數(shù)列（新定義）壓軸強化訓練27道（原卷版）-2024-2025學年高二數(shù)學（人教A版選擇性必修第二冊）

數(shù)列（新定義）壓軸強化訓練【27道】

1.（24-25高二上?福建龍巖?期中）已知數(shù)列｛%｝的前”項和數(shù)列也｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)歹U,

67+4=8(64+65)，且4=2.

⑴求應｝和0｝的通項公式;

為奇數(shù)

(2)設=<"M2,數(shù)列上｝的前〃項和為證明：北“〈生.

巴為偶數(shù)18

2b,

2.（24-25高三上?山東?期中）將〃2個實數(shù)排成〃行〃列的數(shù)陣形式如下;

⑴當〃=7時，若每一行每一列均構(gòu)成等差數(shù)列，且%4=5,求該數(shù)陣中所有數(shù)的和/;

⑵若%>0（i"=l,2,…,且每一行均為公差相同的等差數(shù)列，每一列均為公比為4的等比數(shù)列,已知弓=1。，

25=18,a46=88,設$=%+%2+…+?！薄?，求S的值.

2

3.（24-25高三上?天津河西?期中）設｛%｝是等比數(shù)列，公比大于0,也｝是等差數(shù)列.已知%=1,%=%+2,%=&+&,

。5=a+2b6.

⑴求｛a'｝和也｝的通項公式;

a”（b“-2）-1

（2）設的=,數(shù)列｛c“｝的前〃項和為求7；的值;

（?！?1）,（。角+1）

b”,n^2k,2"

⑶設dn=<4（log2“+l）,〃=2:其3,求

Z=1

3

4.(2024?浙江臺州?一模)對于無窮數(shù)列｛g｝和如下的兩條性質(zhì)：4：存在實數(shù)彳＞0,使得ViJeN*且，＜九都

有叫￡：任意iJeN*且任九都存在meN*，使得%=2。?

(1)若%="+1,”eN*,判斷數(shù)列｛%｝是否滿足性質(zhì)耳，并說明理由；

n

⑵若不＜，2＜???＜，"＜???&eN*“=1,2,3,…),且數(shù)列也｝滿足任意〃eN*，a=%,則稱也｝為數(shù)列｛%｝的一個子數(shù)

列.設數(shù)列｛%｝同時滿足性質(zhì)6和性質(zhì)5.

①若%=1,%=5,求生的取值范圍；

②求證：存在｛%｝的子數(shù)列為等差數(shù)列.

4

5.(24-25高三上?天津濱海新?階段練習)設數(shù)列｛為｝的前"項和為S.，若對任意的〃eN*，都有邑“=后”(左為非

零常數(shù))，則稱數(shù)列｛與｝為''和等比數(shù)列,”其中左為和公比.若｛"J是首項為L公差不為0的等差數(shù)列，且｛“｝是"和

等比數(shù)列,"令c'=玄，數(shù)列｛c.｝的前”項和為T?.

(1)求｛bn｝的和公比;

(2)求用；

⑶若不等式Tn-言學＞(-l)-m-2對任意的口eN*恒成立，求掰的取值范圍.

5

6.(24-25高三上?北京?期中)設正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足.=旨'%為偶數(shù)力eN*.

%+5,%為奇數(shù)

(1)若&=L請寫出/所有可能的取值；

(2)記集合M二｛%|〃EN*｝,且％不是5的倍數(shù)，求證：

⑶存在常數(shù)T,對于V〃EN*者R有%+7=。〃，求/所有可能的取值.

6

7.（24-25高二上?福建龍巖?期中）已知數(shù)列｛氏｝滿足％=1,-數(shù)列也｝滿足々=2,b?+l=2h?.

an+lan磯〃+1）

⑴求應｝,0｝的通項公式；

（2）設=anbn,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項和T”；

⑶若滿足不等式絲包的正整數(shù)〃的個數(shù)為3,求優(yōu)的取值范圍.

8.（24-25高三上,江蘇泰州?期中）已知數(shù)列｛0“｝為等差數(shù)列，公差前〃項和為S“，的為《和%的等比中項,

7

sn=⑵.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵是否存在正整數(shù)冽，〃（3＜加＜〃），使得工，—,‘成等差數(shù)列？若存在，求出加，〃的值；若不存在，請說

〃3。加%

明理由；

〃+i19

（3）求證：數(shù)列￡±＜土

i=2E3

9.（24-25高三上?重慶?階段練習）已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S〃，滿足2S〃+「S“=2嗎=1.

8

⑴求｛〃“｝的通項公式；

⑵若數(shù)列低｝,｛，“｝滿足6.=-21og2%c"=",｛c“｝的前”項和為T“,若不等式7；一22北對一切正整數(shù)〃恒成

an

立，求力的取值范圍.

10.（24-25高二,上海,隨堂練習）在當前市場經(jīng)濟條件下，某服裝市場上私營個體商店中的商品所標價格°與其實

際價值之間存在著相當大的差距.對購物的消費者來說，這個差距越小越好，而商家則相反，于是就有消費者與

9

商家的‘討價還價;‘常見的方法是“對半還價法,"消費者第一次減去定價的一半，商家第一次討價加上二者差價的一

半；消費者第二次還價再減去二者差價的一半，商家第二次討價，再加上二者差價的一半，如此下去，可得下表.

次數(shù)消費者還價商家討價

71ci=4+-(a-b)

第一次b,=—al

12

c2=b2+；(q—4)

第二次b2=9—g(q—乙)

A=C2--(C2-%)

第三次C3=，3+—(C2-仄)

第〃次=%-/(%-%)Cn=3+/(%-6〃)

消費者每次的還價”僅eN*）組成一個數(shù)列｛%｝.

⑴寫出此數(shù)列的前三項，并猜測通項”的表達式；

⑵若實際價格b與定出a的價格之比為6=0.618:1,利用“對半還價法”討價還價，最終商家將能有百分之幾的利

潤？

11.（2025,廣東深圳,一模）若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一個等差數(shù)列，則稱這

個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列,"已知數(shù)列｛%｝是一個二階等差數(shù)列，其中q=1,%=3,%=6.

⑴求知及｛%｝的通項公式；

10

R/7—4〃

（2）設演”]〃求數(shù)列也｝的前〃項和S“

-4n-1

12.（24-25高三上?湖南岳陽?開學考試）有〃"”24）個正數(shù)，排成〃行〃列的數(shù)表：其中與表示位于第z?行，第j

列的數(shù)，數(shù)表中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知%=1,

8

11

a\\ana\3。14…a\n

。21a?2出3。24,,,a2n

。31a32a33。34…。3n

。41。42443。44…

an2an3〃〃4…ann)

⑴求公比.

⑵求〃]]+%+…+ann-

13.(2025?四川巴中?模擬預測)已知數(shù)列｛%｝的首項%=；,且滿足。,用=

(1)證明：數(shù)列1]為等比數(shù)列；

⑵若—I-----1-------1-----1<50,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

Q]n

12

14.（24-25高三上?湖南,階段練習）已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，b^a,tan+l-2Sn.

⑴求證：數(shù)列也「bn｝是等差數(shù)列；

⑵若％>0,%。的，且｛2｝是等差數(shù)列，求證："-+-%-T---1--——<1---.

a2a3。3。4anan+\。2

13

15.（2025,黑龍江齊齊哈爾?一模）已知公差d不為0的等差數(shù)列｛叫的前"項和為S.,%=6,委=二

13

⑴求｛〃“｝的通項公式；

⑵令4=2%+12,記7；為數(shù)列｛,｝的前〃項和,若7；22024,求〃的最小值.

16.（24-25高三上?山東青島?期中）如果正項有窮數(shù)列4,生，…,〃掰滿足力，。加=1，24—1=1,…，即

a；.flm；+,=l（z-=l,2,...,m）,我們稱其為"1的對稱數(shù)列，"例如：數(shù)列2,3,1,；與數(shù)列3,2,1,1,（都是“1的

對稱數(shù)列”.

（1）設低｝是項數(shù)為8的“1的對稱數(shù)列:其中4也,“也是等差數(shù)列，且"=4,"=8,請依次寫出也,｝的每一項；

14

⑵設數(shù)列｛c“｝是13項的“1的對稱數(shù)列,”其中是等比數(shù)列，c,-c5=15,c2-c4=6,求數(shù)列｛c“｝的所有項和S

的最小值；

⑶設數(shù)列｛"“｝是2m項的“1的對稱數(shù)列,"數(shù)列前加項的通項公式為d“="2+〃，求數(shù)列｛"“｝的前〃項和邑.（注：

12+22+...+"2="（"+1）伽+1））

6

17.（24-25高三上?山東泰安?期中）數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在整個（或

者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立，證明分為下面兩個步驟：L證明當〃=〃。（%eN）時命題成立；2.假設〃=笈

leN,且左2%）時命題成立，推導出在〃=《+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從"。開

始的所有自然數(shù)"都成立.已知有窮遞增數(shù)列｛%｝,%=-1,%>0,〃eN*且〃23.定義：集合

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A=\^x,y）\x=at,y=ap\<i,j<n,i,jeN'|,若對V(X1,yJe/,三億,為)€力,使得占馬+.“%=0，則稱｛氏｝具有

性質(zhì)T

⑴若數(shù)列.1,1,2,m(w>2)具有性質(zhì)7,求實數(shù)加的值;

⑵若｛a“｝具有性質(zhì)T,且％=1,%=2,

(i)猜想當〃22時｛為｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想;

325"+1/、

（li）—+—+—++H（n-l）a?（“22）■

2a23%12%

18.(24-25高二上,江蘇徐州?期中)已知數(shù)組N“：q,%,a"和8"：4，%，…,bn,若且%+初廣&+%]

(后=2,3,?),則稱紇為4的“應聯(lián)數(shù)組

⑴寫出數(shù)組4:4,3,1的“應聯(lián)數(shù)組”反；

⑵若4的"應聯(lián)數(shù)組''是為，證明：4，的,《成等差數(shù)列；

16

⑶若”為偶數(shù)，且4的“應聯(lián)數(shù)組”是5,求證：….

19.(24-25高二上,江蘇鎮(zhèn)江?期中)已知數(shù)列｛叫滿足％+&+…+a“=2"-a"("eN*).

(1)求生+&+。3的值；

⑵求證:數(shù)列｛log,&-2|｝是等差數(shù)列；

2

⑶令6“=(277-1)(2-%乂力eN*),如果對任意”N*，都有求實數(shù)/的取值范圍.

17

20.（24-25高三上河南?期中）設有窮數(shù)列也｝的項數(shù)為加，若她用_,=。（。為常數(shù)，且。H0』=1,2,3,-一,機），則

稱該數(shù)列為等積數(shù)列，a叫做該數(shù)列的公共積.

（1）若1也也,2,4是公共積為。的等積數(shù)列，求該數(shù)列的公共積。及&A；

（2）若低｝是公共積為。的等積數(shù)列，且/_.=cJeN*且為常數(shù)），證明：當m=4r+2（reN*）時，對任

18

意給定的”,C,數(shù)列也,｝中一定存在相等的兩項；

⑶若也｝是公共積為1的等積數(shù)列，且0＜也.＜々+］（7=1,2,3,…，加T）,以是奇數(shù)，對任意的々，巧“"^加;I加都

存在正整數(shù)〃71,川，使得%=%求證：也｝是等比數(shù)列

21.（2024高三,全國?專題練習）已知無窮正項數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，其首項記為1，SN=%+4+%+…+%

（〃eN）.若%＜五4%+「〃eM,其中"為正整數(shù)集的子集，稱數(shù)列｛%｝在M內(nèi)滿足性質(zhì)A；若名旦

nn

neM,稱數(shù)列｛%｝在"內(nèi)滿足性質(zhì)5；若黑1＞%用，〃eM,則數(shù)列｛叫在"內(nèi)滿足性質(zhì)C.

n

⑴若2=2^1,判斷數(shù)列｛%｝具有哪種性質(zhì)，并說明理由；

19

⑵若數(shù)列｛氏｝具有性質(zhì)5,證明：“23時，S,“〃-1）邑；

⑶若數(shù)列｛%｝是正整數(shù)數(shù)列，card（D）表示有限集合。中元素的個數(shù)，求證：若數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)A,則

card（M）=l.

22.（24-25高二上.上海.期中）在章節(jié)“用迭代序列求出的近似值''中，將方程x?=2等價變形為x=+構(gòu)

造遞推數(shù)列=工［“+工］來形成一個迭代序列｛xj,當n趨于正無窮大時，匕趨近于血.選取初始值為=8,并

2（Xn）

令4,Bn（xn+1,xn+l）,n=1,2,3,

⑴完成以下表格，并在圖中畫出線段4月，BH，A2B2,B2A3,4名；（精確到0.001）

20

(2)證明：｛x.｝是嚴格減數(shù)列；

⑶設與=lg9g,證明｛對｝是等比數(shù)列，并求出卜,｝的通項公式及J則￡的值.

23.(24-25高三上?江蘇淮安?期中)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，/=1,電=4，?3=7,且NS“=”(％+]+8).

⑴求數(shù)列｛g｝的通項公式；

4

(2)若左eN*,當/時，bn=k',當應＜”＜即+]時，---=2.

?！ㄒ?

①求數(shù)列｛%｝的前人項和小

②當〃=41時，求證：25“2-2左20.

K+1n—z.K+l

21

24.（24-25高二上?上海?期中）若項數(shù)為〃的有窮數(shù)列｛%｝滿足%+%+%+...+%=0且同+同+同+”+同=1，我

們稱這樣的數(shù)列｛為｝為M數(shù)列：

⑴若數(shù)列｛%｝是/數(shù)列，且為等比數(shù)列，項數(shù)為2024,求該數(shù)列的通項凡；

⑵若數(shù)列｛%｝是/數(shù)列，且為等差數(shù)列，項數(shù)為2左+1（左eN且左＞0）,求該數(shù)列的通項q,（l左+1用左”表示

）；

⑶若數(shù)列｛叫是"數(shù)列，項數(shù)為”，記｛叫的前左項和為&（左=1,2,3,…⑼，若存在加e｛l,2,3,…，*使5,“=；,

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試問：數(shù)列｛S,｝（，=1,2,3,…⑼能否是M數(shù)列，若能，求出所有這樣的數(shù)列｛%｝；若不能,請說明理由.

25.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）在下面”行、〃列（〃eN*）的表格內(nèi)填數(shù)：第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)成首項為

1,公差為2的等差數(shù)列｛%｝；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項為1,公比為2的等比數(shù)列｛%｝；其余空格按照“任

意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和'’的規(guī)則填寫.設第2行的數(shù)自左向右依次記為qgg,…,的.

第1列第2列第3列第”列

第1行12222“-1

第2行359

23

第3行510

第〃行2〃-1

⑴求數(shù)列｛c“｝通項公式；

⑵對任意的加eN*，將數(shù)列｛%｝中落入?yún)^(qū)間也“￡”］內(nèi)項的個數(shù)記為dm.

①求4和九的值;

②設數(shù)列｛冊4｝的前加項和器；是否存在加e