江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級三月陽光監(jiān)測數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知，則（）A.0 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合求導(dǎo)公式求解即可.【詳解】易知，.故選：D2.已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因為函數(shù)在點處的切線方程為，所以，且，所以，所以．故選：A.3.設(shè)定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“時，導(dǎo)函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義判斷可得答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，如，時，單調(diào)遞增，充分性不成立，時，導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，必要性成立，則“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“時，導(dǎo)函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.4.已知曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后與軸相切，若，則（）A B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題意可知，未轉(zhuǎn)動前曲線與直線相切，由此設(shè)切點為，求切點處導(dǎo)數(shù)，并令其為2，求出，即可求出的值.【詳解】解：由已知得：曲線與直線相切.設(shè)切點為，因為，所以①，又切點滿足：②，①②兩式聯(lián)立解得：，.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求法，同時考查學(xué)生運用方程思想解題的能力和化簡運算能力.屬于中檔題.5.給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A.24 B.72 C.96 D.144【答案】C【解析】【分析】可按分步原理求解本題，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂時分兩類，若與同色與不同色，即可得出涂法總數(shù)選出正確答案．【詳解】由題意，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂，若與同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若與同色，最后一步涂有2種涂法，若第四步涂，與不同，則涂第四種顏色，此時，各有一種涂法綜上，總的涂法種數(shù)是．故選：C．6.如圖，直線與曲線相切于兩點，則函數(shù)在上的極大值點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】作出與直線平行的函數(shù)的所有的切線，即可觀察得到與的大小關(guān)系的不同區(qū)間，進而得出的正負區(qū)間，得出的單調(diào)性，進而得到的極值情況，從而判定各個選項的正確與否.【詳解】由題，，則，作出與直線平行的函數(shù)的所有切線，如圖，各切線與函數(shù)的切點的橫坐標依次為，則在，處的導(dǎo)數(shù)都等于，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因此函數(shù)有三個極大值點，有兩個極小值點.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用每一個的切線斜率作為該點的導(dǎo)數(shù)值，利用圖形中任意點的切線斜率與比較，就能結(jié)合圖象得出的正負取值情況，從而可得極值點的情況.7.已知對于，都有，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得最值，即可得解.【詳解】由已知，，即，即，設(shè)，函數(shù)，即恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即，即，，設(shè)，，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取最小值為，即，故選：C.8.已知實數(shù)，，滿足，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)題意可得，，，且，，，結(jié)合單調(diào)性分析判斷.【詳解】設(shè)，可知函數(shù)的定義域為，且，因為在定義域上單調(diào)遞增，且，若，則；若，則；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，，，可得，，，即，，，且，，，可知，且，，，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不答得0分，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知函數(shù)，則（）A.在處取得極小值 B.有3個零點C.在區(qū)間上的值域為 D.曲線的對稱中心為【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點，值域，可判斷A，B，C選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性及圖象變換可判斷D.【詳解】由，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；又，，，，，所以函數(shù)有且僅有一個零點，同理函數(shù)在有且僅有一個零點，在上有且僅有一個零點，即函數(shù)共有3個零點，故B正確；由前面得在上值域為，故C錯誤；設(shè)，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，又是向下平移1個單位得到，所以函數(shù)的對稱中心為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則滿足的整數(shù)的取值可以是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化后求解．【詳解】由題意得，故為偶函數(shù)，而，當時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，則，得，即，解得故選：BCD11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的正數(shù)x，都滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，據(jù)此即可判斷A和B選項，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，據(jù)此即可求解C和D選項.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由得，故A項錯誤；由得，故B項正確；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，由得，故C項正確：由得，故D項錯誤故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.12.已知函數(shù)，在區(qū)間上存在減區(qū)間，求的取值范圍；【答案】．【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為，使得成立，求參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，若函數(shù)區(qū)間上存在減區(qū)間，等價于，使得成立，可得，使得成立，構(gòu)建，可知開口向上，對稱軸，所以，故，解得，則的取值范圍為．13.一份快遞從寄件人甲處攬收開始直至送達收件人乙，需要經(jīng)過5個轉(zhuǎn)運環(huán)節(jié)，其中第1，5個環(huán)節(jié)有a，b兩種運輸方式，第2，4個環(huán)節(jié)有b，c兩種運輸方式，第3個環(huán)節(jié)有c，d，e三種運輸方式，快遞從甲送到乙，第1個環(huán)節(jié)使用a運輸方式的運輸順序共有___________種；快遞從甲送到乙有4種運輸方式的運輸順序共有__________種．【答案】①.24②.16【解析】【分析】空1：2，4，5個環(huán)有各有兩種運輸方式選擇，第3個環(huán)節(jié)有c，d，e三種運輸方式選擇，利用分步乘法運算法則運算處理；空2：第3個環(huán)節(jié)有d，e兩種運輸方式，1，2，4，5個環(huán)有兩個環(huán)節(jié)運輸方式相同，另外兩個兩個環(huán)節(jié)運輸方式不同，同時分情況討論：若第1，5個環(huán)節(jié)或第2，4個環(huán)節(jié)相同，若第1，2個環(huán)節(jié)或第1，4個環(huán)節(jié)或第2，5個環(huán)節(jié)或第4，5個環(huán)節(jié)相同，運算求解．【詳解】根據(jù)題意可得：第1個環(huán)節(jié)使用a運輸方式的運輸順序共有種快遞從甲送到乙有4種運輸方式，則第3個環(huán)節(jié)有d，e兩種運輸方式，1，2，4，5個環(huán)有兩個環(huán)節(jié)運輸方式相同，另外兩個環(huán)節(jié)兩個運輸方式不同若第1，5個環(huán)節(jié)或第2，4個環(huán)節(jié)相同，則種若第1，2個環(huán)節(jié)或第1，4個環(huán)節(jié)或第2，5個環(huán)節(jié)或第4，5個環(huán)節(jié)相同，則種快遞從甲送到乙有4種運輸方式的運輸順序共有種故答案為：24；16．14.設(shè)函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出其最大值，依題意有且僅有兩個整數(shù)滿足，即可得到且，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，時函數(shù)取極大值即最大值，又，，，直線恒過定點且斜率為，要使有且僅有兩個整數(shù)滿足，即有且僅有兩個整數(shù)滿足，且，解得，即.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）極小值為0，無極大值（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性，進一步可得函數(shù)極值情況；（2）求導(dǎo)之后，對分情況討論即可求解.【小問1詳解】當時，，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值；【小問2詳解】，，當時，恒成立，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，，當時，，當時，，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.16.一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成，米，如圖所示.小球從A點出發(fā)以的速度沿半圓O軌道勻速運動到某點E處，經(jīng)彈射后，以的速度沿EO的方向勻速運動到BC上某點F處.設(shè)弧度，小球從A到F所需時間為T.（1）試將T表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（2）當滿足什么條件時，時間T最短.【答案】（1），（2）當時，時間T最短【解析】【分析】（1）連接CO并延長交半圓于M可得，過O作于G，可得，進而求得小球從A到F所需時間；（2）由（1），再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.【小問1詳解】連接CO并延長交半圓于M，則，故，同理可得，∴.過O作于G，則，，∴，又，∴，.【小問2詳解】，令可得，解得或（舍）.設(shè)，，則當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當，取得最小值.故當時，時間T最短.17.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線的斜率為，求的值；（2）討論的零點個數(shù)，并證明.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用可求出的值.（2）根據(jù)零點概念計算得到或．構(gòu)造函數(shù)，對進行分類討論，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，分析函數(shù)的零點情況即可.【小問1詳解】由題意可得，則，解得．【小問2詳解】當時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．證明如下：令，得或．設(shè)函數(shù)．①當時，恒成立，沒有零點，則有唯一零點；②當時，，故是上的增函數(shù)，由得.∵，，∴有唯一的零點，則有兩個零點；③當時，．由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴．若，則，，則，，則沒有零點，故有唯一的零點；若，則，，則有一個零點，故有兩個零點；若，則，，，，又，時，，∴在和內(nèi)各有一個零點，即有兩個大于0的零點，則有三個零點．綜上，當時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求的零點，分類討論的單調(diào)性及最大值即可；（2）法一：利用分離參數(shù)法將問題進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最小值，運用隱零點的關(guān)系式，求得，從而得解；法二：構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，證明函數(shù)可以取到最小值，即可得解.【小問1詳解】由題可得，令，得．①若，即，則，當時，，在上單調(diào)遞減，．②若，即，則，當時，，在上單調(diào)遞增，．③若，即，則，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，．綜上所述，當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為．【小問2詳解】法一：當時恒成立，即恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得（☆），當時，，即，則在上單調(diào)遞減，當時，，即，則在上單調(diào)遞增，則．由（☆）得，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，得，（由，得，故），故，因此，故的取值范圍為．法二：當時恒成立，即恒成立，令，則，而，令，則，令，得，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，故，即，當且僅當時取等號．所以，即，所以，當且僅當時等號成立．令，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當時，取得最小值1．因此，故的取值范圍為．【點睛】方法點睛：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型：（1），構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；（2），構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；（3），構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）．19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最值即可.（2）（i）由，研究單調(diào)性，得到，根據(jù)函數(shù)有兩個零點，可得,利用不等式放縮，得到實數(shù)a的取值范圍；（ii）設(shè)換元，轉(zhuǎn)化，要證，只需證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性最值即可.【小問1詳解】由，有，若函數(shù)單調(diào)遞增，必有恒成立，不等式可化為,令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，有，可得，故實數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】（i）由令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，