復(fù)數(shù)的幾何表示及三角表示 知識歸納與題型突破（11類題型清單）

專題02復(fù)數(shù)的幾何表示及三角表示知識歸納與題型突破

01思維導(dǎo)圖

I友蓑三角形式妁運算I［乘方|

02知識速記

知識點1復(fù)數(shù)的幾何表示

1.復(fù)數(shù)的幾何意義：

(1)復(fù)平面的定義

建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù),

除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義

①每一個復(fù)數(shù)都由它的實部和虛部唯一確定，當把實部和虛部作為一個有序數(shù)對時，就和點的坐標一樣,

從而可以用點表示復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

②若復(fù)數(shù)z=a+6i(a、bGR),則其對應(yīng)的點的坐標是(a,b),不是(a,bi).

③復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為始點的向量也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=〃+歷（〃、/?￡R）可以用點Z（m6）或向量0Z表示.

Oax

復(fù)數(shù)z=〃+Ai（〃、b￡R）與點Z（〃，。）和向量0Z的—對應(yīng)關(guān)系如下:

復(fù)數(shù)z=a+歷（ab￡R）

點Z（ab）-----------平面向量茂

2.復(fù)數(shù)的模：

（1）復(fù)數(shù)z=a+6i（a、bGR）對應(yīng)的向量為OZ,則。Z的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作團且|z|=Va2+b2

當b=0時，z的模就是實數(shù)a的絕對值.

（2）復(fù)數(shù)模的幾何意義

復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z=a+歷所對應(yīng)的點Z（a,份到原點（0,0）的距離.

由向量的幾何意義知，|Z1—Z引表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z1與Z2對應(yīng)的兩點之間的距離.

（3）模的重要性質(zhì)：①IzHTRxZI；②五=工；③閭―閭閆馬士ZzKM+R.

Z2lZ2j

3.復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)：（1）一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共物

復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)記作］.

復(fù)平面上兩點凡Q關(guān)于.r軸可稱u它們所對應(yīng)的更數(shù)相互共規(guī)

（3）共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

2-

①Z]±Z2=Z]±Z2；（2）ZjxZ2=ZjXZ2;（3）Z-Z=|z|=|z|-

4.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義:

zi、zi、Z3eC,設(shè)龍1、龍2分別與復(fù)數(shù)zi=a+歷，Z2=c+di（a、b、c、dGR）相對應(yīng)，且龍卜或不

共線

加法減法

幾何

O\X

意義a\x

復(fù)數(shù)的和Z1+Z2與向量龍1+復(fù)數(shù)的差ZLZ2與向量應(yīng)1一應(yīng)2=a1的坐標對應(yīng)

龍2=龍的坐標對應(yīng)

知識點2復(fù)數(shù)的三角表示

l.i2=l的幾何意義：

虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)：的幾何意義是：將復(fù)數(shù)：對

應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)90°.

2.旋轉(zhuǎn)任意角：

用CSa十認ina乘任意復(fù)數(shù)j其幾何意義是：將復(fù)

數(shù)，對應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角

3.復(fù)數(shù)三角表示：

(1)輻角：8是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)2=〃+歷的

輻角，記作argz=0.若6是z的一個輻角，則z的所有輻角argz=0+2A"(%為整數(shù))

(2)復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+歷都可以表示成《cosd+isinO)的形式，其中，廠是復(fù)

數(shù)z的模.

(3)兩個第數(shù)符=|w|<cos0Iisin/)，—Is:|(cosftfisin偽)相等的充分必設(shè)條件是

IziI=I?：I=0.或有I=|z?|>0且8="+2及冥.

4.復(fù)數(shù)三角形式的運算：

(1)乘法：設(shè)復(fù)數(shù)zi=n(cos0i+isin-),Z2=r2(cos仇+isin%)，且z#z?,

①ziZ2=n(cos01+isina)?r2(cosft+isin6i)=r\r2[cos(^i+0i)+isin(0i+02)]

即：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

②推廣：

*

zi?Zz....znr\r?>Tn_cos(ft?仇+…，伉)?認山(4+/+…+仇)]?

其中oGN,

③乘方：[r<oos0Iisin仍"廣(cwMisinnff).「「「、……棣莫佛公式

(2)除法：設(shè)復(fù)數(shù)zi=n(cosa+isin4)，Z2=r2(cos02+isin0i)9且zi先2,

Z1'(cos"+zsin4)r.

—[cos(4—02)+isin(仇—ft)].

z2r2(cos02+zsin02)丫2

即：兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)

的輻角所得的差.

03題型歸納

題型一復(fù)數(shù)用點、向量表示

【例1】（2324高一下?四川成都?期中）如圖所示，平行四邊形QA5C,頂點O,AC分別表示0,4+3i,-3+5i,

（D對角線CA所表示的復(fù)數(shù)；

（2）求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】（l）7-2i

（2）l+8i.

【知識點】復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)加減法幾何意義的運用、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】（1）先由向量運算得C4=OA-OC，再根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義直接轉(zhuǎn)成

復(fù)數(shù)減法運算即可得解.

（2）先由向量運算得OB=OA+Od，再根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義將向量加法運算轉(zhuǎn)

化成復(fù)數(shù)加法運算即可得解.

【詳解】⑴因為C4=Q4-OC，

所以C4所表示的復(fù)數(shù)為（4+3i）-（-3+5i）=7-2i.

（2）因為O3=OA+A8=OA+OC,

所以08所表示的復(fù)數(shù)為（4+3i）+（-3+5i）=l+8i,

即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+8i.

【變式1。（2324高一.上海.課堂例題）如果復(fù)平面上的向量.所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3+2i,那么向量區(qū)4所對

應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.3-2iB.3+2iC.-3+2iD.-3-2i

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示

【分析】根據(jù)向量、復(fù)數(shù)的坐標表示等知識求得正確答案.

【詳解】依題意，向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3+2i,對應(yīng)坐標為（-3,2）,

所以向量84對應(yīng)的坐標為（3,-2）,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-2i.

故選：A

【變式12】（湖南省部分學(xué)校20242025學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)z滿足

（2+i）（z-l）=2-4i,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限

【分析】由復(fù)數(shù)四則運算得到z,即可求解；

【詳解】由（2+i）（z-1）=2-4i,

mxBz_2-4i（2-4i）（2-i）10i_

可倚z一豆？+（2+i）（2-i）+1-1+亍一1一2】

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第四象限.

故選：D

【變式13］（2324高一?上海?課堂例題）設(shè)復(fù)數(shù)句=-4、zs=2i、zc=2-3i,z0=3+2i、z￡=-l-i.

（1）在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點A、B、C,D、E；

（2）在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量.

【答案】（1）圖象見詳解

（2）圖象見詳解

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的向量表示

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求點的坐標，進而可得圖象；

（2）根據(jù)共軌復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得相應(yīng)點的坐標，進而可得圖象.

【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)4=-4、Zs=2i、zc=2-3i、z0=3+2i、z￡=-l-i,

則A(yo),3(0,2),C(2,—3),0(3,2),E(—1,-1),

在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點，如圖所示:

斗

C(0,2)，.0(3,2)

a-4,0)________________

Ox

￡(-1/1)

.Q2.-3)

(2)因為復(fù)數(shù)4=-4、zB=2iyZc=2-3i、zD=3+2iz￡=-l-i,

則復(fù)數(shù)4=—4、zB=-2i>Zc=2+3i、zD=3—2i>zE=-1+i,

這些復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點分別為A(-4,0),片(O,-2)，G(2,3),A(3,-2)，4(-1,1),

ULUUL1UUUUUULlUUUL

這些復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量分別為OA，OBIQG，ODI，OEI,

在復(fù)平面上分別作出這些復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，如圖所示：

題型二根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點求參數(shù)

【例2】(2223高一下?江蘇南通?階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足z后=2,且z的虛部為1,z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)

的點在第一象限.

⑴求z；

(2)若z,z?在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A,B,O為坐標原點，求

【答案】(l)z=l+i；

(2)ZOAB=90.

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復(fù)數(shù)的向量表示

【分析】(1)設(shè)z代數(shù)形式，根據(jù)z-N=2解得z；

(2)先根據(jù)復(fù)數(shù)得向量AO,42的坐標，再根據(jù)向量夾角公式得結(jié)果.

【詳解】(1)^z=x+i(xeR),

因為z2=2,所以無?+1=2,得x=l或x=—1,

又z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，所以尤=1,

所以z=l+i；

(2)z2=(l+i)2=2i,

所以3(0,2),0(0,0),AO-(-1,-1),AB=(-1,1),

_AOAB_IT_

所以c°s/%2一|cli「方~~/7-0n,0<ZOAB<180，

A71O|x|Afi,2xA/2

所以NOA3=90.

【變式21](多選)(2425高一下?全國?課后作業(yè))(多選)若復(fù)數(shù)(1-0(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象

限，則實數(shù)。的值可以是()

A.1B.-2C.-3D.-4

【答案】BCD

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標的特點求參數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，求得對應(yīng)的點為(“+L1-“)，利用點在第二象限列不等式組求解即

可.

【詳解】因為z=(l-i)(a+i)=a+l+(l-a)i,所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為.

+1<0,

又此點在第二象限，所以，八解得a<T,結(jié)合選項可知BCD符合題意.

[1-<2>0,

故選：BCD

【變式22](2425高一下?全國?課后作業(yè))在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z="-2m-8)+(療+3m-10)i對應(yīng)的點：

分別求實數(shù)機的取值范圍.

(1)在虛軸上；

(2)在第二，四象限；

【答案】(1)相=—2或4.

(2)2<機<4或一5<相<一2.

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示、根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標的特點求參數(shù)

【分析】(1)根據(jù)已知得出實部和虛部進而根據(jù)點在虛軸上列方程求解；

(2)點在二四象限列不等式求解.

【詳解】⑴復(fù)數(shù)z=(4-2%-8)+(〃22+3〃2-101的實部為?22一2〃7_8,

虛部為〃『+3m_10.

由題意得加2—2/〃—8=0,解得加=-2或4.

(2)由題意，(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,:.2<m<4^~5<m<-2.

【變式23](2324高一下?陜西商洛?期末)已知機eR,復(fù)數(shù)z="-m-2)+(療+3〃z+2)i.

⑴若z為純虛數(shù)，求gzi+3-2i；

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求整數(shù)加的值.

【答案】⑴行;

(2)0和1

【知識點】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、求復(fù)數(shù)的模、根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標的特點求參數(shù)

【分析】(1)由z為純虛數(shù)，求出m的值，從而得到復(fù)數(shù)z,求解gzi+3-2i模長即可；

(2)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求出機的取值范圍，進而得到整數(shù)機的值即可.

【詳解】(1)由于復(fù)數(shù)z=(病—加—2)+(病+3a+2]為純虛數(shù)，

m2—m—2=0

所以<2，解得根=2,此時z=12i,

[m2+3m+2^0

|zi+3-2i=|-l-2i|=^/l+4=75

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，

,m2-m-2<0

則《解得一1v機v2,

m2+3m+2>0

故整數(shù)次的值有04.

題型三共朝復(fù)數(shù)及其運算

【例3】(2425高三上?河南周口?期末)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標為(6,1),三為z的共輾復(fù)數(shù)，則

|z-z|=()

A.0B.2C.2百D.4

【答案】B

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、共輾復(fù)數(shù)的概念及計算、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì)得到z-I=2i，再利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】由題意得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標為（迅,1）,

則依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得Z=A^+i,

而I為Z的共輾復(fù)數(shù)，故三=百-i,

則z_1=2i，由復(fù)數(shù)模的公式得卜-目=后=2,故B正確.

故選：B.

【變式31］（2324高一下.廣東廣州.階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=l-i,則其共舸復(fù)數(shù)W的模為（）

A.1B.-1C.J2D.—

2

【答案】A

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、共輾復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算得出z,再由模長公式得出共甄復(fù)數(shù)5的模.

1-i_(1-i)2l-2i-l

【詳解】

l+i-(l+i)(l-i)2

:.z=i,\z\=l

故選：A

【變式32］（2425高三上?黑龍江?期末）已知復(fù)數(shù)z=i（〃-i）,若天2-i）是純虛數(shù)，則實數(shù)。二（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【知識點】共輛復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】直接計算得到42-i）=（2-〃）+（-2a-l）i,再根據(jù)純虛數(shù)的定義得到結(jié)果.

［詳解］由于z=i(a-i)=1+ai,故z(2_i)=(l—ai)(2_i)=(2_a)+(_2a_l)i,所以2_〃=0W_2Q_1,解

得a=2.

故選：C.

【變式33］（2425高三上?上海嘉定?期中）已知復(fù)數(shù)Z=l+i,z?=2+3i,則z［+1=.

【答案】3-2i

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】求出復(fù)數(shù)Z2的共軌復(fù)數(shù)，然后用復(fù)數(shù)的運算法則求得4+z2的值.

【詳解】z2=2-3i,

Z]+z2=l+i+2—3i—3—2i.

故答案為：3-2i.

題型四共輾復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)特征

2

【例4】（2324高一下.山東青島.期末）已知復(fù)數(shù)z滿足一7=1-i,則5的虛部為（）

z+1

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【知識點】共軌復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的實部與虛部

【分析】先由復(fù)數(shù)的四則運算法則求出2=1再由共輾復(fù)數(shù)的概念表示出彳=7,即可求解.

2212(1+i)i：

【詳解】由題，—=貝Ijz=則

l-i.1-i(1-i)(l+i)z=-i,

故2的虛部為-1.

故選：A.

【變式41］（2425高二上?云南曲靖?階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)2=二，貝”的共輾復(fù)數(shù)的虛部是（）

1-1

A.-1B.iC.iD.1

【答案】A

【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的除法運算、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,進而求出其共軌復(fù)數(shù)的虛部.

【詳解】依題意，z=?+i）：?=J=i,所以三=_i，其虛部為T.

故選：A

【變式42］（2425高三下?北京?開學(xué)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)士的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、共軻復(fù)數(shù)的概念及計算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限

【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)，再判斷象限即可.

【詳解】設(shè)2=出=湍6=；+，，則2=3T，

復(fù)數(shù)N對應(yīng)的點為所以N對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：D.

【變式43](2425高三上嚀夏銀川?期末)已知復(fù)數(shù)z滿足(i-2)z=|3+4i|,則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、共軌復(fù)數(shù)的概念及計算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共輾復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)

論.

._____55(-2-i)

【詳解】因為(i—2)z=|3+4i|=J32+42=5,則z=三十]=+=一？7，

所以，]=_2+i，則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(-2,1),位于第二象限.

故選：B.

題型五求復(fù)數(shù)的模

【例5】(2425高三上?山西呂梁?階段練習(xí))若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=l-i2°25,則卜+2|=()

A.1B.V3C.2D.75

【答案】D

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的乘方、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運算求出復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)模的意義求解.

2

【詳解】由(l+i)z=l-i?02"得z=F(1-i)-2i

(l+i)(l-i)=T

所以|z+2|=|2-i|=j22+(-l)2=6

故選：D

【變式51](2024.浙江.一模)已知復(fù)數(shù)z=l-i(其中i是虛數(shù)單位)，貝咋()

A.2B.1C.72D.V10

【答案】C

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算、復(fù)數(shù)的乘方、共軌復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)z2+5,利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】因為z=l—i,則z2+W=(l_i)2+l+i=_2i+l+i=l-i,

所以產(chǎn)+』=戶由=也.

故選：C.

【變式52](多選)(2324高一下?青海?期末)已知復(fù)數(shù)z=(l-2i)(3-2i),則()

A.z=-l+8iB.|z>765

C.z的虛部是一8D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

【答案】ABC

【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、共輾復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】先化簡z=-l-8i,再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，共軌復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別判斷

各個選項即可.

【詳解】因為z=(l-2i)(3-2i)=3-2i-6i+4i2=-l-8i,

則彳=—l+8i,忖=：1+64=病,z的虛部是-8,

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-L-8),位于第三象限

故ABC正確，D錯誤.

故選：ABC.

【變式53](2324高一下.山東淄博?期中)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)="i「(i為虛數(shù)單位)，則z的共軌復(fù)數(shù)的虛

部是.

【答案】1

【知識點】求共輾復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)特征、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的實部與虛部

【分析】根據(jù)條件等式化解復(fù)數(shù)z,再求其共朝復(fù)數(shù)及其虛部.

_2_2(l-i)

【詳解】Z=

1+i1+i(l+i)(l-i)

所以5=l+i,所以z的共軌復(fù)數(shù)的虛部是1.

故答案為：1

題型六根據(jù)復(fù)數(shù)的模求參數(shù)

【例6】(2425高一上?上海?課后作業(yè))已知復(fù)數(shù)z=4+ai,且|z|<5,則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】(-3,3)

【知識點】由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

【分析】由題意|Z|="77<5,解不等式即可得解.

【詳解】因為z=4+ai,

所以|z|=^42+a2—y/16+a2<5,

所以16+Y<25,

即a2<9,

解得，—3<a<3.

故答案為：（-3,3）.

【變式61］（2425高三上?上海?期中）記i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z=l+biS>0）且忖=2,則復(fù)數(shù)z的虛部

為.

【答案】73

【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)模長的計算公式，即可求解.

【詳解】因為z=l+歷，忖=2,貝|再行=2,得到從=3,

又6>0,所以b=6，則復(fù)數(shù)z的虛部為石，

故答案為：6

【變式62］（2425高一上?上海?隨堂練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=4+ai（aeR）,且|z|<6,則實數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】卜2君,26）

【知識點】由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

【分析】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義求解不等式.

【詳解1z=4+ai,則|z|=而7<6,解得（-2布,2國.

故答案為：卜26,2石）.

【變式63］（2324高一下?江蘇?期末）滿足忖=1且z?=z的復(fù)數(shù)z=.

【答案】1

【知識點】復(fù)數(shù)的相等、求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的乘方

【分析】設(shè)z="+歷,a,"cR,由忖=1得儲+/=1,由z2=z可得二"，計算并檢驗求得即

11[2ab=b[匕=0

得z=1.

【詳解】設(shè)z=a+歷,a力eR,由|z|=1可得/+廿=1，

由z?=z可得（。+歷）2=a+bi,即a2—b2+2abi=a+歷，

a2—b2=aa=la=0

則，解得6=0或

2ab=bb=0

\a=0

顯然，c不滿足/+〃=1,應(yīng)舍去，故z=l.

[6=0

故答案為：1.

題型七與復(fù)數(shù)模相關(guān)的圖形、軌跡

【例7】(2425高一下?全國?課堂例題)已知zeC,指出下列等式所表示的幾何圖形.

(l)|z+l+i|=l；

(2)|z-l|=|z+2i|.

【答案】⑴表示以-1-i對應(yīng)的點(-LT)為圓心，1為半徑的圓.

(2)表示以點(1,0),(0,-2)為端點的線段的垂直平分線.

【知識點】與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，即可求解.

【詳解】(1)|z+l+i|=|z-(-l-i)|=L

則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓；

(2)|z-4的幾何意義表示以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與(1,0)之間的距離，

|z+2i|=|z-(_2i)]的幾何意義表示以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與(0,-2)之間的距離，

所以|z-11=|z+2i|表示以點(1,0),。-2)為端點的線段的垂直平分線.

【變式71](2425高一下?全國?課后作業(yè))已知復(fù)數(shù)z滿足|z「-3忖-4=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什

么圖形()

A.一個圓B.線段C.兩點D.兩個圓

【答案】A

【知識點】與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題、求復(fù)數(shù)的模

【分析】解方程求出|z|,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】|Z|2-3|Z|-4=0,

.-.(|z|-4)(|z|+l)=0,

.,?|z|=4=舍去)，

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以原點。為圓心，以4為半徑的一個圓.

故選：A.

【變式72](2324高一下.甘肅酒泉.期末)已知復(fù)數(shù)z的模為2,則|z-i|的最大值為.

【答案】3

【知識點】與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題

【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義，求出|z-i|的最大值.

【詳解】復(fù)數(shù)z的模為2,表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點。的距離為2,

則點Z的軌跡是以原點。為圓心，2為半徑的圓，

而|z-i|是圓。上的點到點(0,1)的距離，

所以|z—iL=2+1=3.

故答案為：3

【變式73](2425高一下?全國?課前預(yù)習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6wR),1旦z|V2,則|z+l|的取值范圍

是.

【答案】[0,3]

【知識點】與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題、求復(fù)數(shù)的模

【分析】運用復(fù)數(shù)模長的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可解.

【詳解】由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義可知，14z|<2表示如圖所示的圓環(huán)，

而Iz+11表示復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點A(a,6)與復(fù)數(shù)4=-1的對應(yīng)點B(-l,0)之間的距離，

即圓環(huán)內(nèi)的點到點8的距離d.

由圖易知當A與B重合時，心?=。，當點A與點C(2,0)重合時，<x=3,.-.0<|z+l|<3.

故答案為：[0,3].

題型八復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

【例8】（2024高一下.全國?專題練習(xí)）（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點心（和必）,

Z2（%，%）之間的距離.

（2）求復(fù)平面內(nèi)下列兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離:

①Z[=2+i,z2=3—i；

@z3=8+5i,z4=4+2i.

【答案】（1）-Xi）?+（%-%）2（2）①布;②5

【知識點】復(fù)數(shù)加減法幾何意義的運用、求復(fù)數(shù)的模

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的幾何意義化簡，找到對應(yīng)向量，求解向量的模即可.

（2）找到對應(yīng)的點坐標，再利用兩點間距離公式求解即可.

【詳解】（1）因為復(fù)平面內(nèi)的點4（不/），Z2（x2,y2）

對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z1=玉+用，z2=x2+y2i,

所以點Z1,Z2之間的距離為

,41=|ZjZ2|=|z2-zj=|(x2+%i)—(演+yj)]

=|(%f)+(%f)i|

22

=A/(x2-x1)+(j2-y1).

(2)①易知％對應(yīng)的坐標為(2,1),Z2對應(yīng)的坐標為(3,-1),設(shè)兩點間距離為d,

由兩點間距離公式得d="（3_2）2+（_]_l）2=jF+（_2）2=亞；

②易知Z3對應(yīng)的坐標為（8,5）,Z4對應(yīng)的坐標為（4,2）,設(shè)兩點間距離為d,

由兩點間距離公式得d=J(4-8)2+(2-5)2=J(T)2+(-3)2=5.

【變式81](多選)(2425高一下?全國?課后作業(yè))(多選)在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形Q4BC,點。為坐

標原點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z=l+i,點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zz=l+2i,點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z3,則下列結(jié)論正確

的是()

A.Zj-z2=—iB.點C位于第二象限

ZD.|-Z|=|AC|

c.Z1+Z3=2Z13

【答案】ACD

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示、求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法幾何意義的運用

【分析】運用復(fù)數(shù)的加減運算規(guī)則，結(jié)合幾何意義和模長概念畫出表格計算判斷即可.

【詳解】

AZ1~Z2=l+i-l-2i=-i

由題意得0(0,0),A(L1),2(1,2),因為四邊形QA5c為平行四邊

ULUUUUU

BX形，則OC=AB=(0,l),所以C(0,l),所以Z3=i，點C位于虛軸

上

C

如圖，Z],z2,Z3對應(yīng)的向量分別為3,OB，OC，貝I

UULUUIUUL1U?ill

zZZAC

OA+OC=OB-OA-OC=CA,Zi+z3=2)\I-3\=\\

D

-1o\1^

故選：ACD.

【變式82](2324高一下?四川樂山?期中)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3+2i,-2+3i對應(yīng)的向量分別是04QB，其中。

是坐標原點，則向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

【答案】-5+i

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標表示、復(fù)數(shù)加減法幾何意義的運用、復(fù)數(shù)的向量表示

【分析】運用復(fù)數(shù)幾何意義，結(jié)合平面向量減法運算可解.

【詳解】復(fù)數(shù)3+2i,-2+3i對應(yīng)的向量分別是OAOB,則OA=(3,2),OB=(-2,3)

卻=OE-OA=(-5,1).則向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+i.

故答案為：-5+i.

【變式83](2024高一下?全國?專題練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z/2滿足㈤=兇=3,且區(qū)―港=3匹,

求|zi+Z21.

【答案】3拒

【分析】

設(shè)。4對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z?,利用向量運算和復(fù)數(shù)的向量表示可解.

【詳解】設(shè)。4對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4，。2對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z?,

則OA+OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+z?,OA-OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2，

因為聞=區(qū)|=3,且171gz=3板,

所以A03為等腰直角三角形，且|區(qū)4卜3五.

作正方形AOBC,如圖所示，

zz

則OA+OB=OC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為i+2,故忖+z2|=|oc|=|BA|=372.

題型九復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化

【例9】(2324高一?上海?課堂例題)把下列復(fù)數(shù)用三角形式表示：

(1)4一4i；

⑵-3右一3i；

//、?兀?兀

(3)sin—+1COS—；

88

(4)cos—+isin—.

77

【答案】(1)4A/2^cos+isin

J7K..7兀)

(2)61cos—+isin-^-I

°、3K..3兀

(3)cos--Fisin——

88

/八13K..13K

(4)cos+1sm

【知識點】復(fù)數(shù)的三角形式

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的知識求得正確答案.

【詳解】(1)4-4i=4應(yīng)4-率=4可cos與+isi吟

(2)-35/3-3i=3(->/3-i)=6-孚-匕=6(cos—+isin—

X，'

【變式91］（2425高一上?上海?課堂例題）計算，并用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示計算結(jié)果:

［父女］（］）—^30+3^/10+A/30.

44

⑵一封

3

【知識點】復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示

【分析】（1）（2）運用復(fù)數(shù)的三角形式表示，并按照乘除規(guī)則計算即可.

【詳解】（1）石［cos：+isin口石（cos^+isin胃

5兀..5兀

cos-----Fisin——

3710-7301

3兀..3兀

-----Fism——

3兀..3兀

-----Fism——

也713兀

+isin

V34-T

【變式92](2425高一上?上海?隨堂練習(xí))把下列復(fù)數(shù)用三角形式表示.

⑴3；

⑵-2i；

(3)l+i；

(4)-l+V3i.

【答案】(I)3(cos0+isin0)

J37r..3兀)

(2)21cosy+isinyI

⑶血卜。s：+isin

J2兀..2兀、

(4)21cosy+isinyI

【知識點】復(fù)數(shù)的三角表示

【分析】由復(fù)數(shù)的三角形式表示的概念可得解.

【詳解】(1)由復(fù)數(shù)的三角形式表示為z=a+bi=r(cos9+isin。)，且廠=目=y/a2+b2,且加「小。,b=rsmO,

r=3

丫二3

又4=3,所以3=rcos8,解得

0=0

0=rsin^

所以z=3(cos0+isin0)；

2

TOr=2

(2)由z?=_2i,所以0=rcos0,解得

-2=rsin。2

所以Z?=2卜os告+isin1]；

22

r=5/l+l=V2

(3)由Z3=l+i,所以＜1=rcosO，解得

1=廠sin。

71..71]

所以Z3=—+1sin—?

44

=2r=2

(4)由Z4=—l+百i,所以，-1二rcos6，解得。=如

M=rsin。3

(2兀2兀

所以Z4=2卜os§+isiny-

【變式93](2425高一下?全國?課后作業(yè))已知實數(shù)。＞0,寫出下列復(fù)數(shù)的三角表示.

⑴。；

⑵山；

(3)-。；

(4)-ai.

【答案】(I)6z(cos0+isin0)

(兀..兀

(2)^1cos—+isin—

(3)tz(cos7t+isin兀)

(3兀..3兀

(4)6zlcos—+isin—

【知識點】復(fù)數(shù)的三角表示

【分析】(1)(2)(3)(4)根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義直接求解即可

【詳解】(1)復(fù)數(shù)。(。＞0)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為〃+0-i,其輻角為0,

復(fù)數(shù)a的三角形式為z=a(cos0+isin0)；

TT

(2)復(fù)數(shù)出(a＞0)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為0+a-i,對應(yīng)的點在＞軸正半軸上，其輻角為；,

2

兀..兀

復(fù)數(shù)出的三角形式為Z=。cos—+isin—

22

(3)復(fù)數(shù)-。(?>0)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a+O-i,對應(yīng)的點在x軸負半軸上，其輻角為兀，

復(fù)數(shù)一。的三角形式為z=<7(cos7i+isin7i)

3兀

(4)復(fù)數(shù)-ai(。>0)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為O-a-i,對應(yīng)的點在>軸負半軸上，其輻角為二,

2

復(fù)數(shù)-0的三角形式為2=。.(。5萬3兀+1$苗3兀?)；

題型十復(fù)數(shù)三角形式的乘法(方)

【例10](2425高一上?上海?課堂例題)計算：

(1)-J5fcos—+isin—^-1；

(2)(73-i)12.

【答案】⑴-20

(2)4096

【知識點】復(fù)數(shù)的三角表示、三角表示下復(fù)數(shù)的乘方與開方

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方運算法則計算即得；

(2)將嘉的底數(shù)6-i化成三角形式，再利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方運算法則計算即得.

【詳解】(1)[A/2(cos+isin^)]3=(\/2)3(cos7t+isinji)=-2^2.

(2)(^-i)12=[2(cos—+isin—)]12=212(COS22TI+isin227i)=212=4096.

66

【變式101](2324高一下?河南安陽?階段練習(xí))法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

[r(cos6+isine)]"=r"(cos〃e+isin〃e)(neZ),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則(1+i廣4=()

A.1B.21012C.-21012D.21012i

【答案】B

【知識點】復(fù)數(shù)的三角表示

【分析】化為三角形式，根據(jù)棣莫弗定理求解.

【詳解】(1+獷°"=亞(cos：+isin：]=*[cos^F^+isin"FB=2""2.

故選：B

2"尹is嗚)

【變式102](2425高一上?上海?課后作業(yè))計算:

【答案】-J_+Wi

3232

【知識點】復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示

【分析】利用三角形式的復(fù)數(shù)乘法、除法、乘方運算法則求解即可.

【詳解】因為2cos—+isin—

33

1

71..兀、]

2cos—+isin—

33〃

1

24cos—7t+isin—

I33

cosO+isinO

1/4兀..4兀、

locos-----Fisin—?

I33)

3232

【變式103］（2324高一.上海.課堂例題）設(shè)復(fù)數(shù)-3-4,在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量是0Z,將0Z繞原點。順

時針旋轉(zhuǎn)810。得到向量OZ'求向量OZ，所對應(yīng)的復(fù)數(shù).（結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示）

【答案】4-3i