河南省平頂山市葉縣高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024~2025學(xué)年下學(xué)期高二年級3月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章~第七章．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若函數(shù)，則（）A.3 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.2.某校舉辦運動會，某班級打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，則不同的選派方法數(shù)為（）A.20 B.35 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法原理結(jié)合條件即得.【詳解】根據(jù)分步乘法原理由題可得不同的選派方法數(shù)為(種).故選：D.3.設(shè)隨機變量，則值為（）A.1.2 B.1.8 C.2.4 D.3.6【答案】C【解析】【分析】由二項分布的方差公式計算．【詳解】．故選：C．4.已知函數(shù)，則的極小值點為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】的定義域為R，求導(dǎo)得，分析的符號，的單調(diào)性，極值點，即可得出答案．【詳解】解：的定義域為R，，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故選：B．5.甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)獨立事件概率求法求，，進(jìn)而求條件概率.【詳解】設(shè)甲獲勝事件A，比賽進(jìn)行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6.設(shè)，則（）A.120 B.84 C.56 D.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的展開式特征，列出的表達(dá)式，再利用組合數(shù)性質(zhì)計算作答.【詳解】由題意可知：，故選：A7.為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（）種.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用分類與分步計數(shù)原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學(xué)校和甲、丙不在同一所學(xué)校兩類，每類分別討論，最后相加得到結(jié)果.【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），分別對應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)?；虿辉谕凰鶎W(xué)校），共種排法；若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.8.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)滿足，構(gòu)造函數(shù)，得出的單調(diào)性，解不等式即可.【詳解】令，則，所以在R上單調(diào)遞增，由，得，即，又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有8項B.展開式中的常數(shù)項是70C.展開式中各項系數(shù)之和為0D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64【答案】BC【解析】【分析】利用二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項.【詳解】的展開式共有9項，故A錯誤；展開式中的常數(shù)項為，故B正確；令，則展開式中各項系數(shù)之和，故C正確；展開式中的二項式系數(shù)之和為，故D錯誤.故選：BC10.若隨機變量服從兩點分布，其中，、分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】寫出隨機變量的分布列，利用兩點分布的期望和方差以及期望的性質(zhì)可判斷各選項.【詳解】由題意可知，隨機變量的分布列如下表所示：所以，，，，.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為B.當(dāng)時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C.若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)可判斷A正確，由中心對稱圖形定義可判斷B正確，利用極值點定義與導(dǎo)函數(shù)零點之間的關(guān)系即可判斷C錯誤，將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)圖象交點個數(shù)可判斷D錯誤.【詳解】由，對于A選項，當(dāng)時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點；當(dāng)時，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時，；時，；及，可知當(dāng)時，關(guān)于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解D選項切線條數(shù)時，關(guān)鍵是將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)圖象交點個數(shù)即可得出結(jié)果.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，若，則實數(shù)的值為______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)得到方程，解出即可.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，解得．故答案為：1.13.已知函數(shù)，，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后結(jié)合正弦函數(shù)的取值分析即可.【詳解】因為，令，可得，而，，所以，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時函數(shù)最小為值，所以函數(shù)在的最小值分別為.故答案為：.14.商場里有兩個餐館，已知小明每天中午都會在這兩個餐館中選擇一個就餐，如果小明當(dāng)天選擇了某個餐館，他第二天會有的可能性換另一個餐館就餐，假如第1天小明選擇了餐館，則第31天選擇餐館的概率為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)全概率公式可得出，可得出，由此可得出數(shù)列為等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，即可求得.【詳解】設(shè)小明在第天選擇餐館的概率為，由題意可知，所以，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．15.已知函數(shù)在點處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.【小問1詳解】因為，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗適合題意，所以；【小問2詳解】由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取的極大值為，當(dāng)時，取得極小值為，又，，所以，．16.某大學(xué)社團(tuán)共有8名大學(xué)生，其中男生4人，女生4人，從這8名大學(xué)生中任選4人參加比賽．（1）設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件，求；（2）設(shè)所選的4人中男生和女生的人數(shù)分別為，記，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）先求出，，從而利用條件概率公式求出概率；（2）求出的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】男生甲沒有被選中，則從剩余的7人中任選4人，故，男生甲沒有被選中，且女生乙被選中，則從剩余的6人中選擇3人，故，所以；【小問2詳解】的情況一共有，故的可能取值為4,2,0，當(dāng)時，即選擇了4名男生或4名女生，則，當(dāng)時，即選擇了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生，則，當(dāng)時，即選擇了2名男生和2名女生，則，故隨機變量的分布列為420數(shù)學(xué)期望為.17.用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).（1）在組成的五位數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)有多少?（2）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30214排第幾個?（3）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字2和3相鄰的個數(shù)有多少?【答案】（1）60（2）51（3）36【解析】【分析】（1）將所有的偶數(shù)分為首位即最高位和末尾數(shù)均為偶數(shù)的數(shù)以及首位即最高位為奇數(shù)、末尾為偶數(shù)的數(shù)兩類，先依次排首位和末尾，再排剩下中間三位數(shù)即可得解（2）1或2排在首位的數(shù)較小，所以先求1或2排在首位的數(shù)的個數(shù)，再找出3在首位的接下來的三個數(shù)即可得解.（3）先將數(shù)字2和3捆綁在一起作為一個整體，相當(dāng)于現(xiàn)有4個數(shù)字在排列，根據(jù)最高位不為0，其余任意排即可求解.【小問1詳解】由題在組成的五位數(shù)中，所有的偶數(shù)有兩類：第一類是首位即最高位和末尾數(shù)均為偶數(shù)的數(shù)共有個，第二類是首位即最高位為奇數(shù)、末尾為偶數(shù)的數(shù)共有個，所以在組成的五位數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)有.【小問2詳解】1或2排在首位的數(shù)共有個，則接下來按從小到大排列的數(shù)是，所以在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30214排第51個.【小問3詳解】將數(shù)字2和3捆綁在一起作為一個整體，根據(jù)最高位不為0可得在組成的五位數(shù)中，數(shù)字2和3相鄰的個數(shù)有個.18.甲、乙兩人為了提升籃球的競技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個時，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；（ii）求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問至少進(jìn)行多少輪比賽后，乙累計得分的期望值達(dá)到3分？【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用相互獨立事件和對立事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（ii）記事件：甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個或個，事件：甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個，分別求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率，設(shè)輪比賽后，乙累計得分為，則，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】（i）因為甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進(jìn)球的概率為.（ii）由題知甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個或個，或甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個，乙獲得1分，記事件：甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個或個，事件：甲進(jìn)球個，乙進(jìn)球個，事件表示乙獲得1分，則，，易知互斥，所以.【小問2詳解】因為一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率為，設(shè)輪比賽后，乙累計得分為，則，由題知，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由，得到，所以至少進(jìn)行輪比賽后，乙累計得分的期望值達(dá)到3分，此時.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問，利用相互獨立事件的概率公式求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率，從而得到輪比賽后，乙累計得分滿足，再根據(jù)條件，即可求解.19.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）1（3）【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，并對分和討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)切點為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，令，轉(zhuǎn)化為僅一個零點，利用導(dǎo)數(shù)判斷求解；（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構(gòu)造函數(shù)，由切線與有且只有一個公共點轉(zhuǎn)化為僅一個零點，并求得導(dǎo)函數(shù)，對分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得正數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】由，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】設(shè)切點