江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤中學2024-2025學年高二下學期3月月考 數(shù)學試題（含解析）

盛澤中學2024-2025學年高二年級第二學期第一次階段反饋練習（數(shù)學）一、單選題1.下列求導正確的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)加法運算法則判斷A；根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)判斷B；根據(jù)導數(shù)除法運算法則判斷C；根據(jù)導數(shù)乘法運算法則判斷D.【詳解】，A不正確；，B不正確；，C不正確；，D正確.故選：D.2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)計算可得.【詳解】因為，所以，則，所以.故選：A3.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】分別求出函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率，解方程可得結(jié)果.【詳解】易知平均變化率為，可得，瞬時變化率為，因此，解得.故選：A4.已知函數(shù)，則（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，通過賦值法求得代入，即可得.【詳解】因為，所以，令，得，∴，所以，故故選：D.5.四個同學排成一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾的排法總數(shù)是（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】B【解析】分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合分類加法計算原理即可求解.【詳解】若甲在第二位，則乙可以站在第一位和第三位，此時有,若甲在第三位，則乙可以站在第一位和第二位，此時有,若甲在第四位，則乙可以隨意站，此時有,故總的方法有，故選：B6.若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出導數(shù)，再由導函數(shù)在內(nèi)無變號零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定最小值和最大值的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)在內(nèi)無極值，得在內(nèi)無變號零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或，解得或，所以實數(shù)a取值范圍是.故選：C7.據(jù)典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，則“宮”和“角”之間恰好有一個音階的排法種數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.36【答案】D【解析】【分析】利用插空法和分步計數(shù)原理求解.【詳解】先從“商、徵、羽”中選一個插在“宮”和“角”之間，有，再作為一個整體和剩下的兩個音階排列，所以共有種排法.故選：D8.已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與曲線有三個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從而結(jié)合圖象即可求得實數(shù)的范圍；【詳解】令，即得，即方程有三個零點，即直線與曲線有三個不同的交點，可得，所以當或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有極小值為，當時，有極大值為，當時，，且當時，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，所以數(shù)形結(jié)合可知，即實數(shù)的取值范圍為,故選：A二、多選題9.已知函數(shù)，則（）A.是極小值點B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞減D.當時，【答案】BD【解析】【分析】利用導數(shù)求函數(shù)極值點判斷選項A；通過證明得函數(shù)圖象的對稱點判斷選項B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項D．【詳解】函數(shù)，，令，解得或，故當時，當時，，當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極大值點，是的極小值點，故A錯誤，C錯誤；對B．，則的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對D．當時，，而在上單調(diào)遞增，故，故D正確．故選：BD10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A.在處取得極大值； B.有兩個不同的零點；C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導數(shù)求解極大值，判斷選項A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷零點個數(shù)，判斷選項B，根據(jù)單調(diào)性直接判斷選項C，化簡不等式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷選項D.【詳解】由題知，定義域，所以，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且為，A正確；因為，，且當時，，且恒大于0，所以可得草圖如下，則B錯誤；由上述可知，，又，，所以，C正確；假設，則，所以，因為在上單調(diào)遞減，則，則，則，則，D正確故選：ACD11.拐點（InflectionPoint）又稱反曲點，是一條連續(xù)曲線由凸轉(zhuǎn)凹或由凹轉(zhuǎn)凸的點，直觀地說，是使切線穿越曲線的點（即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點）．拐點在統(tǒng)計學、物理學、經(jīng)濟學等領(lǐng)域都有重要應用．設函數(shù)對于區(qū)間內(nèi)任一點都可導，且函數(shù)對于區(qū)間內(nèi)任一點都可導，若，使得，且在的兩側(cè)的符號相反，則稱點為曲線的拐點．以下函數(shù)具有唯一拐點的有（）A. B.，C.（，且） D.【答案】AC【解析】【分析】拐點即二階導數(shù)的變號零點，求出二階導數(shù)以后逐一分析即可，其中D需要找到兩個拐點即可排除D.【詳解】對于A：，，令得，當時，，當時，，所以是函數(shù)的拐點，故A正確；對于B：，，，令，方程無解，所以無拐點，故B錯誤；對于C：，，令得，當且時，，當且當時，，當且時，，當且時，，，所以是函數(shù)唯一拐點，故C正確；對于D：，，因為，所以在至少有一個零點且為變號零點，又因為，所以在至少有一個零點且為變號零點所以有拐點但不唯一，故D錯誤.故選：AC三、填空題12.已知曲線上一點，則過點的曲線的切線方程為________.【答案】和【解析】【分析】設過點的切線與曲線相切于點，然后根據(jù)曲線在點處切線的斜率列出切線方程，根據(jù)切線過點，求出切點坐標，從而可求出切線方程．【詳解】，設過點的切線與曲線相切于點，曲線在點處切線斜率為，可得切線的方程為，代入點，可得，解得，或，故切點分別為和，過點的切線方程為或，所以過點的切線方程有兩條：和．故答案為和【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，解曲線的切線問題要特別注意是“在”還是“過”點，屬于中檔題．13.已知函數(shù)，，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】求導后結(jié)合正弦函數(shù)的取值分析即可.【詳解】因為，令，可得，而，，所以，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時函數(shù)最小為值，所以函數(shù)在的最小值分別為.故答案為：.14.、、、、五人住進編號為1，2，3，4，5的五個房間，每個房間只住一人，則不住2號房間，且、兩人不住編號相鄰房間的住法種數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到可以住號房間，分類討論，結(jié)合排列數(shù)的公式，即可求解.【詳解】由題意，不住2號房間，且兩人不住編號相鄰房間，則可以住號房間，若住在1號房間，則可以住在三個房間，有三種情況，剩下三人安排在其他三個房間，此時，有種情況；若住在3號房間，則可以住在兩個房間，有2種情況，剩下三人安排在其他三個房間，此時，有種情況；若住在4號房間，則可以住在兩個房間，有2種情況，剩下三人安排在其他三個房間，此時，有種情況；若住在5號房間，則可以住在兩個房間，有2種情況，剩下三人安排在其他三個房間，此時，有種情況，由分類計數(shù)原理得，共有種不同的住法.故答案為：.四、解答題15.現(xiàn)有0，1，2，3，4這五個數(shù)字，回答下列兩個問題．（1）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？（2）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)？【答案】（1）96；（2）60.【解析】【分析】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個數(shù)字即可計算得解；（2）選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；【小問1詳解】先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有種排法，再排四個非0數(shù)字有種，由分步乘法計數(shù)原理得，所以能組成96個無重復數(shù)字的五位數(shù)；【小問2詳解】當個位數(shù)字為0時，則可以組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，當個位數(shù)字為2或4時，則可以組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，所以用這5個數(shù)字能夠組成組成個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)；16.已知函數(shù)，且當時，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導函數(shù)，再根據(jù)極值點列方程求解即可；（2）求出導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)正負得出單調(diào)性寫出極值和最值即可得出值域.【小問1詳解】由，得，又當時，有極值－5，所以，解得所以，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以當時，有極小值．所以．【小問2詳解】由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134

+0－0+

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為．17.函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，然后分，兩種情況，由導函數(shù)的正負可求得其單調(diào)區(qū)；（2）構(gòu)造函數(shù)，，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為，求得，結(jié)合分析函數(shù)的單調(diào)性并確定最小值為，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】由題意得，，當時，則，在上單增，的遞增區(qū)間為；當時，令，則；令，則.的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數(shù)的取值范圍為.18.已知8件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對這8件產(chǎn)品一一進行測試，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？【答案】（1）720（2）26【解析】【分析】（1）分步驟確定每次測試的情況數(shù)，再根據(jù)排列組合的乘法原理計算總的測試情況數(shù).（2）要分測試次找到所有次品和測試次找到所有次品這兩種情況分別計算，最后根據(jù)加法原理得到總的測試情況數(shù).【小問1詳解】第1次測試的是正品，從件正品中選件，有種選擇.第2次測試找到第一件次品，因為有件次品，所以第2次測試的次品有種選擇.第3次到第5次測試的是正品，從剩下的件正品中選件進行排列，有種選擇.第6次測試找到第二件次品，此時只剩下件次品，所以只有種選擇.根據(jù)排列組合的乘法原理，總的測試情況數(shù)為種.【小問2詳解】測試次就找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到另一件次品，有種選擇，所以這種情況共有種測試情況.測試次找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.第1次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第2次測試找到一件次品，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.根據(jù)加法原理，至多測試次就能找到所有次品的測試情況數(shù)為種.19.已知函數(shù)（1）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設，求證：恰有個極值點；（3）若，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）e【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值的概念與計算，即可求解；（2）求得，結(jié)合，得到方程有兩個不同的根，結(jié)合極值點的定義，即可求解；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【小問1詳解】由函數(shù)

，可得

，令

，可得

，則

的關(guān)系，如圖下表：2

極大值

綜上可得，函數(shù)

．【小問2詳解】由函數(shù)

，可得

，因為

，所以方程

有兩個不同的根，設為

且

，則有極小值極大值綜上可得，函數(shù)

恰有個極值點．【小問3詳解】因為

，所以

，不等式

恒成立，設

，可得

，所以

的