新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓（學(xué)生版）

橢圓講義

?熱點題型歸納

橢圓講義......................................................................................-1

題型一：橢圓第一定義及應(yīng)用.....................................................................3

題型二：橢圓方程的判斷及求解...........................................................-……-9

題型三:第二定義及焦半徑公式..............................-................................-12

題型四：第三定義-..............................................................---..........-14

題型五：最大角的應(yīng)用..........................................................................18

題型六：橢圓上的點到焦點距離最值..............................................................21

題型七：通徑的應(yīng)用............................................................................23

題型八：焦點三角形面積及周長..................................................................25

題型九：直線傾斜角與焦點弦關(guān)系................................................................32

題型十：參數(shù)方程..............................................................................37

題型H-：最值問題..........-...............................-...............................-39

題型十二：點差法.............................................................................-41

題型十三：離心率..............................................................................44

橢圓講義

?知識梳理

知識點一橢圓的定義

(1)平面內(nèi)與兩個定點Fi,F2的距離的和等于韁固(大于IBB。的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的

焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的短袈.

⑵橢圓的定義用集合語言敘述為：P={M||MFi|+|MF2|=2a,2a>|FiF,|}.

橢圓的定義式方程：J(x+c)2+;/+J(x-cP+丁=2a；

(3)2a與舊1碼的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表：

條件結(jié)論

2a>\F\F^\動點的軌跡是橢圓

2a=\FiFo\動點的軌跡是線段F\F2

2a<\F\F2\動點不存在，因此軌跡不存在

知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式

焦點位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點焦距

盤+3=1(〃泌>0)Fi(-c,O),

焦點在X軸上2c

出90)

>+I=13>6>0)Fi(O,-c),

焦點在y軸上2c

B(0,c)

(3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標(biāo)

判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項和V項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”.如

方程為弓+?=1的橢圓，焦點在y軸上，而且可求出焦點坐標(biāo)Q(0,-1),F2(0,l),焦距E6|=2.

知識點三橢圓的幾何性質(zhì)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

*=11

標(biāo)準(zhǔn)方程5+1=

(a>b>0)(a>b>0)

1J

圖形

沙A的X

焦點坐標(biāo)(土c',0)(0,士c)

對稱性關(guān)于％軸、y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱

4(—4,0),A2(tz,0),Ai(0,—a),A2(0,d),

頂點坐標(biāo)

Bi(0,-b)9B2(0,b)氏(一。,0),&3,0)

范圍\y\^b\x\^b,ly|Wq

長軸、短軸長軸44長為2a,短軸8由2長為2b

知識點四橢圓的離心率

橢圓的焦距與長軸長的比力稱為橢圓的離心率，記為e=》因為a>c,故橢圓離心率e的取值范圍為應(yīng)11

當(dāng)e越近于1時，橢圓越扇，當(dāng)e越近于0時，橢圓越圓.

?熱點題型歸納

題型一：橢圓第一定義及應(yīng)用

【例1](多選).下列說法中正確的是()

A.已知網(wǎng)(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到尸1,五2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段

B.已知為(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到為，五2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓

C.平面內(nèi)到點為(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到尸1,尸2的距離之和的點

的軌跡是橢圓

D.平面內(nèi)到點為(-4,0),尸2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓

【變式11】方程匕2+(丫-2)2+式2+6+2)2=10化簡的結(jié)果是()

22222222

y.x[

A.—+^—=1jj.—-4-—=1c,—+—=1D.-----4"——=1

251625212542521

【變式12］在橢圓Y+V=1中，有一沿直線運動的粒子從一個焦點入出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點

F1,再次被橢圓反射后又回到尸2,則該粒子在整個運動過程中經(jīng)過的路程為.

【變式13］已知橢圓C:?+?=1,尸2分別是橢圓C的焦點，過點&的直線交橢圓C于4B兩點,若

\AB\=4,則|%|+|和1=()

A.2B,4C.6D.8

【例2】已知橢圓C：W+\=1的短軸長為2,焦距為28，6、分別是橢圓的左、右焦點，若點P為。上

的任意一點，則白;+的最小值為.

【變式21］已知尸2是橢圓C：?+?=l的兩個焦點，點M在C上，則|亞的|?|g|的最大值為

()

A.13B.12C.9D.6

【變式22］已知橢圓2的2右焦點為F,過原點。的直線與橢圓廠交于力、B兩點，則焉1+1高的取

45||orI

值范圍為.

丫2v2

【例3】（多選）已知點41,1）01,0）,尸為橢圓上+匕=1上的動點,則IP4I+IPQI的（）

43

A.最大值為4+6B,最大值為4+&C.最小值為4-6D.最小值為4-若

22

【變式31］設(shè)M是橢圓工+工=1上一點,P,Q分別是兩圓（x+3『+y2=l和（％一3）2+>2=1上的點，則

167

|心|+向2|的最小值、最大值分別為（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

22

【變式32］已知橢圓方程^+事=1,廠是其左焦點，點A（U）是橢圓內(nèi)一點，點尸是橢圓上任意一點，若

如十|即的最大值為九x，最小值為/n，那么%x+Anin,（）

A.473B.4C.8D.8g

%2y2_

【變式33】設(shè)下是橢圓了+y=1上的右焦點，P是橢圓上的動點，/是直線x+V3y-12=。上的動點,

則幽-|用的最小值為（）

9135

A.-B.3C.—D.-

522

【例41].ZUBC的三邊13cl成等差數(shù)列,，、C兩點的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),則點3

的軌跡方程是—.

【例42】已知圓M：(x+1)2+y=1,圓N：(x-1)2+/=9,動圓尸與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心尸

的軌跡為曲線C.則C的方程；

【變式41]..若動點尸(x,y)滿足方程J/+(y+2)2+Ji+(y-2)，=6近,則動點尸的軌跡方程為

()

【變式42]..如圖，N(1,0)是圓〃：(x+1)2+/=16內(nèi)一個定點，尸是圓上任意一點.線段NP的垂直

平分線和半徑MP相交于點Q.當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡E是什么曲線，其軌跡方程

【變式43].已知△N8C的頂點，、8的坐標(biāo)分別為（-弧,0）、（V3>0）,C為動點，且滿足sinS+siiL4

=J，sinC.則點C的軌跡工的方程；

?過關(guān)測試

1.平面內(nèi)，B,B是兩個定點，“動點〃滿足I加il+l加2|為常數(shù)”是的軌跡是橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

XV

2.已知橢圓C的方程為二+-=1,其中P,P2,,P9依次將橢圓C的下半部分分成10等份，若尸

259

是橢圓的右焦點，貝1」尸加+|尸3月+|尸7可+下8可=（）

A.10B.16C.20D.12

3.若動點y)滿足方程J(x-2)2+y2+J(x+2)2+y210,則動點M的軌跡方程為（

222222

A.二工B.二國C.二工D.

251625212542521

22

4.設(shè)p為橢圓c嗪+蕓=1上一點，&,尸2分別為左、右焦點,且|P&|=3|PF21則IPF2In()

.3

ABCD.-

21-12

5,已知定點2（-2,百），點夫2為橢圓不+7T=1的右焦點，點又在橢圓上移動，求HM+|MF2|的最大值

2516

和最小值為（）

A.12,2V7B.10+V5,10-V5C.12,8D.9,2小

22

6.已知點尸為橢圓C：粉玉口的右焦點，點P是橢圓C上的動點，點0是圓跖（x+3）2+/=1上的

動點，則一叫的最小值是（）

PQI

228

A.1B.C.D.

2933

22

7.橢圓,+合=1上的一點M到左焦點月的距離為2,N是MF,的中點，貝IJ|ON|等于.

8.己知一個動圓與圓C：G+4）2切2=I。。相內(nèi)切，且過點/（4,0）,則動圓圓心的軌跡方程

9.如圖，已知點/（-2,0）,點尸是。氏（x-2）2+/=36上任意一點，線段/P的垂直平分線交8尸于

點。，點。的軌跡記為曲線C.則曲線C的方程；

題型二：橢圓方程的判斷及求解

【例1】如果方程宗+懵=1表示焦點在X軸上的橢圓，則實數(shù)。的取值范圍是().

CtC4-1U

A.〃>3B.-2C.a>3或〃<-2D.〃>3或-6<a<-2

22

【變式11】變式31.若方程x+-二1表示橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是()

k-25-k

A.2<k<5B.k>5C.k<2或k>5D.以上答案均不對

【變式12］若aG(O,5)，方程_rsina+y2cosa=1表不焦點在y軸上的橢圓，則a的取值范

圍是.

【例2】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),經(jīng)過點(0,4);

(2)焦點在>軸上的橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為8,c=道.

3_5

⑶兩個焦點坐標(biāo)分別是(0,-2)和(0,2),并且經(jīng)過點2-~2

⑷已知橢圓中c=?,且"+8=6,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【變式11］已知橢圓方程為京+^=l(a>b>0),點(0,1)在橢圓上，右焦點為尸，過原點的直線與橢圓

交于48兩點，若|ZF|+|BF|=4,則橢圓的方程為()

A%22dn%22d/y22y2

A.—+y2=1B.—+y2=1C.—+—=1D.—x+—=1

4z2〃3243

【變式12】求中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點￡),。(0,的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

【變式13］已知F(魚,0)是橢圓E:京+a=l(a>b>0)的右焦點，且E過點(a,1),則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方

程為.

【變式14］過點(3,2)且與橢圓3/+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為()

/y2%2v2%2v2

Af=1元=D.土+匕=1

B-?+1c?R+G=i105

?過關(guān)測試

22

1.已知曲線C：工-廿J=_］,則"4/左<5”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的()條件.

k~53—k

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

2.已知橢圓C的焦點為Fi(O,—2),6(0,2).過點F2的直線與C交于48兩點.若△4B0的周長為12,則

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.M=1B.*=lC.立+片=1D'套+竟=1

3632

3.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()

x2W1

2C.；+y=1D.g+x2=1

A-4+3=1B.j+y=1

4已知方程4/+ky2=1的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為

5.已知9是三角形的一個內(nèi)角，且sin0+cos0=0.5,則方程尤-y2cose=l表示曲線是焦點在.

6.經(jīng)過兩點4(0,2)、B(1,百)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

7.求與橢圓=+]=1有相同焦點，且過點(3,，石)的橢圓方程.

題型三：第二定義及焦半徑公式

基礎(chǔ)知識

第二定義之“比”

平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)e(O<e<l)的點的軌跡，其中，定點為焦點,

定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做離心率.

橢圓方程的推導(dǎo)設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，定點為耳(-C,O),定直線為x=2/,常數(shù)e=￡c,由

ca

上述橢圓的定義可得：也？2,,直譯變形即可.

aa

---x

c

橢圓的定義式方程

c

第二定義：

aa

-----x

【例11.設(shè)動點P到直線x=2的距離與它到定點(1,0)的距離之比為后,則P的軌跡方程.

【變式11】已知動點尸(x,V)滿足loJ(x-l)2+(y-2)2=|3x+4y+2],則動點尸的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.無法確定

【變式12].已知/(-1,o),B(1,0),點c(x,y)滿足：+y則3cHsc尸

Ix-4|2

［例2］已知橢圓9+?=1的左右焦點分別為6，尸2,若過點P（o,-2）及6的直線交橢圓于A,B兩點，求

\AB\.

【變式21］已知橢圓總+卷=1，若過左焦點的直線交橢圓于2,B兩點，且4,B兩點的橫坐標(biāo)之和是-7,

求|明.

【變式22］已知橢圓內(nèi)有一點a1,1）,尸為右焦點，橢圓上的點M求使得|MP|+J|MF|的值

Zbloa

最小時點例的坐標(biāo).

?過關(guān)測試

1.點M與定點尸（2,0）的距離和它到直線x=8的距離的比是1：2,則點M的軌跡方程

2.已知橢圓真+'=l（a>b>0）,若過左焦點的直線交橢圓于A,B兩點，求|4B］.

題型四：第三定義

基礎(chǔ)知識

第三定義之“積”

已知坐標(biāo)軸上關(guān)于原點對稱的兩個定點，那么，到這兩定點連線的斜率之積為定值/-l（O<e<l）的點

的軌跡是橢圓，其中，定點為短軸或長軸頂點.【求軌跡的話，得去掉兩個定點！】

2

橢圓方程的推導(dǎo)設(shè)M（x,y）是橢圓上任意一點，兩個定點為4（-。，°）、4（。，。），定直線為尤=幺，

C

CY2V2V2/,2

常數(shù)e=￡,由上述橢圓的定義可得：將■+與=l（a>匕>0）,變形成——-----=二,于是可得，橢

aa'b"（X-a）（x+a）a"

圓上動點到兩頂點（-匹0）、（a,0）的連線的斜率之積等于常數(shù).

注這個定義有bug,可以不必深究，你只需要清楚地知道，第三定義實質(zhì)是對稱點點差法的一個特例

而已，后面的雙曲線也是類似！

22

【例工】橢圓c：f黃1的左、右頂點分別為人，4,點P在C上且直線PA2的斜率的取

值范圍是［-2,-1］,那么直線PAI斜率的取值范圍是（）

A-[1■IlB.1]C,[1,|]D,[|.|]

22

【變式11］已知4夕是橢圓金J，^=i（0Vb<5）的左右頂點,若橢圓￡上存在點例滿足\仙/皿〈一生

25b29

則橢圓P的離心率的取值范圍為（）

A.(0,警B.(0,C.，1)D.，1)

【變式12】已知點A(-2,0),3(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與3M的斜率之積為-〈，則M的軌跡方

程為__________

22

【例2】已知橢圓C：=+[=l(a>6>0)的左、右焦點分別為4(-2,0),外(2,0),力為橢圓C的左頂點，

ab

以月月為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點分別為M,N,若直線/例，//V的斜率之積為;，則橢

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22

X2?”11

丁+yt------T--------1

A.3B.62C.95D.84

r22

【變式21】已知過坐標(biāo)原點。且異于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與+v與=1(〃>6>0)于P，"兩點，。為。尸中點,

ab

過。作X軸垂線，垂足為8,直線交橢圓于另一點N,直線PM,PN的斜率分別為,若左芯=-：,

則橢圓離心率為()

A-1B-fC-TD-T

22

【變式22]已知橢圓c++a=l(a>b>0)的右頂點為工,上、下頂點分別為Bi,B2,M是4%的中

點，若*.*=一1，則橢圓C的離心率為()

AV3B

A.—-TC.|D.日

3

【變式23]已知A,8是橢圓/+力=13＞匕＞0）長軸的兩個端點，M,N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直

線AM8N的斜率分別為如Wifo^O）,若橢圓的離心率為V，則四+咫|的最小值為（）

A.1B.y[2C.孚D.小

?過關(guān)測試

1.已知平行四邊形ABC。內(nèi)接于橢圓Q：H=l（a〉b〉O）,且AB,斜率之積的范圍為

22

2.設(shè)橢圓=+與=1（。＞6＞0）長軸的兩個頂點分別為A、3,點C為橢圓上不同于A、3的任一點，若將

ab

AABC的三個內(nèi)角記作A、B、C,且滿足3tanA+3tan6+tanC=0,則橢圓的離心率為（）

V2

3.設(shè)橢圓C：—+=1（?！担?）的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP.BP的斜率分

a

9

別為m,n，則當(dāng)搟3-2+—+3（ln|加|+ln|〃|）取得最小值時，橢圓C的離心率為（）

3mnrm

1V24V3

A.—B.---C.一D.——

5252

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別為（-4,0）,（4,0）,點M（x,y）為坐標(biāo)系內(nèi)一點，若直線AM與

Q

直線BM的斜率的乘積為-三,則點M的軌跡方程

22

5.已知橢圓C：谷+卷=l（a>6>0）,經(jīng)過原點0的直線交C于A,B兩點.P是C上一點（異于點A,B）,

a2b2

直線BP交x軸于點D.若直線AP,BP的斜率之積為短且NBDO=ABOD,則橢圓C的離心率為

題型五：最大角的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

在橢圓中有兩個比較特殊的角，一個是短軸上的一個頂點到兩焦點的張角,另一個是短軸上的一個頂點

到長軸上兩個頂點的張角，它們都是橢圓上任意一點到這兩對點的所有張角中最大的角，這兩個最大張角有

重要的應(yīng)用，相關(guān)結(jié)論及證明如下：

22

結(jié)論1：已知片，尸2為橢圓j+鼻=1（。>b>0）的兩個焦點,P為橢圓上任意一點,則當(dāng)點P為橢圓短軸

ab

的端點時，/耳尸耳最大.

【證明】加圖所示，設(shè)|尸制=優(yōu),|尸引=〃，則:m+〃=4,國引=2c,

所以=片.（當(dāng)機=〃時取等號）

陷「+|叫『-百引|2m2+n2-（2c）2（m+n）2-2mn—（2c）2

由余弦定理得：

COSZFXPF2=

2|即||相2mn2mn

=荷*一］上］=

2mn2mna1

當(dāng)機=〃即|P聞=|P用時取等號,所以當(dāng)|尸周=|P周時,cos/耳P5的值最小,

又因為兀），所以此時/與P5最大.即點尸為橢圓短軸的端點時/耳P吊最大

22

結(jié)論2:已知A,3為橢圓二+'=1（。>6>0）長軸上的兩個頂點,Q為橢圓上任意一點,則當(dāng)點Q為橢

ab

圓短軸的端點時,ZAQB最大.

【證明】如圖，設(shè)。（羽y）（04x<a,0<y4b）,過點Q作垂足為P,則AP=a+x,3P=a—尤，

PQ=y，所以tanZAQP=—,tanNBQP=什，則

yy

y

2a

tanNAQB=tan/AQP+tan/%P=?,=「a?,

1-tanZAQP'tan/BQPa2—x2x2+y—a2

因為無2=/所以tan/AQB=2a

b小

4jr

又因為1—^<0,ZAQBe(—，兀)

b2

所以當(dāng)y=6時，tan/AQB取得最大值，此時ZAQB最大.

即當(dāng)點。為橢圓短軸的端點時，ZAQB最大.

【例1】點"是橢圓上任意一點，R,Q分別是橢圓的左、右焦點，4月所的最大值是60。，則橢圓的離心

率e=.

22

【變式已知橢圓三+4=1(a>b>0)的兩個焦點分別為匕F2,若橢圓上不存在點P,

ab

使得4FFF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0,B.1)C,(0,y)D,[—,1)

【變式12］已知A，E是橢圓C：￥3=l（a>b>0）的兩個焦點，點M在。上，若使△MAE為直

ay

角三角形的點M有8個，則。的離心率的范圍是（）

22

【變式13］已知月，后是橢圓G二?三=l（a>b>0）的左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓。有

公共點，則。的離心率的最小值為（）

A.1B.1

32

?過關(guān)測試

L設(shè)A,B是橢圓C:J+5=1長軸的兩端點，若C上存在點M滿足乙4MB=120。，則m的取值范

圍是（）

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+^)C,(0,l]U[4,+oo)D,(0,遮]U[4,+8)

22

2.已知匕F2是橢圓C：得~+工-=1的兩個焦點，在C上滿足玩?玩=0的點P的個數(shù)為（）

8412

A.0B.2C.4D.無數(shù)個

3.已知F\、后是橢圓的兩個焦點，滿足癡，ME的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0,y)B.(0,喙)C.(1,冬D.號，1)

4.在橢圓[+[=1上有一點R0尸2是橢圓的左、右焦點，ARPF2為直角三角形，這樣的點戶有

4Z

)

A.2個B.4個C.6個D.8個

22

5.已知橢圓—+一=1,5K是它的兩個焦點，點P為其上的動點，當(dāng)/片尸耳為鈍角時，求點尸橫坐標(biāo)

94

的取值范圍________.

___y2-2-I

6.已知P為橢圓京+f琶=l(a>b>0)上一點，是其左右焦點，N&PF2取最大時=|,

則橢圓的離心率為.

題型六：橢圓上的點到焦點距離最值

22

【例1】已知P是橢圓三+三=1(a>b>0)上一點，匕、F2分別是橢圓的左、右焦點，若△PFR

ab2

的周長為6,且橢圓的離心率為去，則橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離為()

A.LB.1C.WD.2

22

22

【變式11】已知6,尸2分別為橢圓C：^+?=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，則|P6『+|p4|2—

oN

2IP&IIPF2I的最大值為()

A.64B.16C.8D.4

【變式12】橢圓C的兩個焦點分別是匕F2,若C上的點P滿足|pFi|=|dF]F2l，則橢圓C

的離心率e的取值范圍是()

A.B.e^-^-C.D.0<e4[或1

?過關(guān)測試

22

1.已知橢圓C：=4X^=1(a>6>0)上存在點尸，使得甲尸i[=4|P尸2],其中為，尸2是橢圓C的兩個焦點,

則橢圓C的離心率的取值范圍是()

A.(0,.2]B.(2,1)C.(3,1)D.[3,1)

5555

22

2.已知為，尸2分別是橢圓M：三三=1(a>6>0)的左、右焦點，點尸在橢圓M上，且|「為|-|P尸2|=

4b,則M的離心率的取值范圍為(

22

3.設(shè)橢圓上kJ5=l（a>b>0）的左、右焦點分別為尸1、Fi,P是橢圓上一點，

I??!I=|PF2|（1<^<3）>NF]PF2=￡-，則橢圓離心率的取值范圍為（）

22

4.已知橢圓C：-工=1的左焦點為月戶為C上任意一點，則|用的最大值為（）

259

A.5B.9C.10D.18

題型七：通徑的應(yīng)用

過焦點的所有弦長中，通徑最短

22

【例1】設(shè)后，E分別是橢圓號（3>/?>0）的左右焦點,過6的直線與橢圓交于/、6兩點，若

△Z6E的周長為16,且|力用的最小值為2,則橢圓的方程為（）

22222222

A.「上=1B.=4=1C.=上=1D.=工=]

1681646486416

22

【變式11】已知橢圓二+谷=1（。〉匕〉0）的焦點分別為片，F(xiàn)、，點A，8在橢圓上，于

ab

B，|AB|=4,閨閭=2百，則橢圓方程為

V2222222

A.--------,2=]B.±+JC.±+J。.工+匕=1

33296129

【變式12]過橢圓卷+產(chǎn)7

1的左焦點作直線和橢圓交于48兩點，且|AB|=§,則這樣直線的條數(shù)為

)

A.0B.1C.2D.3

?過關(guān)測試

1.過橢圓M+[,2=l（a>b>0）的焦點廠（c，0）的弦中最短弦長是（）

ab

A.空D2/

D.--------C.—D

aba-V

22

2.橢圓1+==1的焦點為片、工，點M在橢圓上且軸，則寫到直線修"的距離為（）

43

A.fB.3C.;D.3立

5311

3.橢圓焦點為&,F2,過a的最短弦PQ長為10,4PF2Q的周長為36,則此橢圓的離心率為

題型八：焦點三角形面積及周長

【例1】已知橢圓的焦點是R（0,-V3）,F（0,V3）,離心率e呼

2若點P在橢圓上，且

PF7*PF^=-1,則4FFF2的大小為（）

A予.看CTDT

22

【變式11】FF?是橢圓,+q-=i的兩個焦點，A為橢圓上一點，且向量訪與正忘的夾角

為之三，則4人巳尸2的面積為（）

4

A.7B.工C.-D.

422

22

【變式12】設(shè)橢圓彳+臺」的左右焦點分別為R,Fz,點P在橢圓上，若而.呵=去1r貝1]|

畫,畫仁（）

A.2B.3C.工D.2

22

22

【變式13】變式13.己知尸1,尸2是橢圓C：J+，=l(a〉b>0)的兩個焦點，P為C上一點,且/

FIPF2=60°,\PFI\^5\PF2\,則C的離心率為()

A.叵B.C.1D.2

6223

22

1的兩個焦點，點P在C上，COS/FIPF2=3,則

【例2】設(shè)。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)i,尸2為橢圓C：xy=

965

\OP\=()

A.運B.「13D.11

2255

22

【變式21］已知P為橢圓C：N/y=l(a>b>