廣東省汕頭市潮陽(yáng)一中明光學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

潮陽(yáng)一中明光學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次檢測(cè)數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到集合，然后求交集.【詳解】由，解得，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.已知，若，則a的值為（）A. B. C.1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行的公式求解即可.【詳解】若，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，重合；故故選：C4.已知函數(shù)在處有極大值，則c的值為（）A.2 B.6 C.2或6 D.0【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0求出值并驗(yàn)證即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以.故選：B5.“”是“函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出有且只有一個(gè)零點(diǎn)條件，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】首先已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)1，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，則無(wú)零點(diǎn)，即（）無(wú)解，時(shí)，，所以或，因此是有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的充分而不必要條件．故選：A．6.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)周期為4，則B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為C.若函數(shù)在單調(diào)，則有最大值2D.若函數(shù)可以由先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍得到，則【答案】C【解析】【分析】利用周期公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，再由對(duì)稱(chēng)軸方程可判斷D錯(cuò)誤，由余弦函數(shù)單調(diào)性計(jì)算可得C正確，根據(jù)平移規(guī)則可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，若函數(shù)周期為4，可得，解得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足，解得，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，若函數(shù)在單調(diào)，可得，解得，即有最大值2，可得C正確；對(duì)于D，先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍可得，若能得到函數(shù)，可得，此時(shí)無(wú)解，即D錯(cuò)誤.故選：C7.已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與的漸近線(xiàn)及右支分別交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知為的中點(diǎn)，且，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋芍獮榈闹悬c(diǎn)，且為的中點(diǎn)，可知∥，又因?yàn)?，可知，則，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，可得，由可得，整理得，則，整理得，所以的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．橢圓、雙曲線(xiàn)離心率（離心率范圍）的求法：求橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用：在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線(xiàn)的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．8.定理：如果函數(shù)及滿(mǎn)足：①圖象在閉區(qū)間上連續(xù)不斷；②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，滿(mǎn)足成立，該定理稱(chēng)為柯西中值定理.請(qǐng)利用該定理解決下面問(wèn)題：已知，若存在正數(shù)，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，令，對(duì)求導(dǎo)，求出的值域，即可得出答案.【詳解】由可得：，令，所以由柯西中值定理可知：那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，滿(mǎn)足成立，因?yàn)?，，所以，，所以令，，，令可得：或，令可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，趨近，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機(jī)從采摘好的哈密瓜中挑選了100個(gè)稱(chēng)重（單位：），并整理數(shù)據(jù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論正確的是（）A.B.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于1.6kg的比例為30%C.估計(jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間D.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于1.5kg至1.6kg之間【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)概率和為，可得，進(jìn)而根據(jù)頻率分布直方圖得到對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可得.【詳解】選項(xiàng)A：，解得，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于的比例為，B正確；選項(xiàng)C：低于的概率為，低于的概率為，故估計(jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于至之間，C正確；選項(xiàng)D：低于的概率為，低于的概率為，估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于至之間，D正確.故選：BCD10.如圖，長(zhǎng)方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則下面選項(xiàng)正確的是（）A.直線(xiàn)與平行B.四面體的體積為定值C.點(diǎn)到平面的距離為D.異面直線(xiàn)與所成的角為【答案】ABC【解析】【分析】連接，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即可判斷A；證明平面，再根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷B；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，因?yàn)槭莻?cè)面的中心，是底面的中心，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以在中，為的中位線(xiàn)，即，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋矫嫫矫?，所以平面，又點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，所以四面體的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，得，則，所以點(diǎn)到平面的距離，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，,則，故異面直線(xiàn)與所成的角不為，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，則（）A. B.C.為銳角三角形 D.的最大值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)余弦定理、商關(guān)系、二倍角公式和基本不等式計(jì)算分別判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，結(jié)合余弦定理推論可得，，化簡(jiǎn)得，解得（舍）或，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，又，所以，B正確；對(duì)于C，是鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，解得，根據(jù)余弦定理可得，代入得利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，D錯(cuò)誤；故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.從集合中取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，則不同的對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】52【解析】【分析】先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得到個(gè)對(duì)數(shù)，再排除掉相等的對(duì)數(shù)值，得到答案.【詳解】第一步，取底數(shù)，有8種取法；第二步，取真數(shù)，有7種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共得到個(gè)對(duì)數(shù)．但在這些對(duì)數(shù)中，，，，，所以可以得到個(gè)不同的對(duì)數(shù)值．故答案為：5213.已知向量，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先表示出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示、三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，且.故答案為：14.數(shù)列滿(mǎn)足，則______；記為的前n項(xiàng)和，若關(guān)于n的方程有解，則正整數(shù)的所有取值為_(kāi)_____．【答案】①.②.7和9【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為整數(shù)的討論.【詳解】解法一：由，得．①當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，有．②①－②得，即．因?yàn)榉?，所以，．因?yàn)?，所以顯然為10的約數(shù)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.綜上，正整數(shù)的所有取值為7和9．解法二：由．①當(dāng)時(shí)，有，②，所以．③①－③得，即．又，故．下同解法一．故答案為：；7和9四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列.且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，進(jìn)而得到所求；(2)由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和；(3)由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【小問(wèn)1詳解】是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公差為d，公比為，由，，，，可得，，解得：負(fù)的舍去，則，；【小問(wèn)2詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，，兩式相減可得，化為；【小問(wèn)3詳解】，則數(shù)列的前2n項(xiàng)和16.如圖，在四棱錐中，底面，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn).（1）若，平面與平面是否互相垂直？如果垂直,請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若底面為正方形，當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，求的值.【答案】（1）垂直，證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）由底面得，進(jìn)而由得平面，進(jìn)而得，又，可得平面，進(jìn)而可證；（2），，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法根據(jù)面面角可得，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1詳解】平面平面，證明如下：因平面，平面，故，又，，平面，故平面，因平面，所以，因，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，故，因，平面，故平面，又平面，故平面平面.【小問(wèn)2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，則，s設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則，由題意，解得，故.17.單項(xiàng)選擇與多項(xiàng)選擇題是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見(jiàn)題型，單項(xiàng)選擇一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分（兩個(gè)選項(xiàng)選對(duì)其中一個(gè)的得3分，三個(gè)選項(xiàng)選對(duì)其中一個(gè)的得2分，選對(duì)兩個(gè)得4分，只要選出錯(cuò)誤選項(xiàng)的就得0分）.（1）有一道單項(xiàng)選擇題考生甲不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求猜對(duì)本題并得5分的概率；（2）有一道多項(xiàng)選擇題乙不會(huì)做，這道題正確答案為ABD，他便隨機(jī)猜寫(xiě)答案（2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)），求考生乙本題剛好得4分的概率；（3）現(xiàn)有一道只有兩個(gè)正確選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，求這道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好是6分的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用列舉法可得共有10個(gè)樣本點(diǎn)，“猜對(duì)本題得4分”，有3個(gè)樣本點(diǎn)，利用古典概型的概率公式求解；（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三種情況，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解.【小問(wèn)1詳解】樣本空間，設(shè)“猜對(duì)本題得5分”，則.【小問(wèn)2詳解】樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)“猜對(duì)本題得4分”，，有3個(gè)樣本點(diǎn)，故.【小問(wèn)3詳解】記丙得分的事件為，丁得分為，其中由題意；記丙丁兩位考生總分剛好6分的事件為，易知由題意18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若在區(qū)間上存在極值，且此極值小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）先確定切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)斜率，依據(jù)點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程.（2）求導(dǎo)，對(duì)的不同取值進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.要注意：函數(shù)的定義域.（3）利用（2）的結(jié)論，可求問(wèn)題（3）.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.又，所以.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率為1，所以切線(xiàn)方程為即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得，在區(qū)間，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極小值，所以，解得，所以．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：19.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求四邊形EPFQ