線+bx+c（a,b,c是常數(shù)）開口向下，過

3

/（-1,0）,2（私0）兩點，且1<相<2.下列四個結論：①6<0；②若〃?=],則3a+2c=0；③若點M

01，%），N（%2，y2）在拋物線上，西<馬，且為+馬>1,則％<%；④當時，關于x的一元二次方程

◎2+bx+C=l必有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確的是.（填寫序號）

【答案】②③④

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)圖象的對稱性，

增減性，二次函數(shù)與無軸的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.

根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下，即。<0,對稱軸直線為X=-=-二，且1<加<2可判定①；根據(jù)二次函

數(shù)對稱軸直線的計算方法，圖象過點”（-1,。）的知識結合可判定②；根據(jù)題意可得點初到對稱軸的距離小

于點N到對稱軸的距離，圖象開口向下，由離對稱軸越遠值越小可判定③；根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一

元二次方程根與系數(shù)的關系可判定④；由此即可求解.

【詳解】解：拋物線了=辦2+/+。（a,b,c是常數(shù)）開口向下，

，Q<0,

???二次函數(shù)圖象過4-L0）,5（加,0）兩點,

???對稱軸直線為X==依=-白,

22a

1<m<2,

-1+mb八

------=---->0,

22a

?,?/>>0,故①錯誤；

若加=g,則”|,0）

???^（-1,0）,

???對稱軸直線為丫_—1+2—_1，即一b白=：1，

X=~r=^2〃4

:?b=-巴,

2

把/（-L0）代入拋物線得，a-b+c=0,

a.

dFC—0,

2

.?.3Q+2C=0,故②正確；

???拋物線V=辦2+樂+。（a,b,。是常數(shù)）開口向下，過4一1,0）,5（加,0）兩點，且1<加<2,

h—1+in

???對稱軸直線為X=-二=一二二，

已知點N(%2，V2)在拋物線上，%1<々，且西+尤2>1,

???點M到對稱軸的距離小于點N到對稱軸的距離，圖象開口向下，

???%>%，故③正確；

已知拋物線>="2+法+。(〃，b,。是常數(shù))開口向下，過4-1,0),5(冽,0)兩點,

???設拋物線解析式為：y=a[x+\)(x-m),

令Q(X+1)(X-加)=1,整理得，ax2+a(l-m^x-am-l=0,

A=[Q(1—加)]2-4Q(-Q/-1)=Q2(m+1)2+—,

1<m<2,a<-\,

△=-4a(-am-l)=a2(機+1)~+—>0,

???關于x的一元二次方程辦2+6x+c=l必有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確.

綜上所述，正確的有②③④，

故答案為：②③④?

41經(jīng)典例題二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題】

6.(24-25九年級上?安徽滁州?期中)在平面直角坐標系xQy中，點尸(-2,5)在二次函數(shù)V=涼+反+5(g0)

的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線X=.

(1)求m的值；

⑵若點。(3加,2)在了=辦2+隊-3的圖象上，當0<x<3時，求該二次函數(shù)的最大值與最小值.

【答案】(1)%=-1；

⑵二次函數(shù)的最大值為22,最小值的為-3.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵；

(1)點尸(-2,5)在二次函數(shù)？=江+加：+5("0)的圖象上，得到4°-26+5=5,解得6=2。，則二次函數(shù)的

解析式為y=a/+2辦+5,根據(jù)對稱軸x=-二求解即可；

(2)求出a=g,b=2a=g,得到拋物線的解析式為了=1/+gx-3=去工+吁-g,再根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)分別求出最大值與最小值即可；

【詳解】(1)解：??,點尸(-2,5)在二次函數(shù)歹=加+bx+5(a。0)的圖象上，

.??4。-26+5=5,解得6=2。，

???二次函數(shù)的解析式為歹="2+2"+5,

???對稱軸為直線X=-1￡=7,

2a

m=—1；

(2)'：m=-\,

???點。(3加,2)即為點(-3,2),

???點。(-3,2)在>=分+及—3的圖象上，b=2a,

.'.9a-6a-3=2,解得。=g，

/.b7=2ca=——10，

3

51o5°14

???拋物線的解析式為歹=：l2+￡、-3=：('+1)2—1，

???拋物線開口向上，拋物線對稱軸為x=-l,當x>-1時，V隨著X的增大而增大，

,?<0<x<3,

.?.當％=0時，函數(shù)有最小值，最小值為-3,

514

當x=3時，函數(shù)有最大值，最大值為?3+10)2-?=22,

???二次函數(shù)的最大值為22,最小值的為-3.

7.(21-22九年級上?安徽馬鞍山?期末)已知拋物線〉=X2+蛆+〃，點〃(1,_2)在拋物線上.

(1)求幾與m之間的關系式；

33

(2)若當一/Wx<2時，拋物線歹=12+加工+〃有最小值一3,求〃與加的值.

【答案】(1)〃=—3—加

93

(2)m=0,〃=一3或加=—,n=~

22

【分析】本題考查二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)等知識，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學

會構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)把點M代入即可解決問題.

(2)分三種情形①當-gw-],②當③當分別列出方程解決問題.

【詳解】(1)解：???點/(1,-2)在拋物線歹=%2+加x+〃上

:.-2=].+m+n,

：.n=-3-m

(2)解：?-y=(x+野-號-加-3,

24

①當—5■工一5時，則冽23,

3,。

=-2時，歹=一3,

93。。

----m-m-3=-3,

42

9

:.m=——

10

,/m＞3,

Q

，加=而不符合題意，

“3m3.m.

②當一5＜一,5時，彳=一弓時，＞=-3o,

?.——1m2—m—5r=—3r,

4

「?機=0或一4.

%=—4不符合題意，

m=0,

aa

③當一5＞5時，x=,時，歹=一3，

93

+

4-2-m-3-m=-3,

9

m=——.

2

、93

綜上所述：m=0,〃=-3或加=一不，n=-.

8.(24-25九年級上?云南昆明?期中)如果一個點的橫、縱坐標均為常數(shù)，那么我們把這樣的點稱為確定的

點，簡稱定點.比如點(1,3)就是一個定點.對于一次函數(shù)＞=履-左+3(左是常數(shù)，由于

y^kx-k+3=k(x-\)+3,當x-l=0即x=l時，無論上為何值，了一定等于3,我們就說直線＞=日一4+3

一定經(jīng)過定點(1,3).

設拋物線》=機工2+(2-2機)x+加-2(加是常數(shù)，加*0)經(jīng)過的定點為點Z),頂點為點P.

(1)求拋物線經(jīng)過的定點D的坐標；

(2)是否存在實數(shù)加，使頂點尸在x軸上?若存在，求出加的值；若不存在，請說明理由；

(3)當〃時，在>=履+3的圖象上存在點。，使得這個點到點P、點。的距離的和最短，求上的取值范

圍.

【答案】(1)(1,0)

(2)不存在，理由見解析

⑶-34左

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，含參數(shù)的二次函數(shù)問題的求解等知識點，結合二次函數(shù)

的圖象探究函數(shù)圖象經(jīng)過的定點以及定點對函數(shù)自變量取值范圍是解題的關鍵.

(1)將拋物線的解析式進行整理得丁=加，+(2-2m)x+機-2=機卜-l『+2(x-l),可得“定點?！钡淖鴺藶?/p>

(1,0)；

(2)卞艮據(jù)4℃一〉=4加(加一2)一(22加J判斷即可;

4a4mm

(3)先求出P(3,2),再根據(jù)>=履+3的圖象上存在點。，使得這個點到點尸、點。的距離的和最短，得

點尸、。、。三點共線，從而根據(jù)當〉=履+3過點尸(3,2)和〉=依+3過點。(1,0),即可求解左的取值范圍

為一3V發(fā)〈一；.

【詳解】(1)解：y=mx2+(2—2/77)x+/n-2=777(x-l)'+2(x-l),

當％-1=0,即x=l時，y=0,

??.無論加為何值y一定等于0,

???拋物線一定過定點(1,0).

0(1,0).

故答案為：(1,0)；

(2)解：不存在，理由如下：

拋物線了=加/+(2-2加卜+〃?-2的頂點尸在》軸上，

.4ac-b24m（m-2）-（2-2m）21

?,---------------------------------------=-----w0，

4a4mm

二不存在實數(shù)加，使頂點尸在X軸上；

（3）解：?.?當加=_g時，y=-1x2+3x-|=-1（x-3）2+2,

”P（3,2）,

???￡＞（1,0）,在〉=履+3的圖象上存在點。，使得這個點到點P、點。的距離的和最短，

???點尸、。、。三點共線，

???。在直線V=依+3上，

二當產(chǎn)區(qū)+3過點尸（3,2）時得,

2=3左+3,

解得上=一，

當》=履+3過點。（1,0）時得，

0=左+3,

解得a=-3,

k的取值范圍為-3

9.（24-25九年級上?北京豐臺?期中）在平面直角坐標系xQy中，點尸（西，必）,0（%,%）為拋物線

y=ax2-2ahx+ah2+1（。*0）上的兩點.

（1）當力=1時，求拋物線的對稱軸；

⑵若對于0＜玉（2,/2+4＜/＜〃+5都有必2%,求〃的取值范圍.

【答案】⑴直線x=l

（2）當。＞0時，力的取值范圍為力＜-5或當。＜0時，//的取值范圍為-2＜/z＜4

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和拋物線的對稱軸，熟練掌握二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關鍵.

（1）將力=1代入解析式，然后將二次函數(shù)的解析式化為頂點式求解即可得；

（2）根據(jù)題意分兩種情況討論：。＞0和。＜0,利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別列出不等式（組）求解即可得.

【詳解】（1）解：當力=1時，拋物線的表達式為y=-2ax+a+l,

y=—+\,

拋物線的對稱軸為直線x=l.

(2)解：,拋物線>="-20桁+/+1=+1(。.0)的對稱軸為直線x=〃，且點。(馬，％)

(〃+4<々4〃+5)在此拋物線上，

???點。仁，%)一定在對稱軸的右側，x=/z-4時的函數(shù)值與x=〃+4時的函數(shù)值相等，x="5時的函數(shù)值

與x=〃+5時的函數(shù)值相等，

由題意，分以下兩種情況：

①當。>0時，若點尸在對稱軸的右側，

要使對于04X］42,6+44x24人+5者B有%，

貝IM+5V0,

解得h<-5

若點P在對稱軸的左側，

要使對于OWX1V2,〃+4W無2<〃+5者B有必2%,

貝W522,

解得力27；

②當"0時，

要使對于04X1W2,6+4Mx24〃+5都有必2%,

仇+422

則］〃-4V0'

解得—2<//<4,

綜上，當。>0時，場的取值范圍為"4-5或力》7；當。<0時，力的取值范圍為-2V/ZW4.

10.(24-25八年級上?北京西城?期中)在平面直角坐標系X0中,已知8(%，%)是拋物線

y=af-2ax+c(a>0)上的兩個點.

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)若對于-2<尤］<-1,2<x2<3,都有必%<0,求證：3a+c=0；

⑶若對于再=加-4,加<尤2<加+1,都有%>%>c,求加的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的對稱軸X=l;

(2)見解析；

(3)V-1或2W加4g.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性和對稱性是解題的關鍵.

(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解；

(2)設點B(%2，y2)關于對稱軸的對稱點為8'(無2,，％)，由拋物線的對稱軸X=1,2<x2<3,得

由點A,夕在對稱軸左側，a>0,且-2<占<-1<%'<0，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，x<l時，了隨工的增大而

減小，則則當x=T時，V=0,代入即可求解；

(3)由。>0,則對稱軸x=i右側，了隨尤的增大而增大；對稱軸x=i左側，了隨x的增大而減小，故點

/(加-4,必)在直線》=1左側，其對稱點為(6-加,乂)，然后分①當點8(%242)在直線x=l右側時，②當點

B(X2，V2)在直線x=1左側時兩種情況分析即可.

【詳解】(1)解：拋物線的對稱軸》=-『=1；

2a

(2)證明：設點8(X2,%)關于對稱軸的對稱點為5'(x；，%)，

,?,拋物線的對稱軸x=1,2<x2<3,

f

-1<x2<0

?.?點A,夕在對稱軸左側，a>0,且_2<%<-1<"<。，

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，x<l時，隨x的增大而減小，

???%>%，

1?,必力<°，

；.%>(),y2<0,

二當x=-l時，y=0,

把(-1,0)代入解析式得3“+c=0；

(3)解：”>0,

???對稱軸％=i右側，v隨工的增大而增大；對稱軸％=1左側，y隨1的增大而減小，

Vo<1,

???點（0,C）在直線X=1左側,其對稱點為（2,c）,

???西二加一4,m<x2<m+1,

：.xx<x2,

???點4（加-4,%）在直線％=1左側,其對稱點為（6-m,%）,

[6-m>m+1

|m>2

解得：2<m<|；

X=1

m+1<0

解得加<—1,

綜上：m<-1^2<m<-|.

41經(jīng)典例題三二次函數(shù)中的最值】

11.(24-25九年級上?河北唐山?期中)規(guī)定1：一個點/(x,y)縱坐標y與橫坐標X的差“y-x”稱為點A的“縱

橫值”.

例如：點/。,3),則它的“縱橫直'為3-1=2.

規(guī)定2：若點/(xj)是函數(shù)圖象上任意一點，則函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)

縱橫值”.

例如：點/(x/)在函數(shù)V=2x+l(3WxV6)圖象上，圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為

y-x=2x+l-x=x+l,當3VxW6時，x+1的最大值為6+1=7,所以函數(shù)了=2x+l(3VxV6)的“最優(yōu)縱橫

值”為7.

根據(jù)規(guī)定，解答下列問題：

⑴點8(-6,2)的“縱橫直，為；

(2)若二次函數(shù)了=--+加+，的頂點在直線x=5上，且最優(yōu)縱橫值為5,求c的值；

⑶若二次函數(shù)了=f2+(2b+l)x-62+3,當TWx44時，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為2,求6的值.

【答案】(1)8；

(2)c的值為4；

(3)6的值為-2或5.

【分析】本題以新定義題型為背景，考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)，學會二次函數(shù)求最值的方法，理解最優(yōu)縱橫值的定義是解題的關鍵.

(1)根據(jù)縱橫值的定義直接求解即可；

(2)由拋物線的對稱軸公式尤=-/可以求得6=3,得到二次函數(shù)的解析式為y=-f+3x+c,再通過配

方法得到y(tǒng)-x=-(x-iy+c+l,結合函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為5,得到c+l=5,即可求解c的值;

(3)先得到二次函數(shù)的縱橫值為y-x=-(x-b)2+3,再令w=-(x-b)2+3,則由題意得：當TWxW4時,

卬的最大值為2,再分類①6<-1；@-1<6<4；③6>4,討論3種情況即可求解6的值.

【詳解】(1)解：???點8(-6,2),

.?.它的“縱橫直'為2-(-6)=8.

3

(2),?,>n—V+bx+c的頂點在直線x=5上，

?b-3

解得：b=3,

.二二次函數(shù)為y=-%2+3x+c,

，二次函數(shù)縱橫值為歹一工=一工2+2x+c=-(x—l)2+c+l,

當x=i時，v-x有最大值。+1,

又?.?歹=—工2+3x+c的最優(yōu)縱橫值為5,

c+1=5,

解得：。=4,

???。的值為4.

(3)二次函數(shù)縱橫值為y-x=-、2+2&一〃+3=一(%—4+3,

令w=-(x-6)2+3,則由題意得：當-10x04時，w的最大值為2,

下面分3種情況討論：

①若6<-1,

當％=-1時，鼓的最大值為一(一1一6)2+3,

.(-1-b『+3=2,

解得：4=0也=-2,

?/0>-1,

?二舍去b=0,

:.b=—2；

②若-1V6W4,

當x=b時，w的最大值為3〉2,

無解；

③若6>4,

當％=4時，w的最大值為-(4-bp+3,

.?.-(4-"+3=2,

解得：。=3也=5,

???3<4,

?e?舍去6=3,

**-b=5；

，綜上所述，b的值為-2或5.

12.(24-25九年級上?江蘇鹽城?期中)已知拋物線y=/+2ax+a-5

(1)①拋物線的對稱軸為直線x=;(用含a的代數(shù)式表示)

②若x>3時，始終有y隨著x的增大而增大，求。的取值范圍；

(2)若。=2時，拋物線經(jīng)過點/(加-1,必),8(刃+2,%),試比較必和力的大小，并說明理由；

(3>的最小值隨著a的變化而變化，求函數(shù)值y的最小值中的最大值.

【答案】⑴①-。；②心-3；

(2)當〃?=一5時，%=必；當%>一,時，y2>yl；當”?<-g時，y2VM；

19

(3)函數(shù)值了的最小值中的最大值為.

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關知識，運用分類討論思想

是解題關鍵.

(1)①利用拋物線對稱軸公式即可求解；②由題意得在對稱軸直線x=r右側，始終有y隨著x的增大而

增大，據(jù)此列式計算即可求解；

(2)將點機-1,%),8(刃+2,%)代入，用機表示出％和%的值，再求差，分類討論求解即可；

(3)配方得y=(x+a)2-a?+"5,當x=-a時，,取得最小值，最小值為_/=-/+。-5,再配方，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：①對于拋物線y=/+2ax+a-5,對稱軸為直線x=-年=-。，

故答案為：

②;T>。，拋物線的開口向上，

??.在對稱軸直線x=-a右側，始終有夕隨著x的增大而增大，

???X=-Q?3,

?,?a>-3；

（2）解：當〃=2時，拋物線為y=M+4x—3,

將點Z（加—1,必）,8（加+2,%）代入得，

22

%=（加一+4（加一1）一3=加2+2加一6,y2=（m+2）+4（m+2j—3=m+8m+9,

y2—yx=（加之+8加+9）_（加2+2加—6）=6m+15,

當6機+15=0,即冽=一萬時，%=%；

當6加+15>0,即加>一/時，％〉外；

當6加+15<0,即加<—j時，為<必；

（3）解：配方得y=、2+2"+々一5=（X+Q）2一〃+〃一5,

vl>0,拋物線的開口向上，

.?.當％=一〃時，y取得最小值，最小值為了=—/+。一5,

由于V隨。的變化而變化，

酉己方得了=_Q2+Q_5=_[Q_：）—?，

v-l<0,拋物線的開口向下，

11Q

二當時，了取得最大值為

1Q

答：函數(shù)值V的最小值中的最大值為

13.（24-25九年級上?湖南衡陽?階段練習）如果關于x的一元二次方程辦2+8+。=0（270）有兩個實數(shù)根,

且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”.例如，一元二次方程無2+工=0的兩個根是

々=0,%2=-1,則方程/+苫=0是“鄰根方程”.

⑴通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①X2-X-6=0；②d-氐+1=0.

⑵已知關于x的一元二次方程X?-（左-3）x-3后=0"是常數(shù)）是“鄰根方程”，求左的值.

(3)若關于％的方程加/+加+2=0(m,〃是常數(shù)，相＞0)是“鄰根方程"，令￡=/—4加2,試求，的最大值.

【答案】(1)①不是，②是

(2)左=—2或左=—4

16

⑶了

【分析】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程''的定

義，

(1)根據(jù)解一元二次方程的方法求出已知方程的兩個根,再計算兩根的差是否為1,從而確定方程是否為“鄰

根方程”；

(2)先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出關于左方程，注意有兩種情況；

(3)根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1,列出加與〃的關系式，再由/=〃2一4/，得/與加的關系,

化簡即可.

【詳解】(1)解：①解方程一一苫一6=0得：%=3,%=-2,

???3-(-2)=5,

，_無一6=0不是“鄰根方程”；

②解方程尤2-&x+l=0得：再="+1,x2=—―-,

22

..Vs+1Vs—1

?-------------------=1,

22

/.x2-＞/5x+1=0是"鄰根方程”;

(2)解：由方程X?—(左一3)x—3左=0得(x+3)(x—左)=0,

解得：X]=k,x2=-3,

由于方程M—(左一3)x—3左=0是“鄰根方程”，

貝1]左一(一3)=1或一3—左=1,

解得左=-2或左=-4；

(3)解：解方程mx2+〃x+2=0得：x=~n~~~，

2m

;關于x的方程加工2+內(nèi)+2=0(加，〃是常數(shù)，加＞0)是“鄰根方程”,

.-n+-n-

,-------------------------------------------=1,

2m2m

整理得n2=m2+8m，

vt=n2-4m2,

416

t=-3m72+8m=一3(加一y)92+—,

當冽=:時，/有最大值

14.(24-25九年級上?江西新余?階段練習)數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的常用方法.例如：若x為實數(shù)，求式

子-4x+13的最小值.解法一■:設了=x、4x+13=(x-2)2+9.則當了的值最小時，式子-4x+13

的最小值，由二次函數(shù)的性質(zhì)知了的最小值為9,故式子-4x+13的最小值為3.

解法二：6—4X+13=J(x-2>+9=J(x-2)2+(0-3)2,該式子的值可以看成是平面直角坐標系中x

軸上一點4x,0)與點3(2,3)間的距離,因此當AB1x軸時,點、A、B間的距離最短且為3,；.式子正一以+13

的最小值為3.

(1)式子J,-2x+5的最小值是

(2)式子-2x+5+&-6x+25表示平面直角坐標系中x軸上一點A(x,O)到點3(1,2)、C(3,4)的距離之和,

該式子的最小值為二

(3)如圖，Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,點、D,E分別在邊2C,AC±,連接AD,BE,若

AE=CD=x,求/D+AE1的最小值，并直接寫出此時x的值.

A

匕

BDC

【答案】(1)2

(2)2710

25

(3)40+8E最小值為扃，》=/

【分析】(1)根據(jù)解法一*設y=/-2x+5=(x-iy+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得V的最小值為4,據(jù)此

求解即可；

(2)先把原式化為J(x-4+22+J(x-3)2+4”的形式,再根據(jù)材料結論即可得出結果；

(3)作8廠工/C于點尸，由勾股定理結合等積法求得跖和/月的長，再利用勾股定理求得

AD+BE=，再根據(jù)材料結論即可得出結果，利用待定系數(shù)法求得直線B'C

的解析式，據(jù)此可求得x=￡.

9

【詳解】(1)解：設y=x2—2x+5=(x-l『+4.

則當了的值最小時，式子Jf_2x+5的最小值,

<Q=1>0,

.??當％=1時，歹的最小值為4,

故式子J/-2工+5的最小值為2；

故答案為：2；

(2)解：Vx2-2x+5+Vx2-6x+25

=^(X-1)2+22+^(X-3)2+44，

如圖，建立平面直角坐標系，點4x,0)是x軸上一點，

則+2?+J(x-3)2+4“可以看成點4羽0)到點8(1,2)、C(3,4)的距離之和，就是求/B+/C的最小值.

作點8(1,2)關于x軸的對稱點為*(1,-2),則48=AB'，

因此，求HB+/C的最小值，只需求+的最小值，而點B、C間的線段距離最短，所以4B'+NC的

最小值為線段"C的長度.

為此，構造直角三角形C8'。，因為2'。=3-1=2,CD=4+2=6,

所以夕。=2而，即原式的最小值為2所.

故答案為：2^/16;

(3)解：作AF/NC于點尸，

AC=A/32+42=5，

S,ABC=^ABXBC=^ACXBF,即3x4=58尸，

;.BF=*AF=^AB2-BF2=|,

?；AE=CD=x,

9

BD=4—x,EF=m-x,

A.D+BE-

可以看成點4羽0)到點3(4,3)、C的距離之和，就是求/B+NC的最小值.

無軸的對稱點為夕(4,-3),^AB=AB',

因此，求/8+4C的最小值，只需求N*+/C的最小值，而點Q、C間的線段距離最短，所以/Q+/C的

最小值為線段"C的長度.

同理,=用，即原式的最小值為扃.

設直線B'C的解析式為y=kx+b,

一3=4左+b

由題意得《U3”解得

I55

???直線"c的解析式為》=-五x+y,

當好。時，一27丁+7石5=（）,

解得％=胃25.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì).解答此題的關鍵是根據(jù)題中

所給的材料畫出圖形，再利用數(shù)形結合求解.

15.（24-25九年級上?廣東廣州?階段練習）已知關于x的函數(shù)了=（左-2）尤2-3AX+5E,其中。為實數(shù).

⑴若函數(shù)經(jīng)過點（1,7）,求左的值；

⑵若函數(shù)圖像經(jīng)過點（1,M,（2,n）,試說明加"2-9：

⑶已知函數(shù)必=-2/-6-1,當24x43時，都有了2%恒成立，求人的取值范圍.

【答案】（1）3

（2）見解析

⑶'"一g

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握恒成立問題轉化為最值問題時解決本題的關鍵.

（1）將（L7）代入>=（左-2）/_36+5上得到關于左的方程，解方程即可;

（2）將點（1,加），（2,〃）代入〉=體一2）/_3依+5左，貝｝|〃機=（3k-2）（3左-8）=9后2-30左+16=（3k-5）2-9,

即可求證心*W-9；

2

（3）當2<x<3時，都有>2%恒成立轉化為了-必20恒成立，y-yi^kx-2kx+5k+l,令

t=kx2-2kx+5k+1,即當2Wx<3時，恒成立，即第n20成立即可，分類討論，k=Q,k>0,k<0,利

用函數(shù)的增減性進行分析即可.

【詳解】（1）解：若函數(shù)經(jīng)過點（1,7）,

將（L7）代入y=（k-2）x2-3kx+5k

得：k-2-3k+5k=~l,

解得：左=3；

（2）解：?.?函數(shù)圖像經(jīng)過點（1,M,（2,n）,

二將點（1,機），（2,〃）代入y=（左-2）/-3丘+5左

得：加=左一2—3k+5k-3k—2，

n=4（左一2）—3kx2+5k—3k—8,

mn=（3左一2）（3左一8）=9左2—304+16=（3左一5『一9,

???（3^-5）2>0,

...mn>—9；

(3)解：當24xW3時，都有了2乂恒成立轉化為了一乂20恒成立,

y——(k_2)12_3kx+5k—(_2x2_kx_1)=kx?_2kx+5k+1,

令￡=履2一2h+5左+1,即當2KxW3時，此0恒成立，

①當左=0時，％=120在2Wx43范圍內(nèi)恒成立，故符合題意；

②當后w0時，可求對稱軸為直線x=l,

當左〉0時，由于0<2Vx?3,

???在2KxK3范圍內(nèi)，V隨著工的增大而增大，

故%20在24xW3范圍內(nèi)成立即可，

.,?當％=2時，％min=4左一4左+5左+120,

解得：左之-!，

.?.左〉0；

當左<0時，由于0<2Wx43,

???在范圍內(nèi)，歹隨著了的增大而減小，

故。20在24x43范圍內(nèi)成立即可，

???當X=3時，4nin二9左一6左+5左+1之0,

解得：k>-\,

O

—《左<0

8f

綜上所述，kN-：.

O

A［經(jīng)典例題四二次函數(shù)中平移問題壓軸】

16.（24-25九年級上?山東濟寧?階段練習）已知拋物線￡：了=（工-1）2-4和。2：了=/

（1）如何將拋物線G平移得到拋物線G?

4

（2）如圖，拋物線G與x軸正半軸交于點/,直線y=+b經(jīng)過點/,交拋物線Q于另一點5,交了軸于

點C.請你在線段42上取點P,過點尸作直線尸。〃了軸交拋物線G于點。，連接N0.

①在拋物線G的對稱軸上是否存在一點使M4+MC最小，若存在，求出M的坐標，若不存在，請說

明理由.

②若/P=/。，求點尸的橫坐標.

【答案】（1）見解析

⑵①存在,"[1g];②g

【分析】1）將歹=（%-1）2-4向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，即得歹=/；（2）①求出

/（3,0）,代入y=-]X+6求得6=4,得到>=-§x+4,C（0,4）,當點M在NC上時，MA+MC=AC,最

小，當x=l時，尸|,得到河[,：）②設P。交x軸于點M尸[,-白+“，貝lJ0（x,/-2x-3）,根據(jù)

41

等腰三角形性質(zhì)得到PN=QN,得到X2_2X-3-§X+4=0,解得點P的橫坐標為

【詳解】（1）將G"=（X-1）2-4向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到C2:了=Y；

（2）①存在，理由：

當y=（x_l）2_4=0時，

X]——1,=3,

???4（3,0）,

4（3,0）代入丁=一：％+6,

4

得0=-y3+6,

???b=4,

4

...y=--X+4,c(O,4),

當點”在/C上時，

MA+MC=AC,最小，

,?,對稱軸為直線x=l,

4,8

y=——xl+4=一,

33

同1,|);

②設PQ交x軸于點N,尸[x,-gx+4

,?y=-1)_4—_2x_3,

Q^x,x2-2x-3),

當4尸=4。時，

-AN±PQf

:.PN=QN,

/.x2—2x—3+(—+4]=0,

解得X=g，或X=3(舍去)，

二點尸的橫坐標為:.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合.熟練掌握二次函數(shù)平移，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，是解決問題的關鍵.

17.(23-24九年級上?新疆巴音郭楞?階段練習)將拋物線弘=2/向右平移2個單位長度，得到拋物線％

(1)求力的函數(shù)解析式;

(2)設拋物線外的對稱軸交直線N=x于點P,求點P的坐標;

(3)設直線＞=x與拋物線外交于工、2兩點，求43兩點的坐標.

(4)0點是直線4B下方拋物線上一動點，求面積最大是多少？此時點。坐標是多少？

【答案】⑴%=2(X-2)2

⑵P(2,2)

⑶/廳丁,5了丁

(4”“陽有最大值里Z,此時點。的坐標為：

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，以及和一次函數(shù)的結合.

(1)根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)求解即可.

(2)先求出拋物線上的對稱軸為x=2,即點P的橫坐標為2,由尸點在V=x上即可得出點尸的坐標.

(3)聯(lián)立y=x和%=2(x-2『方程組求解即可得出48兩點的坐標.

⑷根據(jù)拋物線解析式設點。(加,2〃/一8加+8),過點。作。N〃y軸交與點N,則N?,句,求得

N0=-2機？+9機-8,即可列出SA”。關于"，的方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值和點坐標即可.

【詳解】(1)解：將拋物線％=2,向右平移2個單位長度，得到拋物線外,

貝1]%=2(X-2『=2X2-8X+8

(2)y2=2(x-2)~

???拋物線y2的對稱軸為x=2,

???拋物線力的對稱軸交直線V=X于點尸,

，P（2,2）.

y=%

（3）根據(jù)題意聯(lián)立方程

9+#79-V17

解得：x,X0—

x424

9+V179-717

(9-#79f9+V179+

A,B

44

(4)%=2(x-2『=2——8%+8,

9-V179+V17

設點。（加,2加2—8加+8）----------<m<----------