新課改瘦專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第五節(jié)拋物線講義含解析

PAGEPAGE8第五節(jié)拋物線突破點(diǎn)一拋物線的定義及其應(yīng)用eq\a\vs4\al([基本學(xué)問(wèn)])拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．eq\a\vs4\al([基本實(shí)力])一、推斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡肯定是拋物線．()(2)AB為拋物線y2＝4x的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，y1y2＝－4，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋2.()答案：(1)×(2)√二、填空題1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(2,0)的距離和它到直線l：x＝－2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．答案：y2＝8x2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝________.答案：13．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)_______．答案：eq\f(5,4)eq\a\vs4\al([全析考法])考法一拋物線的定義及應(yīng)用[例1](1)(2024·贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)(2)(2024·襄陽(yáng)測(cè)試)已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點(diǎn)N，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)[解析](1)過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．(2)如圖，過(guò)N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.依據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq\r(2).故選C.[答案](1)D(2)C[方法技巧]利用拋物線的定義解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)敏捷地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)當(dāng)想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)當(dāng)想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問(wèn)題的有效途徑．考法二焦點(diǎn)弦問(wèn)題焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90°；(7)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線．[例2](2024·長(zhǎng)沙四校聯(lián)考)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且eq\o(FM,\s\up7(→))＝3eq\o(FP,\s\up7(→))，則|eq\o(FP,\s\up7(→))|＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)[解析]如圖，不妨設(shè)Q點(diǎn)在第一象限，過(guò)P作PN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為N，由拋物線定義可知|PF|＝|PN|，又因?yàn)閑q\o(FM,\s\up7(→))＝3eq\o(FP,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))＝2eq\o(FP,\s\up7(→))，所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，在Rt△PNM中，cos∠MPN＝eq\f(|PN|,|PM|)＝eq\f(1,2)，由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知|eq\o(PF,\s\up7(→))|＝eq\f(p,1＋cos∠MPN)＝eq\f(2,1＋\f(1,2))＝eq\f(4,3).故選C.[答案]C[方法技巧]焦點(diǎn)弦問(wèn)題的求解策略解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，解題時(shí)，設(shè)出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，再利用已知條件求解．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選B設(shè)P(xP，yP)，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，∴由拋物線的定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.故選B.2.eq\a\vs4\al([考法二])已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A.2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：選C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).故選C.3.eq\a\vs4\al([考法一])已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．解析：依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.答案：5突破點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本學(xué)問(wèn)])圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)eq\a\vs4\al([基本實(shí)力])一、推斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).()(2)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．()(3)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線肯定相切．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是________．答案：y2＝－22x2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為_(kāi)_______．答案：－eq\f(1,4)3．已知F是拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)，若拋物線上的點(diǎn)A到x軸的距離為5，則|AF|＝________.答案：7eq\a\vs4\al([全析考法])考法一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1](1)(2024·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4eq\r(3)，則拋物線的方程為()A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝eq\f(15x,2)(2)(2024·江西協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x[解析](1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝eq\f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋eq\f(p,2)＝2p，所以x＝eq\f(3,2)p，所以y＝±eq\r(3)p，又△MFO的面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x.(2)由已知得拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得eq\o(AF,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故選C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]求拋物線方程的3個(gè)留意點(diǎn)(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)依據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種．(2)要留意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)要留意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題．考法二拋物線的幾何性質(zhì)[例2](1)(2024·蘭州雙基過(guò)關(guān)考試)拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為10，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．4 B．8C．16 D．32(2)(2024·贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p的值為()A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)(p＞0)，如圖，則依據(jù)拋物線的性質(zhì)有|PF|＝eq\f(p,2)＋6＝10，解得p＝8，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8.(2)不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝2x0，,S△OAF＝\f(1,2)·\f(p,2)·y0＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(p,2)，,y0＝\f(4,p)，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(4,p)))，又∵點(diǎn)A在拋物線y2＝2px上，∴eq\f(16,p2)＝2p×eq\f(p,2)，即p4＝16，又∵p＞0，∴p＝2，故選B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]用拋物線幾何性質(zhì)的技巧涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思索，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝－x