2025屆吉林省通化第一中學高三下學期半期考試數(shù)學試題

2025屆吉林省通化第一中學高三下學期半期考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．我國古代數(shù)學巨著《九章算術》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據(jù)上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．13．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關于直線對稱時，（）A． B． C． D．4．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．5．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調遞減，已知是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能6．對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數(shù)學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內；③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．17．若函數(shù)在時取得極值，則（）A． B． C． D．8．已知集合，，則()A． B． C． D．9．設，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．在長方體中，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．12．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．14．若，則的最小值是______.15．從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.16．的展開式中的常數(shù)項為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在斜三棱柱中，側面與側面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．18．（12分）隨著互聯(lián)網金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽取1200名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產品50合計1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取2人，假設這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑椋蟮姆植剂屑皵?shù)學期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息.19．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．21．（12分）己知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求使不等式成立的最大自然數(shù)n；（2）記數(shù)列的前n項和為，求證：.22．（10分）設函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求出復數(shù)，得出其對應點的坐標，確定所在象限．【詳解】由題意,對應點坐標為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題．2．B【解析】

將問題轉化為等比數(shù)列問題，最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實際問題可以轉化為等比數(shù)列問題，在等比數(shù)列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應用，難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.3．C【解析】

判斷圓心與直線的關系，確定直線，關于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．4．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.5．B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調性，結合三角函數(shù)的性質即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調遞增，因為，是銳角三角形的兩個內角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．6．C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內，②正確；③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．7．D【解析】

對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在時取得極值，得到，即可求出結果.【詳解】因為，所以，又函數(shù)在時取得極值，所以，解得.故選D【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.8．D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.9．C【解析】

設過點作圓的切線的切點為，根據(jù)切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算能力，屬于中檔題.10．C【解析】

在長方體中，得與平面交于，過做于，可證平面，可得為所求解的角，解，即可求出結論.【詳解】在長方體中，平面即為平面，過做于，平面，平面，平面，為與平面所成角，在，，直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎題.11．D【解析】

根據(jù)復數(shù)z滿足，利用復數(shù)的除法求得，再根據(jù)復數(shù)的概念求解.【詳解】因為復數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12．B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結論，屬于基礎題目．14．8【解析】

根據(jù)，利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】，，當且僅當且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.15．【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學生分析問題的能力,難度容易.16．【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當?shù)闹笖?shù)為零時，對應的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數(shù)項為.

故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應的取值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）取中點，連，，由等邊三角形三邊合一可知，，即證．（2）以，，為正方向建立空間直角坐標系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：連，，則和皆為正三角形．取中點，連，，則，，則平面，則（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，因為，，所以取面的法向量取，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值．18．（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程，然后求解即可（2）根據(jù)題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據(jù)所有可能的取值，計算出相應的概率，并列出的分布列表，然后求解數(shù)學期望即可【詳解】（1）據(jù)題意，得，所以.（2）據(jù)，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列為560700840所以（元）.【點睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學期望問題，屬于基礎題19．（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當時，，，當時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎題.20．（I）x2=4aya>0，x-y+1=0【解析】

（I）利用所給的極坐標方程和參數(shù)方程，直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程；（II）聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標方程，結合韋達定理以及等比數(shù)列的性質即可求得答案.【詳解】（I）曲線C：ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1，得x-y+1=0；（II）將x=-2+22t,y=-1+2t韋達定理：t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點睛】本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識，結合等比數(shù)列，熟練運用知識，屬于較易題.21．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，有，結合公差，，求得通項，再解不等式.（2）根據(jù)（1），用裂項相消法求和，然后研究其單調性即可.【詳解】（1）由題意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故滿足題意的最大自然數(shù)為.（2），∴...從而當時，單