第26講 互斥事件和獨(dú)立事件（原卷版）

第26講互斥事件和獨(dú)立事件目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率。2.隨機(jī)事件的獨(dú)立性：結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義。結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率。1.通過(guò)事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對(duì)立事件的概念.2.在具體情境中，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；能利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。3.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系；能初步利用概率知識(shí)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的概率問(wèn)題；了解隨機(jī)模擬的含義，會(huì)利用隨機(jī)模擬估計(jì)概率。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01互斥事件和對(duì)立事件1.互斥事件的定義對(duì)于事件A和事件B，若AB=?，即事件A與B不可能發(fā)生。這時(shí)，我們稱(chēng)A，B為。2.對(duì)立事件的定義對(duì)于事件A和事件C，若AC=?，并且A+C=Ω，即互斥事件A，C中必有發(fā)生。這時(shí)，我們稱(chēng)A，C為，記作或?！疚Ⅻc(diǎn)撥】若兩個(gè)事件對(duì)立，則這兩個(gè)事件是互斥事件；反之，若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件未必是對(duì)立事件。對(duì)立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是對(duì)立事件，則事件A與事件B互斥，而且A∪B是必然事件。3.概率的加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的，即P(A+B)=。(2)互斥事件可以推廣到n個(gè)事件的情形(n∈N，n>2)：如果事件中任何兩個(gè)事件都是互斥事件，那么稱(chēng)事件兩兩互斥。如果事件，兩兩互斥，那么。4.隨機(jī)事件的概率的其他常用性質(zhì)（1）（2）當(dāng)A?B時(shí)，；（3）當(dāng)A，B不互斥時(shí)，?！疚Ⅻc(diǎn)撥】(1)概率的加法公式的應(yīng)用前提是“事件A與事件B互斥”，否則不可用.對(duì)立事件的概率公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用。(2)當(dāng)一個(gè)事件的概率不易直接求出，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式，即可使用間接法求概率?！炯磳W(xué)即練1】如圖，隨機(jī)事件A，B互斥，記分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么（）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．與一定互斥 D．與一定不互斥知識(shí)點(diǎn)02相互獨(dú)立事件1.相互獨(dú)立事件的定義一般地，如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，那么稱(chēng)A，B為事件。事件A，B相互獨(dú)立。2.性質(zhì)：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，與也相互。3.獨(dú)立事件可以推廣到n個(gè)事件的情形(n∈N，n>2)。一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么4.相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率為P(A)，P(B)，將A，B中至少有一個(gè)發(fā)生記為事件A+B，都發(fā)生記為事件AB，都不發(fā)生記為事件恰有一個(gè)發(fā)生記為事件，至多有一個(gè)發(fā)生記為事件。概率A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A+B)P(AB)0P(A)+P(B)1【即學(xué)即練2】已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01互斥事件概率的加法公式【典例1】進(jìn)行垃圾分類(lèi)收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)?經(jīng)濟(jì)?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類(lèi)知識(shí),某學(xué)校舉行了垃圾分類(lèi)知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率為.(1)求的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；(2)試求兩人答對(duì)的題數(shù)之和為3的概率.考法02獨(dú)立事件的乘法公式【典例2】11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．已知甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行11分制乒乓球比賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球?假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求事件“兩人又打了2個(gè)球比賽結(jié)束”的概率：(2)求事件“兩人又打了4個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝”的概率．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件與對(duì)立事件含義相同B．互斥事件一定是對(duì)立事件C．對(duì)立事件一定是互斥事件D．對(duì)立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件2．下列各組事件中，是對(duì)立事件的是（

）A．一名射手在一次射擊中，命中環(huán)數(shù)大于6與命中環(huán)數(shù)小于8B．統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．?dāng)S一枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與向上點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)D．某人連續(xù)投籃三次，恰有兩次命中與至多命中一次3．采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計(jì)算機(jī)給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為（

）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.754．已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．5．某單位入職面試中有三道題目，有三次答題機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止.若求職者小王答對(duì)每道題目的概率都是，則他最終通過(guò)面試的概率為（

）A． B． C． D．6．從m名男生和n名女生中任選3人去參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為，那么所選3人都是男生的概率為_(kāi)_____.7．若，為互斥事件，，，則______.8．若事件A、B是對(duì)立事件，則______.9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出粒都是黑子的概率是，從中取出粒都是白子的概率是，則從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.10．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿(mǎn)100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得．1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)，其余均為不中獎(jiǎng)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為，，，求：(1)事件，，的概率；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．題組B能力提升練1．若甲?乙?丙在10分鐘之內(nèi)獨(dú)立復(fù)原魔方的概率分別為，則甲?乙?丙至多有一人在10分鐘之內(nèi)獨(dú)立復(fù)原魔方的概率為（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.352．袋內(nèi)分別有紅?白?黑球個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè)3．已知事件A與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．4．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有1個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球C．至少有1個(gè)黑球與都是紅球 D．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球5．現(xiàn)有7名世界杯志愿者，其中，，通曉日語(yǔ)，，通曉韓語(yǔ)，，通曉葡萄牙語(yǔ)，從中選出通曉日語(yǔ)、韓語(yǔ)、葡萄牙語(yǔ)志愿者各一名組成一個(gè)小組，則，不全被選中的概率為_(kāi)_____．6．甲、乙、丙三名同學(xué)將參加2023年高考，根據(jù)高三年級(jí)半年來(lái)的各次測(cè)試數(shù)據(jù)顯示，甲、乙、丙三人數(shù)學(xué)能考135分以上的概率分別為，和.設(shè)三人是否考135分以上相互獨(dú)立，則這三人在2023年高考中至少有兩人數(shù)學(xué)考135分以上的概率為_(kāi)____________.7．某小組有3名男生和2名女生，從中任選出2名同學(xué)去參加演講比賽，有下列4對(duì)事件：①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生，③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生，其中為互斥事件的序號(hào)是__．8．袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是.求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？9．在一個(gè)不透明的盒子里裝有大小、質(zhì)地完全相同的球12個(gè)，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1個(gè)球.記事件A為“取出的球?yàn)榧t球”，事件B為“取出的球?yàn)楹谇颉?，事件C為“取出的球?yàn)榘浊颉保录﨑為“取出的球?yàn)榫G球”.求:(1)“取出的球?yàn)榧t球或黑球”的概率;(2)“取出的球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率.10．某校團(tuán)委舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.題組C培優(yōu)拔尖練1．從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B=“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C=“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．A與C互斥 B．B與C互斥C．A、B、C兩兩互斥 D．A與B對(duì)立2．已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對(duì)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立3．（多選題）下列對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（

）A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B．已知集合，，集合中任取一個(gè)元素，則該元素是集合中的元素的概率為C．甲袋中有個(gè)白球，個(gè)紅球，乙袋中有個(gè)白球，個(gè)紅球，從每個(gè)袋子中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是4．（多選題）設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．5．2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購(gòu)買(mǎi)，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購(gòu)買(mǎi)，若甲?乙2人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，丙購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為_(kāi)__________.6．甲?乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲?乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為_(kāi)__________.7．為了紀(jì)念2017年在德國(guó)波恩舉行的聯(lián)合國(guó)氣候大會(huì)，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽》活動(dòng)．某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問(wèn)題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．8．為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.9．某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類(lèi)推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立.(1)求比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率；(2)求甲獲得比賽勝利的概率.10．第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國(guó)成都舉辦，國(guó)球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽