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2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末綜合素質(zhì)調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘,試卷滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分、在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的)1.如圖所示標(biāo)志中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是()A.B. C. D.解:A.圖形不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形,不符合題意;B.圖形既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形,符合題意;C.圖形不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形,不符合題意;D.圖形既不是中心對(duì)稱圖形,也不是軸對(duì)稱圖形,不符合題意,故選:B.2.將拋物線y=﹣(x﹣3)2+5向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()A.y=﹣(x﹣5)2﹣1 B.y=﹣(x﹣1)2﹣1 C.y=﹣(x﹣5)2+11 D.y=﹣(x﹣1)2+11解:將拋物線y=﹣(x﹣3)2+5向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣(x﹣3﹣2)2+5﹣6,即y=﹣(x﹣5)2﹣1.故選:A.3.如圖,D是△ABC邊AB上一點(diǎn),連接CD,則添加下列條件后,仍不能判定△ACD∽△ABC的是()A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C. D.AC2=AD?AB解:A.當(dāng)∠ACD=∠B時(shí),再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此選項(xiàng)不符合題意;B.當(dāng)∠ADC=∠ACB時(shí),再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此選項(xiàng)不符合題意;C.當(dāng)時(shí),再由∠A=∠A,無(wú)法判定△ACD∽△ABC,故此選項(xiàng)符合題意;D.當(dāng)AC2=AD?AB,即時(shí),再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此選項(xiàng)不符合題意.故選:C.4.拋物線y=x2+3x﹣1與x軸交點(diǎn)的情況是()A.有交點(diǎn) B.沒(méi)有交點(diǎn) C.有一個(gè)交點(diǎn) D.有兩個(gè)交點(diǎn)解:∵拋物線y=x2+3x﹣1,則Δ=b2﹣4ac=9﹣4×1×(﹣1)=13>0,∴拋物線y=x2+3x﹣1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).故選:D.5.如圖,在8×5的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.若點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則cosB的值為()A. B. C. D.解:過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為M,因?yàn)槊總€(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則由勾股定理得,,.在Rt△ABM中,.故選:C.6.如圖,以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC(∠ACB=90°)量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°,則∠BCD的度數(shù)為()A.30° B.50° C.40° D.80°解:設(shè)AB的中點(diǎn)為O,連接OD,如圖所示:∵以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC,∴A、C、B、D四點(diǎn)共圓,∵量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°,∴∠BOD=180°﹣100°=80°,∴∠BCD=∠BOD=40°.故選:C.7.在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí),小明過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BC,取AB的中點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心,BM為半徑畫弧交射線BC于點(diǎn)D,連接AD,再以點(diǎn)D為圓心,DB為半徑畫弧,前后所畫的兩弧分別與AD交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),最后,以A為圓心,“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn),這里的“■■”指的是線段()A.AF B.DF C.AE D.DE解:根據(jù)作圖可知,∠ABD=90°,,設(shè)DB=DF=a,則AB=2a,∴根據(jù)勾股定理可得:,∴,∴,∴以A為圓心,“AF”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn),故A正確.故選:A.8.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,若AB=10,CD=3,EF=5,則CF:FB等于()A.2:7 B.5:7 C.3:7 D.2:5解:過(guò)D作DG∥BC交AB于G,交EF于H.則BG=FH=CD=3,∴EH=EF﹣FH=2,AG=7,∵AB∥EF,∴EH:AG=2:7=DE:AD=CF:CB,∴CF:FB=2:5.故選:D.9.某拋物線型拱橋的示意圖如圖所示,水面AB=48m,拱橋最高處點(diǎn)C到水面AB的距離為12m,在該拋物線上的點(diǎn)E,F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈(點(diǎn)E,F(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱),警示燈F距水面AB的高度是9m,則這兩盞燈的水平距離EF是()A.24m B.20m C.18m D.16m解:設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+12,由題意可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣24,0),∴0=a×(﹣24)2+12,解得a=﹣,∴y=﹣x2+12,當(dāng)y=9時(shí),9=﹣x2+12,解得x1=12,x2=﹣12,∴點(diǎn)E(﹣12,9),點(diǎn)F(12,9),∴這兩盞燈的水平距離EF是12﹣(﹣12)=12+12=24(米),故選:A.10.如圖,在△ABC中,D、E是BC邊的三等分點(diǎn),BF是AC邊的中線,AD、AE分別與BF交于點(diǎn)G、H,若S△ABC=1,則△AGH的面積為()A. B. C. D.解:如圖,過(guò)F作PF∥BC,交AE于P,過(guò)H作HQ∥BC,交AD于Q,∴,∵BF是AC邊的中線,∴AF=FC,∴AP=PE,∴CE=2PF,∵D、E是BC邊的三等分點(diǎn),∴BD=DE=EC,∴BE=4FP,∵FP∥BE,∴△PFH∽△EBH,∴,∴,∵HQ∥BE,∴△AQH∽△ADE,△HGQ∽△BGD,∴,∴,∴FH:HG:GB=2:3:5,∵AF=FC,∴,∴.故選:C.二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分本)11.如圖,河堤橫斷面迎水坡BC的坡比是1:,堤高AC=5m,則坡面BC的長(zhǎng)度是10m.解:Rt△ABC中,AC=5m,tanB=1:;∴AB=AC÷tanB=5m,∴BC===10m.答:坡面BC的長(zhǎng)度是10m,故答案為:10m.12.已知反比例函數(shù)y=的圖象上有三個(gè)點(diǎn)(2,y1),(3,y2),(﹣1,y3),y1,y2,y3大小關(guān)系是y3>y2>y1.解:∵反比例函數(shù)的比例系數(shù)為﹣k2﹣1,∴圖象的兩個(gè)分支在二、四象限;∵第四象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo),點(diǎn)(﹣1,y3)在第二象限,點(diǎn)(2,y1)和(3,y2)在第四象限,∴y3最大,∵2<3,y隨x的增大而增大,∴y1<y2,∴y3>y2>y1.故答案為y3>y2>y1.13.如圖,D、E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=2:3,則S△DOE:S△AOC=4:25.解:∵S△BDE:S△CDE=2:3,∴,∴,∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴,∵DE∥AC,∴△ODE∽△OCA,∴,即S△DOE:S△AOC=4:25,故答案為:4:25.14.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)(4,0),其對(duì)稱軸為直線x=1,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論,①abc>0;②3a+c<0:③x>0時(shí),y隨x的增大而增大;④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=a﹣5沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則;⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,總有am2+bm﹣a﹣b≥0.其中正確的結(jié)論有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)解:由圖象可知:拋物線開(kāi)口向上,則a>0,對(duì)稱軸,則b=﹣2a<0,c<0,∴abc>0,所以①正確;拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(4,0),則另一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,聯(lián)立,解得,∴3a+c=3a﹣8a=﹣5a<0,所以②正確;當(dāng)x>1圖象在對(duì)稱軸右側(cè),開(kāi)口向上,y隨x的增大而增大,所以③錯(cuò)誤;若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=a﹣5沒(méi)有實(shí)數(shù)根,即:ax2﹣2ax﹣8a=a﹣5,亦即ax2﹣2ax﹣9a+5=0,∴Δ=4a2﹣4a(﹣9a+5)<0,即:40a2﹣20a<0,亦即:,∵a>0,∴,所以④正確;對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,總有am2+bm﹣a﹣b=am2﹣2am﹣a+2a=am2﹣2am+a=a(m﹣1)2≥0,故⑤正確.綜上所述,正確的結(jié)論有:①②④⑤.三.解答題(共9小題)15.計(jì)算:.解:=2×﹣×﹣=﹣﹣2=﹣2.16.已知線段a,b,c滿足a:b:c=1:3:5,且a﹣b+c=6.(1)求線段a,b,c的長(zhǎng);(2)若線段m是線段a,b的比例中項(xiàng),求線段m的長(zhǎng).解:(1)設(shè)a=k,b=3k,c=5k,∴a﹣b+c=6,即k﹣3k+5k=6,解得:k=2,∴a=2,b=6,c=10;(2)由(1)知a=2,b=6,又因?yàn)閙是a,b的比例中項(xiàng),∴m2=ab,即m2=12,∴,∵m>0,∴.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(﹣1,2),請(qǐng)你分別完成下面的作圖.(1)以原點(diǎn)O為位似中心,在第四象限內(nèi)作出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC的相似比為2:1(點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1、B1、C1);(2)以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A2B2C2(點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A2、B2、C2).解:(1)如圖1所示,△A1B1C1即為所求;;(2)解:如圖2所示,△A2B2C2即為所求.18.“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素,在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用,例如古典園林中的門洞.如圖,某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為2.5m,地面入口寬為1m,求該門洞的半徑.解:設(shè)該門洞的半徑的半徑為rm,如圖,過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CO交圓O于點(diǎn)D,連接OA,則CD=2.5m,OC=(2.5﹣r)m,AC=BC=AB=×1=0.5(m),在Rt△AOC中,由勾股定理得:0.52+(2.5﹣r)2=r2,解得:r=1.3,答:該門洞的半徑為1.3m.19.如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰好在半圓上,過(guò)C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,求AC的長(zhǎng).解:∵AB為直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠B=∠ACD,∵cos∠ACD=,∴cos∠B=,∴tan∠B=,∵BC=4,∴tan∠B=,∴=∴AC=.20.如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB:y=x﹣2與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(3,m)和(﹣1,n).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)請(qǐng)直接寫出不等式x﹣2>的解集;(3)點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=圖象的任意一點(diǎn),若S△POC=3S△AOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(1)把點(diǎn)A(3,m)代入直線y=x﹣2得:m=1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為:A(3,1),∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A,∴k=3×1=3,即反比例函數(shù)的解析式為,(2)由(1)得:點(diǎn)A的坐標(biāo)為:A(3,1),同理可求,點(diǎn)B的坐標(biāo)為:B(﹣1,﹣3),∴不等式的解集為﹣1<x<0或x>3;(3)把y=0代入y=x﹣2得:x=2,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為:C(2,0),∴,∵S△POC=3S△AOC,∴,∴|yP|=3,當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3時(shí),則,解得x=1,當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣3時(shí),則,解得x=﹣1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(﹣1,﹣3).21.為保護(hù)青少年視力,某企業(yè)研發(fā)了可升降夾書閱讀架(如圖1),將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖(如圖2),測(cè)得底座高AB為2cm,∠ABC=150°,支架BC為18cm,面板長(zhǎng)DE為24cm,CD為6cm.(厚度忽略不計(jì))(1)求支點(diǎn)C離桌面l的高度;(結(jié)果保留根號(hào))(2)當(dāng)面板DE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),面板與桌面的夾角α滿足30°≤α≤70°時(shí),保護(hù)視力的效果較好.當(dāng)α從30°變化到70°的過(guò)程中,面板上端E離桌面l的高度增加還是減少?面板上端E離桌面l的高度增加或減少了多少?(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)M,∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°.由題意得:∠BAF=90°,∴四邊形ABMF為矩形,∴MF=AB=2cm,∠ABM=90°.∵∠ABC=150°,∴∠MBC=60°.∵BC=18cm,∴CM=BC?sin60°=18×=9(cm).∴CF=CM+MF=(9+2)cm.答:支點(diǎn)C離桌面l的高度為(9+2)cm;(2)過(guò)點(diǎn)C作CN∥l,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CN于點(diǎn)H,∴∠EHC=90°.∵DE=24cm,CD=6cm,∴CE=18cm.當(dāng)∠ECH=30°時(shí),EH=CE?sin30°=18×=9(cm);當(dāng)∠ECH=70°時(shí),EH=CE?sin70°≈18×0.94=16.92(cm);∴16.92﹣9=7.92≈7.9(cm)∴當(dāng)α從30°變化到70°的過(guò)程中,面板上端E離桌面l的高度是增加了,增加了約7.9cm.22.如圖,在斜坡底部點(diǎn)O處安裝一個(gè)的自動(dòng)噴水裝置,噴水頭(視為點(diǎn)A)的高度(噴水頭距噴水裝置底部的距離)是1.8米,自動(dòng)噴水裝置噴射出的水流可以近似的看成拋物線.當(dāng)噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時(shí),達(dá)到最大高度5米.(1)求拋物線的解析式;(2)斜坡上距離O水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹(shù)NM,MN垂直水平地面且M點(diǎn)到水平地面的距離為2米.①記水流的高度為y1,斜坡的高度為y2,求y1﹣y2的最大值(斜坡可視作直線OM);②如果要使水流恰好噴射到小樹(shù)頂端的點(diǎn)N,直接寫出自動(dòng)噴水裝置應(yīng)向后平移(即拋物線向左)多少米?解:(1)由題可知:當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí),達(dá)到最大高度5米,∴可設(shè)水流形成的拋物線為y=a(x﹣8)2+5,將點(diǎn)(0,1.8)代入可得,∴拋物線為,(2)①由題可知M點(diǎn)坐標(biāo)為(10,2),設(shè)直線OM的解析式為y=kx,把點(diǎn)M的坐標(biāo)(10,2)代入得:10k=2,解得,∴直線OM解析式為:,∴,∴y1﹣y2的最大值為.②設(shè)噴射架向后平移了m米,則平移后的拋物線可表示為,將點(diǎn)N(10,3.75)代入得:,解得:m=3或m=﹣7(舍去),∴噴射架應(yīng)向后移動(dòng)3米.23.(1)問(wèn)題如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)
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