向量的數(shù)量積及其計(jì)算綜合-2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)突破

專題12向量數(shù)量積及其計(jì)算綜合

題型?解讀

模塊一數(shù)量積重點(diǎn)題型梳理..........................................................1

【題型1】向量數(shù)量積的相關(guān)概念.................................................2

【題型2】向量數(shù)量積計(jì)算........................................................4

【題型3】向量的垂直問題........................................................7

【題型4】向量的模長............................................................9

【題型5】求向量的夾角........................................................11

【題型6】求向量的投影向量.....................................................13

【題型7】利用向量求線段長，夾角..............................................16

模塊二向量數(shù)量積中檔題...........................................................20

【題型8】極化恒等式求數(shù)量積..................................................20

【題型9】拆分向量求數(shù)量積.....................................................27

【題型10］投影法求數(shù)量積......................................................33

【題型11］與幾何圖形結(jié)合的向量問題...........................................40

【題型12］隱圓中的數(shù)量積問題.................................................43

【題型13］三角形四心的識(shí)別及歐拉線問題......................................50

【題型14］三角形四心的相關(guān)計(jì)算...............................................59

【課后訓(xùn)練】.......................................................................63

題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型

模塊一數(shù)量積重點(diǎn)題型梳理

基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量￡,坂，。是平面上的任意一點(diǎn)，作西=￡,9=尻則NAOB=g叫做向

量Z與B的夾角.

(2)向量的夾角范圍

⑶特殊情況：

①6=0,Z與B同向；

jr

②e=u，Z與B垂直，記作ZJ_B；

③。=?，a與B反向.

知識(shí)點(diǎn)02平面向量數(shù)量積的概念

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量￡與各，它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a\\b\cosd叫做向量2與B的數(shù)量積(或內(nèi)

積).

記作：a-b,即a1=|a||cos6.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0

_a-ba-(a+b]

。與6夾角公式：cos'=尸面商與汗+5夾角公式：cose=5n——ZF

麗+N

模長公式：=H或a=A/[.Q=V?,k+囚=+

特別提醒：

(1)“?”是數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào)，既不能省略不寫，也不能寫成“X”；

(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，不再是向量；

(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個(gè)向量的夾角。決定：當(dāng)。是銳角時(shí)，數(shù)量積為正；當(dāng)9是鈍角時(shí)，數(shù)量積

為負(fù)；當(dāng)夕是直角時(shí)，數(shù)量積等于零.

知識(shí)點(diǎn)03平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a-b=b-a；⑵(2a"=2(a0)=a-(2磯人為實(shí)數(shù))；(3)[a+k^-c=a-c+b-c-

(4)兩個(gè)向量Z，3的夾角為銳角oH〉0且Z,3不共線；

兩個(gè)向量a,B的夾角為鈍角=a石<0且a,B不共線.

(5)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

―?—?\/——?\-2—>2/—?-?\2->2-?—>—2/-?—\2—2—?—?3

(a+b\-\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+bla-Z?)=a-la-b+b"

易錯(cuò)注釋：a-b-c^a-(b-cj^a-c-b,即三個(gè)向量相乘時(shí)不能交換順序

【題型1】向量數(shù)量積的相關(guān)概念

典型例題

【例題1】以下關(guān)于兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的敘述中，錯(cuò)誤的是()

A.兩個(gè)向量同向共線，則他們的數(shù)量積是正的

B.兩個(gè)向量反向共線，則他們的數(shù)量積是負(fù)的

C.兩個(gè)向量的數(shù)量積是負(fù)的，則他們夾角為鈍角

D.兩個(gè)向量的數(shù)量積是0,則他們互相垂直

【答案】C

【詳解】對于任意得兩個(gè)非零向量乙,5,a-b=\a\^cos^a,b^,其中他方卜［0,兀］.

若兩個(gè)非零向量同向共線，則他5）=0,cos,5）=1,萬方=同，>0,故A正確；

若兩個(gè)非零向量反向共線，則&出）=兀，cos^a,b^=-l,a-b=-\a\^<0t故B正確；

若這兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是負(fù)的，則COS（2,5）<0,兀，故C錯(cuò)誤；

若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是0,則cosR,弓=0,⑦5互相垂直，故D正確.

【例題2】（多選）設(shè)萬,5都是非零向量，則下列命題中正確的是（）

A.若百花的夾角為鈍角，則

B.若|萬一同小+同，則山石

C.若1石>0,則第B的夾角為銳角

D.若a=2^，則H+5與M-3B同向

【答案】AB

【詳解】對A,25的夾角為鈍角，則cos第5<0,

所以/=|5||S|cos/a,&\<0,A正確;

對B,當(dāng)卜-@=卜+可時(shí)，易知：以萬,5為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以萬_LB,B正確;

對C,當(dāng)扇B同向共線時(shí)，有無B>o,所以C錯(cuò)誤；

對D,3+b=3b,5—3b=—b,所以3+〃與4—3b反向,D錯(cuò)誤.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)11下列說法正確的是（）.

A.單位向量均相等

B.向量a,在滿足或萬=0,則人行中至少有一個(gè)為零向量

C.零向量與任意向量平行

D.若向量B滿足同=網(wǎng)，則M=±6

【答案】C

【詳解】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯(cuò)誤；

對于B：向量萬，3滿足方=0,貝'I同=0或忖=0或夾角為不，故B錯(cuò)誤；

對于C：零向量與任意向量平行，故c正確；

對于D,若向量2,在滿足同=忖，a,5的方向可以是任意的，故D錯(cuò)誤.

【鞏固練習(xí)2】設(shè)Z，B是兩個(gè)非零向量，則5%<0"是"Z與另的夾角為鈍角"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】若3B<0,則￡與石的夾角可能為180。，不一定是鈍角，因此充分性不成立；

若Z與B的夾角為鈍角，則可得cos（￡@<0,因此可得￡啰=|麗cos（￡@<o,所以充分性成立，

即“7B<o”是。與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

【鞏固練習(xí)3】（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.對于任意向量Z，都有

B.3/區(qū)且同=忖是］石的充要條件

c.若79=0，則Z與刃中至少有一個(gè)為6

D.兩個(gè)非零向量公與石夾角的范圍是［0,可

【答案】AD

【詳解】對于A,零向量與任意向量共線，A正確；

對于B,a//B且卜卜忖，當(dāng)方向相反時(shí)，a=—b,即a//B且卜卜忖不是a=B的充要條件，B

錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)a_l_1時(shí)，a-b=0,C錯(cuò)誤；

對于D,兩個(gè)非零向量2與石夾角的范圍是［0,兀］,D正確.

【題型2】向量數(shù)量積計(jì)算

典型例題、

【例題1】已知等邊三角形ABC的邊長為1,則血.患=（）

A.yB.在C.--D.-3

2222

【答案】C

【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算得到答案.

【詳解】因?yàn)?@=Bq=l,且向量通與就的夾角為所以AR5C=lxlxcosg=—g

______kk9______?

【例題2］已知AABC是邊長為1的正三角形，麗=尸是B/V上一點(diǎn)且衣=根骸+§而，則

APAB=（）

【答案】A

__.i_uunumn2101uu?Quxr

【詳解】由ANk=§NC,得麗=:就，^AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

Q1

而尸，氏N三點(diǎn)共線，則用+§=1,即用=—,

>1.2.

所以AP=—AB+—AC,

99

所以Q?麗=［而+￡/｝荏=:+|xcos60o=|.

故選：A.

【例題3】如圖，在AABC中，Zft4C=60°,AB=4,AC=2,而.EX的值為.；。是3C

邊上一點(diǎn)，且麗=2歷，則赤?前的值為

A.2B.8C.-2D.-8

【答案】—4,-8

【詳解】⑴夾角為120°,代入公式計(jì)算即可：AB-C4=|AB|-|C4|-COS120°=-4

BC=AC-AB,AB-AC=|AB|X|AC|xcos（通，碼=4x2xcos60。=4.

所以茄.阮=（：順|AC\（AC-AB）

1——?——?1I--|22I---42112

=-AB-AC+-\AC\——\AB\=-X4+-X4——xl6=-8

33l1311333

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1］已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,

貝U同=;ab=-

【答案】22

37r

【詳解】由題意得同=2,無B=2xjl節(jié)xcos-=-2.

【鞏固練習(xí)2】如圖，在VA3C中，NBAC=g,而=255,P為CD上一點(diǎn)，且滿足點(diǎn)=加次+g屈,

若國=2,網(wǎng)=3,則Q①的值為.

【答案】1

—.2-.

【詳解】由而=2而，可得AD=§A3,

又C,P,。三點(diǎn)共線，

貝|］有AP=mAC+(1-m)AD=mAC+2AB,

—*------1?2-2W711

由于AP=mAC+5A5(機(jī)ER),所以氣絲二：，即加=1,

__.2________________,

5LCD=CA+AD=-AC+-AB

31

且NBACJ,困=2,網(wǎng)=3,

1__1__,__9一

i^APCD=(.-ACk+-AB)-(-ACk+-AB)

_LAC2LAB2_LAC.AB

=4+33

=—Ix4/+—Ix9c—Ix2cx3cx—I=1I

4332

【鞏固練習(xí)3】(2021新高考2卷)已知向量M+B+c=0,\a\=I,\b\=\c\=2,a-b-\-b-c+c-a=

9

【答案】——

2

2

【解析】方法一：因?yàn)閆+B+2=6,所以（〃+B+c

0，即J+^+J+2aB+2ac+2bc=0

所以1+4+4+lab+lac+2bc=0，所以2af）+lac+2bc=一9，所以a另+a。+Be=—

方法二：因?yàn)椤?B+c=6,所以a+B=-c,所以（Q+B）=卜。），即7十片+2茄=7

所以l+4+2ZB=4,所以7石=一；，

同理a+c=-B,所以（〃+c）=卜‘），即7+7+2石=石2,所以1+4+2?！?4，所以〃c=一萬，

同理B+Z=—￡,所以僅+二卜￡『，即片+/+2反=/，所以4+4+2應(yīng)=1,所以小=—

所以aB+ac+方。=-

2

【題型3】向量的垂直問題

【例題1】已知工，"2為單位向量，Z=G—2"2,B=2Z+&，若則工與&的夾角為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示

【分析】由向量垂直則數(shù)量積為0,建立等式，求得工1?工2的值，從而得到向量間的夾角.

【詳解】由￡_1_石得〃?B=（臼-2/）?（2臼+62）=2e；-3々?/-2e；=0,

所以61?02=0,即61_1_62,所以61與02的夾角為90°

【例題2】（2324高一下?江蘇連云港?期中）在VABC中，若阮==反通=￡=,且

則VABC的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】依題意可得^=-（萬+6）,根據(jù)向量垂直得到,-孫1=0,再由數(shù)量積的運(yùn)算律求得問=|國,

即可得解.

【詳解】因?yàn)槿罘赐?*,所以e=—（萬+5）,

若,_勾_1_乙貝1|卜_9二=_（a+9?（6_B）=5）一m=o,所以忖=|司，

即忸4=|四|,所以VABC是等腰三角形.

【例題3】已知忖=1,問=3,（a+5）5=8.

⑴求的值；

（2）當(dāng)上為何值時(shí)，3-萬與Z+2B垂直？

【答案】⑴-I

（2）-17

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示

【分析】（1）結(jié)合條件，按照數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得結(jié)果；

（2）利用第（1）問的結(jié)論，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系計(jì)算可求出化的值.

【詳解】（1）因?yàn)橥?1,忖=3,卜+方）石=8,

所以（4+3）?方=萬出+5'=萬-5+3?=8,貝!］苕石=_1.

（2）若林-5與￡+2石垂直，則（歷一方）（1+25）=0,

從而上J+2左〃啰一—2方之=左一2左+1—18=0,解得：k=—Yl.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1］已知忖=瘋忸|=1.若（Z+2B）J_G,則cos（a,B）=（）

A.一走B.

D

23T

【答案】A

【詳解】因?yàn)椋ā?2B）_LQ,且任=J5，W=1,

一一2一—rrir3

則（Z+2萬）?a=a+2〃?匕=0,可得a?否=一萬〃2=--

a-b_2_G

所以COS(Q,B

4i|-|z?|gxl2

【鞏固練習(xí)2】已知向量a,b滿足同cos伍方）=-3,且必（22+3方）,則忖

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

HIa-ba-b

【詳解】同cos（￡,石）二一3,即怖，則同二

因?yàn)槿誣L（2a+3萬），則石.（2Q+3B）二°，則2＞石+3后J。，則2亂萬=-3片,

則寸

=_3，則限2.

【鞏固練習(xí)3］已知忖咽=1,若（2日得，5,則向量￡與石的夾角的余弦值為

【答案】2

2

【詳解】設(shè)向量￡與石的夾角為兀］）,

若（2￡—B）_L5,則（2々一可?石=0,

所以=21^||^|cos|fe|=2cos^-1=0,

可得cos0=—.

2

【題型4】向量的模長

典型例題、

【例題I】已知向量￡,石的夾角為同=1,W=0,則他叫=（）

A.2B.VsC.V13D.5

【答案】C

【分析】利用向量的模的計(jì)算公式計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】忸_花卜,（35叫2=V%2+a2-6a=^9x2+1-6x1x72x^=713.

【例題2】（2223高一下?貴州黔西?階段練習(xí)）若。是VA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

|屈-配|=|麗+元-2司，則VABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與模長公式，可以得出通?前^O,由此可判斷出VABC

的形狀.

［詳解］由一就|=|屈+花一2時(shí)，可得|麗|=|加一函+配一西|,即C8=A8+AC,

|AB-AC|=|AC+AB|,

等式|通一44=|蔗+四兩邊平方，化簡得福.第=（）,.?.福,高，

因此，VABC是直角三角形.

【例題3】已知向量方,B滿足向=2,問=1,al^a+Ab^,益例=一1,則卜-4卜（）

A.2A/2B.4C.8D.2a

【答案】D

【詳解】解：由1J_（萬+25）,得三?伍+/lb）=0,

即〃2+2萬.5=0,解得2=4,

所以B_回=m_4葉=J/-8萬萬+16廬=2幣.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知向量區(qū)的夾角為|兀，且同=26,忖=5,則|；+2力卜

【答案】2而

【分析】由向量的模長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?后的夾角為|兀，且問=2q，忖=5,

J12+4X26X5X

+4x52=2而.

【鞏固練習(xí)2】已知向量￡,石的模分別為2,1,且4=6,則B+B卜

【答案】不

【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模

【分析】由已知可得2;$=2,利用卜+'=仙+5『可求值.

【詳解】由,一目=若，得k-曠=3,所以"盯=3,所以?_2：$+:2=3，

所以22-2:$+12=3,解得2；$=2,

所以=加+可=Jif+2拓2■應(yīng)=〃++2=『-

【鞏固練習(xí)3】已知同=3,*5,卜+5|=7.

⑴求向量苕與石的夾角6;

(2)當(dāng)向量%+B與G-5的模相等時(shí)，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】(1)0=60°

2

(2)無=一^■或左=—1

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、已知模求數(shù)量積、已知模求參數(shù)

【分析】(1)利用數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律求出存5,再利用夾角公式計(jì)算作答;

(2)利用向量的模相等，兩邊同時(shí)平方，由數(shù)量積的運(yùn)算律求解左的值.

【詳解】(1)因同=3,忖=5,K+*7,

則有49=(a+5)2=a2+2a-b+b2=9+2a-b+25,單得無B=

因此cose=0^=/-=L，而0°464180°,于是得6=60°,

同W3x52

所以向量方與5的夾角夕=60°.

(2)由悒+5卜,-5|,貝"+5『=(萬"J,

.?2,

即左2H2+2%.石+后=雙2一2萬石+廬，得9k2+15左+6=0,解得左=一］或左=一1.

【題型5】求向量的夾角

典型例題

【例題1】若向量2,很滿足W+B)Z=7,且同=后，忖=2,則向量4與在夾角為.

【答案】￡

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算

【分析】由已知求得五而，然后利用數(shù)量積求夾角公式得答案.

［詳解］..卡卜？，e+孫5=7,

5+|/?|=7,即4%=7—4=3.

設(shè)向量4與5的夾角為6,

ca-b3cri

則。而二齊又響刎

【例題2】若百B+司=6歸一.=2同，則向量與4的夾角為()

冗冗2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】A

【分析】由條件等式得到a0=o,由向量夾角的計(jì)算公式和等式歸-6卜畢同化簡得到

cos(a-b,a^=,從而得到向量之間的夾角.

【詳解】由條件可知方+々=a-b\,兩邊平方后得40=0,

、(a-bYaa2-a-b6

并且**手同，cosR--b,a)=?7=l=

k-胴3團(tuán)22

3

7T

因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是［0,司,所以向量M—B與5的夾角為；.

6

【例題3】

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知同=后園=1.若（Z+2方）"L￡,則COSR,B）=（）

.V3RA/3_y/3門6

2332

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律

___3

【分析】根據(jù)向量垂直可得。心=-萬，代入向量夾角公式即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋ā?2B）_L￡,且忖=@q=l,

/—?-?\—,—2—?—?rrIr23

則（Q+2Z?）?〃=a+2Q?Z?=0,可彳尋=—5〃=——,

rr3

所以cos（a,b）=rq-^i=廠2=一3.

'/INV3xl2

【鞏固練習(xí)2】向量商，很滿足|同=6,忖=1,歸-2司=1,則向量苕，5的夾角是（

兀7T27r5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】由卜一2M=1兩邊平方得42-4aZ+4/=1,即3-4X有xlxcos（第5）+4=1,

所以cos第B=等，又0W,出）<兀，所以（。4=巳.

【鞏固練習(xí)3】已知2，B為單位向量，且忸-5目=7,貝日與的夾角為（）

【答案】C

【分析】設(shè)Z與1一書夾角為6,利用|3々-5囚=7求出24,在利用夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?B為單位向量，

由13%-5q=7,所以（3￡-5B『=49<=>9a-30a-b+25b=49,

即9—30lB+25=49n￡Z=—g,設(shè)￡與々一刃夾角為

又?！闧0,兀],所以故選：c.

【題型6】求向量的投影向量

投影向量

⑴向量￡在3上的投影向量：花4=B|<osa,，其中力是與在同方向的單位向量

（2）如圖（1），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。作兩=￡,兩=反過點(diǎn)〃作直線ON的垂線，垂足為加1，則

說r就是向量z在向量B上的投影向量.

（3）如圖（2）,設(shè)是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,作如下的變換：過荏的起點(diǎn)A和終

點(diǎn)8,分別作歷所在直線的垂線，垂足分別為4,用得到A瓦，則稱上述變換為向量Z在向量B投

影，4瓦叫做向量Z在向量B上的投影向量.

a-b

⑷向量々在B上的投影向量模長：仔

b

典型例題

【例題1】已知同=1,可=8,2與B的夾角為120。，則向量B在2方向上的投影向量為（）

A.4B.-4C.4aD.-4a

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的公式求解即得.

【詳解】同=1,忖=8,Z與分的夾角為120。，

所以向量B在〃方向上的投影向量為II,1—r—151cos120°a=—4a.

W\a\11

【例題2】（2324高一下?江蘇常州?期末）已知向量不和5滿足同=4,網(wǎng)=2,向量在向量M上

的投影向量為射，則歸一可=（）

A.3B.273C.4D.12

【答案】B

【分析】先由向量日-B在向量亍上的投影向量求出,然后求解卜一可即可.

3

【詳解】因?yàn)橄蛄咳?B在向量方上的投影向量為一立，

4

(a-byaa3一

（a-b）-a_3一一一3id3

所以-4，所以。——x16—12,

所以￡2_￡.]=]2,得以石=4,所以忖一可二J（a--）2=-2￡.B+片=416-2x4+4=26

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知白，石是兩個(gè)非零平面向量，N，（35-2萬），則5在少方向上的投影向量為（）

一J2f1一

A.aB.—ciC.—aD.—u

233

【答案】C

__2_

【分析】由向量垂直關(guān)系得。?五二§|。|2,再由投影向量公式求解.

【詳解】由于五_1（3方一24，

貝”無（35-2萬）=0,即73石=2『=2|洲，

__2_

可得=,

/7?h一2一

則5在五方向上的投影向量為能也=—

|葉3

【鞏固練習(xí)2】在V45C中，。是BC邊上的一點(diǎn)，且滿足3￡>=2。。，ADJ.BC則函在府方

向上的投影向量是（用前表示）

2―.

【答案】—BC

【詳解】

CDB

BABC

由麗?祝=|麗'網(wǎng)cos5,則|BA|COSB

BC\

叉AD_LBC,則網(wǎng)COS5

文BD=2CD,貝小麗|二2|也即|麗|

而樂，明,

故國

又向量麗在血方向上的投影向量是簧舒新舒訶

【鞏固練習(xí)3】已知向量￡與3的夾角為系，同=6|陽設(shè)在￡上的投影向量為爪，則4=()

1133

A.-B.——C.D.-

2222

【答案】C

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

b—a]-a5-

【詳解】b-a在a上的投影向量為，即

一一-2

。b-a—a

則有2=1_12

H

又向量￡與辦的夾角為g,同=百瓦

坪|葭

所以人3

2

【鞏固練習(xí)4】若?,是兩個(gè)相互垂直的單位向量，Z=2)+￡B=3l+4晟，則￡在石上的投影向

量為()

6—8—3—4一

A.—c,H----%B.乎+不2

251252

6—8—

C.獰+不2D.6,+84

【答案】C

【分析】借助投影向量公式結(jié)合數(shù)量積公式與模長公式計(jì)算即可得.

a-hb34+4^2

【詳解】

|2

6,+1,C2+41可

9同+24q.g

一上作+4肅-2（3小它）A§

9+16（?勻5~5152

即a在6上的投影向量為—Cj+—.

【題型7】利用向量求線段長，夾角

典型例題、

【例題1】（2324高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）正方形A3CD的邊長為。，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC

邊上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M,則NOMF的余弦值為.

【答案】—史

10

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出兩向量而，衣的坐標(biāo)，計(jì)算兩向量的夾角，即可得

出結(jié)果.

AFEDAFED=^AB+1AD^（AD-AE）=-1a2

NDMF=

【詳解】法一：拆分向量:|AF|.|ED|,

V2

10

法二：以AB所在直線為x軸，A￡）所在直線為＞軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖,

因?yàn)檎叫蜛3CO的邊長為。，E是A5的中點(diǎn)，廠是3C邊上靠近點(diǎn)區(qū)的三等分點(diǎn),

設(shè)=則尸0（0,。），A（0,0）,

則ED={-^a\,AF=,

而NOMF等于麗與瓦立所成的角.

ED.~AFV2

師cosZDMF=I-----------------1=

所以\ED\\AF\10-

【例題2】（高一下?江蘇南京?期中）在平行四邊形A3CD中，已知E,P分別是BC,C。上的點(diǎn),

且滿足麗=2覺，CF=3FD,若恁=幾通+〃/（4〃eR）,則力+〃的值為；若AE=2,

AF=3,ZE4F=60。，則AC的長為

【分析】結(jié)合平面向量得線性運(yùn)算得到*+1而++而，根據(jù)平面向量得加法運(yùn)算

4

1

41+"=1

有AC=AB+AD，對應(yīng)系數(shù)相等即可得到＜,解方程組即可求出結(jié)果；根據(jù)

|%+〃=1

—AC.=^9A—E?+-2A—F?,結(jié)合平面向量得數(shù)量積得定義以及數(shù)量積得運(yùn)算律即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，在平行四邊形A5co中，因?yàn)閷?2或，CF=3FD,

__.__._________2__.__.__,__.__.1___

所以荏=荏+礪=屈+1而，AF=AD+DF=AD+-AB,

AC=AAE+juAF=A\AB+^AD\+^\AD+-1^AB

4

Z+-//=l

|彳+〃）而，而而=麗+亞，所以＜410

+,解得

2=12

13—?—?—.9—?2—?

所以4+〃二正；由上述次口AC=/IA石+//4尸=而人￡+14尸，

2

|+2-^AE.AF

醇…的長為中

旦x4+2x2x2x3+汽x9=

10010525

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1］已知VABC中，ZA=—,AS=4,若點(diǎn)。在邊3C上，且萬方=2比，AD=—

33

則AC的長為

【答案】3

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形，利用詬=2方心，得出3而=2相+Z5,再利用平面向量的數(shù)量積求

出|衣|即可.

【詳解】如圖所示，

在VABC中，ABAC=—,AB=4,點(diǎn)。在邊BC上，且瓦5=2比，

ULWlULIULILUUULUU

:.BD^AD-AB,DC=AC-AD,AD-AB^2(AC-AD),

re----~~._...?iui2uunnuutiuunuun

即3AT>=2AC+AB,兩邊平T萬行：g^D=4AC+4ACAB+AB2

2萬uum2uum

/.9x(-^—)2=4AC+4x|AC|x4xcosl20°+42

ULWlULUUUUU1ULUU

化簡得|ACf-2|AC|-3=0,解得：|AC|=3或|AC|=-1(舍去)

所以AC的長為3

【鞏固練習(xí)2】(2425高一上?甘肅定西)如圖，VA3c中，ZC=60°,AC>BC>6,點(diǎn)。，E分別

在邊AC,BC±,S.BE=AD=6,連接。E,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是。E的中點(diǎn)，則線段MN

的長為.

【答案】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得2瑞=防+序，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長即可.

lUim,|UiT|/uuuuur、uunuuri

【詳解】由題意可知：［。曰=/可=6,（。4,防）=60。，貝可D4.￡8=6x6x5=18,

因?yàn)辄c(diǎn)M是42的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，

UULUUUUUUULILILlUULlLILIUULIUULLUUIUULILlULl

則NM=ND+DA+AM,NM=NE+EB+BM=-ND+EB—AM,

UUULUUU1UUL

兩式相加可得2M0=D4+EB,

uuur,uunuur2uunuunuuruur

則4Ml=（zDA+EB\X=D42+2DAEB+EB2=36+36+36=108,

1|UUUT|

即1端1111r=27,所以|N叫=3a

【鞏固練習(xí)3】（2324高一下?廣東茂名?期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，

彷+在=6,配=3醞DE■與跖相交于。.若AD=2,Id-（3而-2通）=-7,則AB的長

為一

【答案】4

【分析】先以AB.AD為基底表示不k再利用向量的數(shù)量積把AO-（3AD-2確=-7轉(zhuǎn)化為關(guān)于網(wǎng)

的方程，即可求得A3的長，

【詳解】在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，CF=2FD,DE與B尸相交于。.

設(shè)麗=幾/BO=/2BF(O<//<1)

則AD+DO=AD+2DE=AD+2^AB-|AD^=^1-12^AD+2AB

+=AB+//BF=AB+//^AD-|AB^=(1-1/7)AB+X/AD

由13=礪+麗=赤+旃，可得(l-g〃)通+〃而=1-；勺通+力通

2=-

2____________③____1___.

解之得；則而=而+加=一赤+—近

42

1--//=2

3

則AO-(3AD-2AB)=I|AD+|ABj-(3AD-2AB)=^|A^2-|AB|2=-7

又AD=2,則9-|通『=一7,解之得|福|=4,即A3的長為4.

【鞏固練習(xí)4】（2324高一下?廣東韶關(guān)?期末）數(shù)學(xué)家波利亞說："為了得到一個(gè)方程，我們必須把同

一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系"這就是算兩次原理，又

稱為富比尼原理.例如：如圖甲，在VABC中，D為BC的中點(diǎn)，則在中，＜AD=AB+BD-

在AACD中，^AD=AC+CD，兩式相加得，2而=荏+而+無亍+出因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，所

以詼+函=0，于是2礪=通+記如圖乙，在四邊形ABC。中，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn).

⑴如圖乙，請用"算兩次"的方法證明：2方=題+成；

ULIU

⑵如圖乙，若AB=1,DC=2,AB與。C的夾角為60。，求而與M的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量加法分析證明;

（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可求訪?通司，進(jìn)而結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.

UUUUUUUULILmUUUUUUUUULUUU

【詳解】（1）因?yàn)镋F=EA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,

貝"2訪=（西+珂+（荏+畫+（就+函，

UUUUU1LILIUUUUi

且￡,尸分別為A￡>,BC的中點(diǎn)，則E4+EO=0,3尸+CF=O,

所以2而^=0+（通+回+0=通+"

（2）由題意可知：|通|=1,|方@=2,福?玩=|荏H回cos6（r=l,

由（1）可知：2/=加+宓，即喬=：（而+覺），

則EF-AB=1（AB+ZjC）-AB=1^AB2+AB-Dcj=l,

EF2=1（AB+DC）2=^[AB2+2AB-DC+DC2y^,即|司=^，

EFAB2^/7

所以前與羽的夾角的余弦值cos彷，通=

7

模塊二向量數(shù)量積中檔題

【題型8】極化恒等式求數(shù)量積

二級(jí)