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文檔簡介
數(shù)列(新定義)壓軸強化訓(xùn)練【27道】
1.(24-25高二上?福建龍巖?期中)已知數(shù)列{%}的前”項和數(shù)列也}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)歹U,
67+4=8(64+65),且4=2.
⑴求應(yīng)}和0}的通項公式;
為奇數(shù)
(2)設(shè)=<"M2,數(shù)列上}的前〃項和為證明:北“〈生.
巴為偶數(shù)18
2b,
2.(24-25高三上?山東?期中)將〃2個實數(shù)排成〃行〃列的數(shù)陣形式如下;
⑴當〃=7時,若每一行每一列均構(gòu)成等差數(shù)列,且%4=5,求該數(shù)陣中所有數(shù)的和/;
⑵若%>0(i"=l,2,…,且每一行均為公差相同的等差數(shù)列,每一列均為公比為4的等比數(shù)列,已知弓=1。,
25=18,a46=88,設(shè)$=%+%2+…+?!薄?,求S的值.
2
3.(24-25高三上?天津河西?期中)設(shè){%}是等比數(shù)列,公比大于0,也}是等差數(shù)列.已知%=1,%=%+2,%=&+&,
。5=a+2b6.
⑴求{a'}和也}的通項公式;
a”(b“-2)-1
(2)設(shè)的=,數(shù)列{c“}的前〃項和為求7;的值;
(。“+1),(。角+1)
b”,n^2k,2"
⑶設(shè)dn=<4(log2“+l),〃=2:其3,求
Z=1
3
4.(2024?浙江臺州?一模)對于無窮數(shù)列{g}和如下的兩條性質(zhì):4:存在實數(shù)彳>0,使得ViJeN*且,<九都
有叫£:任意iJeN*且任九都存在meN*,使得%=2。?
(1)若%="+1,”eN*,判斷數(shù)列{%}是否滿足性質(zhì)耳,并說明理由;
n
⑵若不<,2<???<,"<???&eN*“=1,2,3,…),且數(shù)列也}滿足任意〃eN*,a=%,則稱也}為數(shù)列{%}的一個子數(shù)
列.設(shè)數(shù)列{%}同時滿足性質(zhì)6和性質(zhì)5.
①若%=1,%=5,求生的取值范圍;
②求證:存在{%}的子數(shù)列為等差數(shù)列.
4
5.(24-25高三上?天津濱海新?階段練習)設(shè)數(shù)列{為}的前"項和為S.,若對任意的〃eN*,都有邑“=后”(左為非
零常數(shù)),則稱數(shù)列{與}為''和等比數(shù)列,”其中左為和公比.若{"J是首項為L公差不為0的等差數(shù)列,且{“}是"和
等比數(shù)列,"令c'=玄,數(shù)列{c.}的前”項和為T?.
(1)求{bn}的和公比;
(2)求用;
⑶若不等式Tn-言學>(-l)-m-2對任意的口eN*恒成立,求掰的取值范圍.
5
6.(24-25高三上?北京?期中)設(shè)正整數(shù)數(shù)列{%}滿足.=旨'%為偶數(shù)力eN*.
%+5,%為奇數(shù)
(1)若&=L請寫出/所有可能的取值;
(2)記集合M二{%|〃EN*},且%不是5的倍數(shù),求證:
⑶存在常數(shù)T,對于V〃EN*者R有%+7=?!ǎ?所有可能的取值.
6
7.(24-25高二上?福建龍巖?期中)已知數(shù)列{氏}滿足%=1,-數(shù)列也}滿足々=2,b?+l=2h?.
an+lan磯〃+1)
⑴求應(yīng)},0}的通項公式;
(2)設(shè)=anbn,求數(shù)列{c〃}的前〃項和T”;
⑶若滿足不等式絲包的正整數(shù)〃的個數(shù)為3,求優(yōu)的取值范圍.
8.(24-25高三上,江蘇泰州?期中)已知數(shù)列{0“}為等差數(shù)列,公差前〃項和為S“,的為《和%的等比中項,
7
sn=⑵.
⑴求數(shù)列{%}的通項公式;
⑵是否存在正整數(shù)冽,〃(3<加<〃),使得工,—,‘成等差數(shù)列?若存在,求出加,〃的值;若不存在,請說
〃3。加%
明理由;
〃+i19
(3)求證:數(shù)列£±<土
i=2E3
9.(24-25高三上?重慶?階段練習)已知數(shù)列{〃“}的前〃項和為S〃,滿足2S〃+「S“=2嗎=1.
8
⑴求{〃“}的通項公式;
⑵若數(shù)列低},{,“}滿足6.=-21og2%c"=",{c“}的前”項和為T“,若不等式7;一22北對一切正整數(shù)〃恒成
an
立,求力的取值范圍.
10.(24-25高二,上海,隨堂練習)在當前市場經(jīng)濟條件下,某服裝市場上私營個體商店中的商品所標價格°與其實
際價值之間存在著相當大的差距.對購物的消費者來說,這個差距越小越好,而商家則相反,于是就有消費者與
9
商家的‘討價還價;‘常見的方法是“對半還價法,"消費者第一次減去定價的一半,商家第一次討價加上二者差價的一
半;消費者第二次還價再減去二者差價的一半,商家第二次討價,再加上二者差價的一半,如此下去,可得下表.
次數(shù)消費者還價商家討價
71ci=4+-(a-b)
第一次b,=—al
12
c2=b2+;(q—4)
第二次b2=9—g(q—乙)
A=C2--(C2-%)
第三次C3=,3+—(C2-仄)
第〃次=%-/(%-%)Cn=3+/(%-6〃)
消費者每次的還價”僅eN*)組成一個數(shù)列{%}.
⑴寫出此數(shù)列的前三項,并猜測通項”的表達式;
⑵若實際價格b與定出a的價格之比為6=0.618:1,利用“對半還價法”討價還價,最終商家將能有百分之幾的利
潤?
11.(2025,廣東深圳,一模)若一個數(shù)列從第二項起,每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一個等差數(shù)列,則稱這
個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列,"已知數(shù)列{%}是一個二階等差數(shù)列,其中q=1,%=3,%=6.
⑴求知及{%}的通項公式;
10
R/7—4〃
(2)設(shè)演”]〃求數(shù)列也}的前〃項和S“
-4n-1
12.(24-25高三上?湖南岳陽?開學考試)有〃"”24)個正數(shù),排成〃行〃列的數(shù)表:其中與表示位于第z?行,第j
列的數(shù),數(shù)表中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等,已知%=1,
8
11
a\\ana\3。14…a\n
。21a?2出3。24,,,a2n
。31a32a33。34…。3n
。41。42443。44…
an2an3〃〃4…ann)
⑴求公比.
⑵求〃]]+%+…+ann-
13.(2025?四川巴中?模擬預(yù)測)已知數(shù)列{%}的首項%=;,且滿足。,用=
(1)證明:數(shù)列1]為等比數(shù)列;
⑵若—I-----1-------1-----1<50,求滿足條件的最大整數(shù)〃.
Q]n
12
14.(24-25高三上?湖南,階段練習)已知等差數(shù)列{為}的前〃項和為S“,b^a,tan+l-2Sn.
⑴求證:數(shù)列也「bn}是等差數(shù)列;
⑵若%>0,%。的,且{2}是等差數(shù)列,求證:"-+-%-T---1--——<1---.
a2a3。3。4anan+\。2
13
15.(2025,黑龍江齊齊哈爾?一模)已知公差d不為0的等差數(shù)列{叫的前"項和為S.,%=6,委=二
13
⑴求{〃“}的通項公式;
⑵令4=2%+12,記7;為數(shù)列{,}的前〃項和,若7;22024,求〃的最小值.
16.(24-25高三上?山東青島?期中)如果正項有窮數(shù)列4,生,…,〃掰滿足力,。加=1,24—1=1,…,即
a;.flm;+,=l(z-=l,2,...,m),我們稱其為"1的對稱數(shù)列,"例如:數(shù)列2,3,1,;與數(shù)列3,2,1,1,(都是“1的
對稱數(shù)列”.
(1)設(shè)低}是項數(shù)為8的“1的對稱數(shù)列:其中4也,“也是等差數(shù)列,且"=4,"=8,請依次寫出也,}的每一項;
14
⑵設(shè)數(shù)列{c“}是13項的“1的對稱數(shù)列,”其中是等比數(shù)列,c,-c5=15,c2-c4=6,求數(shù)列{c“}的所有項和S
的最小值;
⑶設(shè)數(shù)列{"“}是2m項的“1的對稱數(shù)列,"數(shù)列前加項的通項公式為d“="2+〃,求數(shù)列{"“}的前〃項和邑.(注:
12+22+...+"2="("+1)伽+1))
6
17.(24-25高三上?山東泰安?期中)數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法,通常被用于證明某個給定的命題在整個(或
者局部)自然數(shù)范圍內(nèi)成立,證明分為下面兩個步驟:L證明當〃=〃。(%eN)時命題成立;2.假設(shè)〃=笈
leN,且左2%)時命題成立,推導(dǎo)出在〃=《+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從"。開
始的所有自然數(shù)"都成立.已知有窮遞增數(shù)列{%},%=-1,%>0,〃eN*且〃23.定義:集合
15
A=\^x,y)\x=at,y=ap\<i,j<n,i,jeN'|,若對V(X1,yJe/,三億,為)€力,使得占馬+.“%=0,則稱{氏}具有
性質(zhì)T
⑴若數(shù)列.1,1,2,m(w>2)具有性質(zhì)7,求實數(shù)加的值;
⑵若{a“}具有性質(zhì)T,且%=1,%=2,
(i)猜想當〃22時{為}的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明你的猜想;
325"+1/、
(li)—+—+—++H(n-l)a?(“22)■
2a23%12%
18.(24-25高二上,江蘇徐州?期中)已知數(shù)組N“:q,%,a"和8":4,%,…,bn,若且%+初廣&+%]
(后=2,3,?),則稱紇為4的“應(yīng)聯(lián)數(shù)組
⑴寫出數(shù)組4:4,3,1的“應(yīng)聯(lián)數(shù)組”反;
⑵若4的"應(yīng)聯(lián)數(shù)組''是為,證明:4,的,《成等差數(shù)列;
16
⑶若”為偶數(shù),且4的“應(yīng)聯(lián)數(shù)組”是5,求證:….
19.(24-25高二上,江蘇鎮(zhèn)江?期中)已知數(shù)列{叫滿足%+&+…+a“=2"-a"("eN*).
(1)求生+&+。3的值;
⑵求證:數(shù)列{log,&-2|}是等差數(shù)列;
2
⑶令6“=(277-1)(2-%乂力eN*),如果對任意”N*,都有求實數(shù)/的取值范圍.
17
20.(24-25高三上河南?期中)設(shè)有窮數(shù)列也}的項數(shù)為加,若她用_,=。(。為常數(shù),且。H0』=1,2,3,-一,機),則
稱該數(shù)列為等積數(shù)列,a叫做該數(shù)列的公共積.
(1)若1也也,2,4是公共積為。的等積數(shù)列,求該數(shù)列的公共積。及&A;
(2)若低}是公共積為。的等積數(shù)列,且/_.=cJeN*且為常數(shù)),證明:當m=4r+2(reN*)時,對任
18
意給定的”,C,數(shù)列也,}中一定存在相等的兩項;
⑶若也}是公共積為1的等積數(shù)列,且0<也.<々+](7=1,2,3,…,加T),以是奇數(shù),對任意的々,巧“"^加;I加都
存在正整數(shù)〃71,川,使得%=%求證:也}是等比數(shù)列
21.(2024高三,全國?專題練習)已知無窮正項數(shù)列{%}單調(diào)遞增,其首項記為1,SN=%+4+%+…+%
(〃eN).若%<五4%+「〃eM,其中"為正整數(shù)集的子集,稱數(shù)列{%}在M內(nèi)滿足性質(zhì)A;若名旦
nn
neM,稱數(shù)列{%}在"內(nèi)滿足性質(zhì)5;若黑1>%用,〃eM,則數(shù)列{叫在"內(nèi)滿足性質(zhì)C.
n
⑴若2=2^1,判斷數(shù)列{%}具有哪種性質(zhì),并說明理由;
19
⑵若數(shù)列{氏}具有性質(zhì)5,證明:“23時,S,“〃-1)邑;
⑶若數(shù)列{%}是正整數(shù)數(shù)列,card(D)表示有限集合。中元素的個數(shù),求證:若數(shù)列{%}滿足性質(zhì)A,則
card(M)=l.
22.(24-25高二上.上海.期中)在章節(jié)“用迭代序列求出的近似值''中,將方程x?=2等價變形為x=+構(gòu)
造遞推數(shù)列=工[“+工]來形成一個迭代序列{xj,當n趨于正無窮大時,匕趨近于血.選取初始值為=8,并
2(Xn)
令4,Bn(xn+1,xn+l),n=1,2,3,
⑴完成以下表格,并在圖中畫出線段4月,BH,A2B2,B2A3,4名;(精確到0.001)
20
(2)證明:{x.}是嚴格減數(shù)列;
⑶設(shè)與=lg9g,證明{對}是等比數(shù)列,并求出卜,}的通項公式及J則£的值.
23.(24-25高三上?江蘇淮安?期中)已知數(shù)列{%}的前〃項和為S“,/=1,電=4,?3=7,且NS“=”(%+]+8).
⑴求數(shù)列{g}的通項公式;
4
(2)若左eN*,當/時,bn=k',當應(yīng)<”<即+]時,---=2.
?!ㄒ?
①求數(shù)列{%}的前人項和小
②當〃=41時,求證:25“2-2左20.
K+1n—z.K+l
21
24.(24-25高二上?上海?期中)若項數(shù)為〃的有窮數(shù)列{%}滿足%+%+%+...+%=0且同+同+同+”+同=1,我
們稱這樣的數(shù)列{為}為M數(shù)列:
⑴若數(shù)列{%}是/數(shù)列,且為等比數(shù)列,項數(shù)為2024,求該數(shù)列的通項凡;
⑵若數(shù)列{%}是/數(shù)列,且為等差數(shù)列,項數(shù)為2左+1(左eN且左>0),求該數(shù)列的通項q,(l左+1用左”表示
);
⑶若數(shù)列{叫是"數(shù)列,項數(shù)為”,記{叫的前左項和為&(左=1,2,3,…⑼,若存在加e{l,2,3,…,*使5,“=;,
22
試問:數(shù)列{S,}(,=1,2,3,…⑼能否是M數(shù)列,若能,求出所有這樣的數(shù)列{%};若不能,請說明理由.
25.(24-25高三上?江蘇無錫?期中)在下面”行、〃列(〃eN*)的表格內(nèi)填數(shù):第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)成首項為
1,公差為2的等差數(shù)列{%};第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項為1,公比為2的等比數(shù)列{%};其余空格按照“任
意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和'’的規(guī)則填寫.設(shè)第2行的數(shù)自左向右依次記為qgg,…,的.
第1列第2列第3列第”列
第1行12222“-1
第2行359
23
第3行510
第〃行2〃-1
⑴求數(shù)列{c“}通項公式;
⑵對任意的加eN*,將數(shù)列{%}中落入?yún)^(qū)間也“£”]內(nèi)項的個數(shù)記為dm.
①求4和九的值;
②設(shè)數(shù)列{冊4}的前加項和器;是否存在加e
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