2025年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元重點(diǎn) 第7章 相交線與平行線【3大考點(diǎn)15種題型】VIP

第7章相交線與平行線【3大考點(diǎn)15種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1相交線】 1【題型1對(duì)頂角的概念與性質(zhì)的應(yīng)用】 2【題型2利用垂直的定義求角度】 3【題型3垂線的畫法】 4【題型4利用垂線、垂線段的性質(zhì)解題】 5【題型5認(rèn)識(shí)“三線八角”】 6【題型6相交線的規(guī)律探究問(wèn)題】 7【考點(diǎn)2平行線】 8【題型7平行線的畫法】 9【題型8平行線的三種判定方法】 10【題型9平行線性質(zhì)的應(yīng)用】 11【題型10平行線之間的距離】 12【題型11平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 13【題型12平行線間多折點(diǎn)角度問(wèn)題的探究】 15【考點(diǎn)3平移】 16【題型13生活中的平移現(xiàn)象】 16【題型14平移作圖】 17【題型15應(yīng)用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題】 19【考點(diǎn)1相交線】（1）對(duì)頂角及其性質(zhì)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角.兩直線相交，對(duì)頂角相等（2）垂線如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足.（3）垂線段最短過(guò)直線l外一點(diǎn)P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點(diǎn)P到直線的垂線段.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直.（4）點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫作點(diǎn)到直線的距離.（5）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.兩條直線被第三條直線所截兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.【題型1對(duì)頂角的概念與性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（23-24七年級(jí)·湖北宜昌·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度數(shù)．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對(duì)頂角的為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·上?！て谥校┮阎?，直線AB和直線CD交于點(diǎn)O，∠BOD是它的鄰補(bǔ)角的3倍，則直線AB與CD的夾角是度．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．【題型2利用垂直的定義求角度】【例2】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為【變式2-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，∠1=12°，OA⊥OC，點(diǎn)B、O、D在同一直線上，則∠2=【變式2-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠BOC=2∠AOC，求∠COE的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，射線OM平分∠BOD，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與∠AOC互余的角．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數(shù)．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【題型3垂線的畫法】【例3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段時(shí)，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-1】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期中）過(guò)點(diǎn)P向線段AB所在直線畫垂線段，畫圖正確的是（

）A．B．C． D．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·貴州黔南·期末）過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線CD，下面三角板的擺放正確的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過(guò)90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【題型4利用垂線、垂線段的性質(zhì)解題】【例4】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)線段外一點(diǎn)不一定能作出它的垂線B．過(guò)直線m外一點(diǎn)A和直線m上一點(diǎn)B可畫一條直線與m垂直C．只能過(guò)直線外一點(diǎn)畫一條直線和這條直線垂直D．過(guò)任意一點(diǎn)均可作一條直線的垂線【變式4-1】（23-24七年級(jí)·貴州六盤水·期中）六盤水市2023年初中畢業(yè)生體育考試實(shí)行綜合性結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)，現(xiàn)目標(biāo)效果測(cè)試項(xiàng)目第一類：立定跳遠(yuǎn)（男、女），分值5分．體育課上，老師正在給準(zhǔn)備參加體育中考的學(xué)生模擬測(cè)試立定跳遠(yuǎn)，成績(jī)的示意圖如圖，即PN的長(zhǎng)為麗麗同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式4-2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖是某同學(xué)在體育課上立定跳遠(yuǎn)測(cè)試留下的腳印，則她的跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)槊祝咀兪?-3】（23-24七年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【題型5認(rèn)識(shí)“三線八角”】【例5】（23-24七年級(jí)·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內(nèi)角最多的是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期中）如圖，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了？其實(shí)沒(méi)有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．(1)請(qǐng)指出∠1的同旁內(nèi)角與∠2的內(nèi)錯(cuò)角；(2)若測(cè)得∠AOE=65°，∠BOM=145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·廣東珠?！て谀?024年香洲區(qū)舉辦了第六屆風(fēng)箏節(jié)．如圖所示的風(fēng)箏骨架中，與∠3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【變式5-3】（23-24七年級(jí)·上海楊浦·期中）如圖，∠1和∠2是直線與直線被直線所截得到的角．∠1的內(nèi)錯(cuò)角有個(gè)，∠3的同位角有個(gè)．【題型6相交線的規(guī)律探究問(wèn)題】【例6】（23-24七年級(jí)·貴州黔東南·期末）如圖，2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)…按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有28個(gè)，則此時(shí)n的值為（）A．18 B．10 C．8 D．7【變式6-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）同一平面內(nèi)1條直線把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域）；2條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？3條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？4條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？請(qǐng)分別畫出圖來(lái)．由此可知n條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？【變式6-2】（23-24七年級(jí)·貴州黔東南·階段練習(xí)）觀察以下圖形，尋找對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角．

(1)圖（1）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(2)圖（2）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(3)圖（3）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(4)根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為∶若n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(5)若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？【變式6-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察下面表格，并閱讀相關(guān)文字：示意圖

…相交情況1條直線與2條直線相交1條直線與3條直線相交1條直線與4條直線相交…同位角對(duì)數(shù)（2×1×2）對(duì)（2×2×3）對(duì)（2×3×4）對(duì)…內(nèi)錯(cuò)角對(duì)數(shù)（1×2）對(duì)（2×3）對(duì)（3×4）對(duì)…同旁內(nèi)角對(duì)數(shù)（1×2）對(duì)（2×3）對(duì)（3×4）對(duì)…則由上述規(guī)律可知：(1)1條直線與6條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(2)1條直線與n條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(3)利用（2）中的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：三條直線兩兩相交（不交于同一點(diǎn)），可構(gòu)成同位角的對(duì)數(shù)是（）A．12對(duì)

B．8對(duì)

C．6對(duì)

D．4對(duì)【考點(diǎn)2平行線】（1）平行線在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作“a∥b”（2）平行線的判定①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.（3）平行線的性質(zhì)①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型7平行線的畫法】【例7】（23-24七年級(jí)·北京東城·期末）如圖，平面內(nèi)有兩條直線l1，l2點(diǎn)A在直線l1上，按要求畫圖并填空：（1）過(guò)點(diǎn)A畫l2的垂線段AB，垂足為點(diǎn)B；（2）過(guò)點(diǎn)A畫直線AC⊥l1，交直線l2于點(diǎn)C；（3）過(guò)點(diǎn)A畫直線AD∥l2；（4）若AB＝12，AC＝13，則點(diǎn)A到直線l2的距離等于．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫出直線AB∥CD，請(qǐng)將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應(yīng)是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②【變式7-2】（23-24七年級(jí)·江西上饒·期末）如圖，平面上有一條直線AB以及AB外一點(diǎn)P，請(qǐng)你只用一塊含30°角的三角板經(jīng)過(guò)P點(diǎn)畫直線CD使CD∥AB，簡(jiǎn)單說(shuō)明你的畫法．

【變式7-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·期中）數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學(xué)的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長(zhǎng)邊與直線a重合，另一塊三角尺最長(zhǎng)邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長(zhǎng)邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長(zhǎng)邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長(zhǎng)邊所在直線b，則b∥a．請(qǐng)你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤【題型8平行線的三種判定方法】【例8】（23-24七年級(jí)·陜西西安·期中）如圖所示，△ABC與△DEF均為直角三角形，其中∠C=∠FDE=90°，∠E=45°，∠B=60°，點(diǎn)D在邊AC上，∠ADF=15°，請(qǐng)判斷兩條斜邊EF與【變式8-1】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，在BC的右側(cè)作∠BCD=55°，試說(shuō)明：【變式8-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠ACB=80°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，ED交AC于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求證：EF∥BC．【變式8-3】（23-24七年級(jí)·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【題型9平行線性質(zhì)的應(yīng)用】【例9】（23-24七年級(jí)·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運(yùn)用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)，已知∠1=102°，則∠2的度數(shù)為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【變式9-1】（23-24七年級(jí)·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道AB和CD，如果管道AB與縱向聯(lián)通管道的夾角∠A=100°，那么管道CD與縱向聯(lián)通管道的夾角∠C的度數(shù)等于．【變式9-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過(guò)水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數(shù)是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【變式9-3】（23-24七年級(jí)·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)80°，再左轉(zhuǎn)100° B．先左轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80°C．先左轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)100° D．先右轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80°【題型10平行線之間的距離】【例10】（23-24七年級(jí)·上海楊浦·期末）閱讀、填空并將說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，AD與BC交于點(diǎn)

解：作AH1⊥l2，垂足為H又因?yàn)閘1所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）【變式10-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)A，B在l1上，點(diǎn)C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【變式10-2】（23-24七年級(jí)·上海長(zhǎng)寧·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD，已知梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，那么△ADC的面積【變式10-3】（23-24七年級(jí)·湖南郴州·期末）如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，圖中和△EBD面積相等的三角形有以下哪些三角形：①△EDA；②△EDC；③△ABE；④△ABD；⑤△ABC．A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤【題型11平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例11】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形FEBO中，H為OF上一點(diǎn)，C為BO上一點(diǎn)，連接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度數(shù)．【變式11-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，已知點(diǎn)F,E在BC上，點(diǎn)G在AB上，BA⊥AC于點(diǎn)A，ED⊥AC于點(diǎn)D，若∠1=∠2,∠AEB=110°，求∠GFE的度數(shù)．

解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（

），∴∠BAC=90°,∠EDC=°（

），∴ABDE（

），∴∠2=∠BAE（（

），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（

），∴GF∥（

），∴∠AEB+∠GFE=（

），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=．【變式11-2】（23-24七年級(jí)·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE=∠BNM．(1)請(qǐng)對(duì)OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．【變式11-3】（23-24七年級(jí)·寧夏石嘴山·期中）如圖，已知AP∥DM，點(diǎn)B，C分別是射線AP，DM上的點(diǎn)，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度數(shù)；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度數(shù)．【題型12平行線間多折點(diǎn)角度問(wèn)題的探究】【例12】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設(shè)∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數(shù)（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內(nèi)部一點(diǎn)，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【變式12-1】（23-24七年級(jí)·遼寧鐵嶺·期末）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、(1)如圖1，直接寫出∠APE、∠PEQ、∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ=150°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；(3)如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=60°時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)．【變式12-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE（本題不能直接用三角形內(nèi)角和）(1)如圖1，求證：AB∥(2)如圖2，點(diǎn)K、F分別在BE、BD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在線段DE上，且滿足∠FCD=∠FCK，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，∠F?∠K=15°，且DN平分∠CDF，求∠FND的度數(shù)．【變式12-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，點(diǎn)E、F為AB、(1)如圖1，若∠E=90°，求∠F的度數(shù)；(2)如圖2，請(qǐng)?zhí)剿鳌螰?∠E的度數(shù)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【考點(diǎn)3平移】【題型13生活中的平移現(xiàn)象】【例13】（23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，用一個(gè)定滑輪帶動(dòng)重物上升，則重物上升運(yùn)動(dòng)過(guò)程的現(xiàn)象是.(填“平移”或“旋轉(zhuǎn)”)【變式13-1】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期中）下列運(yùn)動(dòng)屬于平移的是（

）A．冷水加熱過(guò)程中小氣泡變成大氣泡 B．乘電梯從一樓到十樓C．隨風(fēng)飄動(dòng)的樹葉在空中的運(yùn)動(dòng) D．鐘表上走動(dòng)的分針【變式13-2】（23-24七年級(jí)·廣西河池·期中）現(xiàn)實(shí)世界中，平移現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也具有平移性，下列漢字是由平移構(gòu)成的是（

）A．朋 B．磊 C．森 D．回【變式13-3】（23-24七年級(jí)·河南焦作·期中）在圖示的汽車標(biāo)志圖案中，能用平移變換（不考慮顏色）來(lái)分析其形成過(guò)程的圖案有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型14平移作圖】【例14】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期末）如圖，圖形在方格（小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位）上沿著網(wǎng)格線平移，規(guī)定：若沿水平方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移a個(gè)單位），沿豎直方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移b個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì)a,b叫做這一平移的“平移量”．例如：點(diǎn)A按“平移量”1,3（向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位）可平移到點(diǎn)B；點(diǎn)B按“平移量”?1,?3可平移到點(diǎn)A．

(1)填空：點(diǎn)B按“平移量”（________，________）可平移到點(diǎn)C；(2)若把圖中三角形M依次按“平移量”3,?4、?1,1平移得到三角形①請(qǐng)?jiān)趫D中畫出三角形N（在答題卡上畫圖并標(biāo)注N）；②觀察三角形N的位置，其實(shí)三角形M也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形N．【變式14-1】（23-24七年級(jí)·浙江·期末）如圖，已知在邊長(zhǎng)為1的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，A1(1)將三角形ABC經(jīng)過(guò)平移后得到三角形A1B1C1，若點(diǎn)A(2)將三角形ABC先向上平移__________個(gè)單位，再向__________平移__________個(gè)單位得到三角形A1【變式14-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC在如圖所示的位置．(1)將△ABC向右平移4個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得△A′B(2)若連接BB′，CC(3)△ABC的面積為．【變式14-3】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）如圖是正在進(jìn)行的俄羅斯方塊游戲（網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成），現(xiàn)出現(xiàn)一“T”形方塊向下運(yùn)動(dòng)．

(1)若該“T”形方塊向下平移了5個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的圖形（并畫上陰影）．(2)為了使所有圖案消除，在（1）的平移基礎(chǔ)上還需進(jìn)行怎樣的平移？（俄羅斯方塊游戲規(guī)則：①當(dāng)方塊排列成完整的一行，該行便可消除；②方塊在下落過(guò)程中，若碰到下方已有的方塊便不可移動(dòng)．）【題型15應(yīng)用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題】【例15】（23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）慶慶是一位特別喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小朋友，周末這天他做完作業(yè)，在手機(jī)上找了一款數(shù)學(xué)相關(guān)的益智類游戲《推箱子》，要求將圖中編號(hào)為①②③的三個(gè)箱子分別推進(jìn)圖中“回”字的位置．如果慶慶要想一次性通關(guān)，且盡可能讓自己步數(shù)少，應(yīng)該先推()號(hào)箱子，再推()號(hào)箱子，最后推()號(hào)箱子．【變式15-1】（23-24七年級(jí)·北京·階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展動(dòng)手操作活動(dòng)，設(shè)計(jì)了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照?qǐng)D形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長(zhǎng)度l甲、l【變式15-2】（23-24七年級(jí)·重慶九龍坡·期中）某酒店準(zhǔn)備進(jìn)行裝修，把樓梯鋪上地毯．已知樓梯的寬度是2米，樓梯的總長(zhǎng)度為8米，總高度為6米，其側(cè)面如圖所示．已知這種地毯每平方米的售價(jià)是50元．請(qǐng)你幫老板算下，購(gòu)買地毯至少需要花費(fèi)元．【變式15-3】（23-24七年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖所示，某公園里有一處長(zhǎng)方形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，AB長(zhǎng)50米，BC寬25米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路(圖中非陰影部分)，小明同學(xué)在假期沿著小路的中間行走(圖中虛線)，小路寬1米，則小明同學(xué)所走的路徑長(zhǎng)為（

）A．98米 B．100米 C．123米 D．75米

第7章相交線與平行線【3大考點(diǎn)15種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1相交線】 1【題型1對(duì)頂角的概念與性質(zhì)的應(yīng)用】 2【題型2利用垂直的定義求角度】 4【題型3垂線的畫法】 8【題型4利用垂線、垂線段的性質(zhì)解題】 10【題型5認(rèn)識(shí)“三線八角”】 12【題型6相交線的規(guī)律探究問(wèn)題】 15【考點(diǎn)2平行線】 18【題型7平行線的畫法】 19【題型8平行線的三種判定方法】 22【題型9平行線性質(zhì)的應(yīng)用】 24【題型10平行線之間的距離】 27【題型11平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 30【題型12平行線間多折點(diǎn)角度問(wèn)題的探究】 34【考點(diǎn)3平移】 43【題型13生活中的平移現(xiàn)象】 43【題型14平移作圖】 45【題型15應(yīng)用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題】 49【考點(diǎn)1相交線】（1）對(duì)頂角及其性質(zhì)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角.兩直線相交，對(duì)頂角相等（2）垂線如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足.（3）垂線段最短過(guò)直線l外一點(diǎn)P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點(diǎn)P到直線的垂線段.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直.（4）點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫作點(diǎn)到直線的距離.（5）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.兩條直線被第三條直線所截兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.【題型1對(duì)頂角的概念與性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（23-24七年級(jí)·湖北宜昌·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度數(shù)．【答案】(1)43°(2)40°．【分析】本題考查了角平分線的定義、對(duì)頂角相等、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）先由角平分線的定義可得∠AOC=1（2）設(shè)∠EOC=4x°，【詳解】（1）解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=43°；（2）解：∵∠EOC:∠EOD=4:5，∴設(shè)∠EOC=4x°，根據(jù)題意得4x+5x=180，解得x=20，∴∠EOC=4x∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=40°．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對(duì)頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，由此對(duì)各選項(xiàng)作出判斷即可．本題考查對(duì)頂角的定義，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)頂角的定義．【詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知：只有選項(xiàng)C是對(duì)頂角，其它都不是．故選C．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·上海·期中）已知，直線AB和直線CD交于點(diǎn)O，∠BOD是它的鄰補(bǔ)角的3倍，則直線AB與CD的夾角是度．【答案】45【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．設(shè)∠BOD=3x°，則它的補(bǔ)角為x°，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得3x°+x°=180°，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)∠BOD=3x°，則它的補(bǔ)角為x°，由題意得：3x°+x°=180°，解得：x=45，即直線AB與CD的夾角是45度，故答案為：45．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．【答案】(1)153°(2)25°【分析】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，（1）利用了對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，（2）利用了角平分線的定義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，角的和差．（1）根據(jù)對(duì)頂角相等，可得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)∠AOE:∠EOC=3:5，可得∠AOE，根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得答案；（2）根據(jù)角平分線的定義，可得∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的關(guān)系，可得關(guān)于∠AOE的方程，求出∠AOE的度數(shù)，可得答案．【詳解】（1）由對(duì)頂角相等，得∠AOC=∠BOD=72°，由OE把∠AOC分成兩部分且∠AOE:∠EOC=3:5，得∠AOE=∠AOC×3由鄰補(bǔ)角，得∠BOE=180°?∠AOE=180°?27°=153°；（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°．由鄰補(bǔ)角，得∠BOE+∠AOE=180°，即4∠AOE+30°+∠AOE=180°，解得∠AOE=30°．∴∠EOC=50°，∠EOF=∠BOF=75°，∴∠COF=75°?50°=25°．【題型2利用垂直的定義求角度】【例2】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為【答案】18°或162°【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運(yùn)算．結(jié)合圖形是做這類題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直關(guān)系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根據(jù)∠AOB與【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時(shí)，∠BOC=90°?72°=18°；②當(dāng)在∠AOC外時(shí)，∠BOC=90°+72°=162°．故答案為：18°或162°．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，∠1=12°，OA⊥OC，點(diǎn)B、O、D在同一直線上，則∠2=【答案】102【分析】本題考查了垂直的定義，求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義可求得∠BOC，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵∠1=12°，∴∠BOC=90°?∠1=78°，∴∠2=180°?∠BOC=102°，故答案為：102．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠BOC=2∠AOC，求∠COE的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，射線OM平分∠BOD，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與∠AOC互余的角．【答案】(1)30°(2)∠2，∠4，∠5，∠6【分析】本題主要考查了幾何圖中角度的計(jì)算，求角的余角，角平分線的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)．（1）先利用平角的定義以及∠BOC=2∠AOC即可得出3∠AOC=180°，進(jìn)而可求出∠BOC=120°，由垂直的定義即可求出∠BOE=90°，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．（2）根據(jù)互余兩角的和為90度一一計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵∠BOC+AOC=180°，∠BOC=2∠AOC，∴3∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠CEO=∠BOC?∠BOE=120°?90°=30°（2）解：由（1）知∠AOC=∠1=60°，∠COE=∠2=30°∵∠1+∠2=90°，∴∠1和∠2互余．∵OF⊥CD，OE⊥AB∴∠2+∠3=90°，∠4+∠5+∠6=90°，∠3+∠4=90°，∴∠3=60°，∴∠4=30°，∴∠5+∠6=60°，∵OM平分∠BOD∴∠5=∠6=30°，∴∠4+∠1=90°，∠5+∠1=90°，∠6+∠1=90°，則∠1和∠4互余，∠1和∠5互余，∠1和∠6互余，綜上：與∠AOC互余的角有∠2，∠4，∠5，∠6．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數(shù)．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【答案】(1)50°(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，熟練掌握垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠DOE=90°，由∠DOB+∠EOB=90°，可得∠DOB=∠EOB+10°，即可算出∠EOB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)∠COF=90°?∠EOF代入計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EOF=∠BOE，由垂線的性質(zhì)可得∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，即可得出∠BOD=∠COF,∠BOD=∠AOC,∠AOC=∠COF，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=∠COE=90°，即∠DOB+∠EOB=90°，∵∠DOB=∠EOB+10°，∴∠EOB=40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE=40°，∴∠COF=90°?∠EOF=50°；（2）解：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，∴∠BOD=∠COF，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=∠COF，∴OC為∠AOF平分線．【題型3垂線的畫法】【例3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段時(shí)，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】此題考查了垂線段的畫法的判斷，根據(jù)垂線段的畫法依次判斷即可．【詳解】解：四個(gè)圖形中，只有第一個(gè)圖形是過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段，其余均錯(cuò)誤，故選：C．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期中）過(guò)點(diǎn)P向線段AB所在直線畫垂線段，畫圖正確的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查垂線段的畫法，掌握垂線段的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB不垂直，故不合題意；對(duì)于B，垂線不過(guò)點(diǎn)P，故不符合題意；對(duì)于C，垂線段應(yīng)為線段，而不是射線，故C不符合題意.故選D．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·貴州黔南·期末）過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線CD，下面三角板的擺放正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂線，根據(jù)垂線的定義，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線CD，三角板的放法正確的是故選：A．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過(guò)90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．【題型4利用垂線、垂線段的性質(zhì)解題】【例4】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)線段外一點(diǎn)不一定能作出它的垂線B．過(guò)直線m外一點(diǎn)A和直線m上一點(diǎn)B可畫一條直線與m垂直C．只能過(guò)直線外一點(diǎn)畫一條直線和這條直線垂直D．過(guò)任意一點(diǎn)均可作一條直線的垂線【答案】D【分析】根據(jù)垂線的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、過(guò)線段外一點(diǎn)一定能作出它的垂線，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、過(guò)直線m外一點(diǎn)A和直線m上一點(diǎn)B不一定能畫一條直線與m垂直，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、過(guò)任意一點(diǎn)都可以畫一條直線和已知直線垂直，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、過(guò)任意一點(diǎn)均可作一條直線的垂線，原說(shuō)法正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的定義，熟知過(guò)任意一點(diǎn)均可作一條直線的垂線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·貴州六盤水·期中）六盤水市2023年初中畢業(yè)生體育考試實(shí)行綜合性結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)，現(xiàn)目標(biāo)效果測(cè)試項(xiàng)目第一類：立定跳遠(yuǎn)（男、女），分值5分．體育課上，老師正在給準(zhǔn)備參加體育中考的學(xué)生模擬測(cè)試立定跳遠(yuǎn)，成績(jī)的示意圖如圖，即PN的長(zhǎng)為麗麗同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【分析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理．根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答即可．【詳解】解：PN的長(zhǎng)為麗麗同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是根據(jù)垂線段最短．故選：C．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖是某同學(xué)在體育課上立定跳遠(yuǎn)測(cè)試留下的腳印，則她的跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)槊祝敬鸢浮?.05【分析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則．由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則做出分析和判斷．【詳解】解：根據(jù)題意以及生活常識(shí)可知，跳遠(yuǎn)的成績(jī)?yōu)殡x起跳線較近的那只腳的后腳跟到起條線的距離．∵點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段．∴跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)槠鹛€的垂線段2.05米．故答案為：2.05【變式4-3】（23-24七年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，結(jié)合條件進(jìn)行解答即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線的性質(zhì)．【詳解】如圖所示：∵直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，MC⊥l，∴點(diǎn)M到直線l的距離是垂線段MC的長(zhǎng)度，為2cm故選：A．【題型5認(rèn)識(shí)“三線八角”】【例5】（23-24七年級(jí)·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內(nèi)角最多的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．根據(jù)同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行選擇即可．【詳解】解：A．字母A中含有4對(duì)同旁內(nèi)角；B．字母F中含有1對(duì)同旁內(nèi)角；C．字母M中含有0對(duì)同旁內(nèi)角；D．字母Z中含有0對(duì)同旁內(nèi)角；故選：A【變式5-1】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期中）如圖，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了？其實(shí)沒(méi)有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．(1)請(qǐng)指出∠1的同旁內(nèi)角與∠2的內(nèi)錯(cuò)角；(2)若測(cè)得∠AOE=65°，∠BOM=145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)∠1的同旁內(nèi)角是∠MOE，∠AOE，∠ADE；∠2的內(nèi)錯(cuò)角是∠MOE，∠AOE；(2)水下部分向上折彎了30度，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查同旁內(nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角，角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握同旁內(nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角的定義，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)．（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角，由此即可得到答案；（2）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠AOM的度數(shù)，由∠MOE=∠AOE?∠AOM，即可得到答案．【詳解】（1）解：∠1的同旁內(nèi)角是∠MOE，∠AOE，∠ADE；∠2的內(nèi)錯(cuò)角是∠MOE，∠AOE；（2）解：∵∠BOM=145°，∴∠AOM=180°?∠BOM=35°，∴∠MOE=∠AOE?∠AOM=65°?35°=30°，∴水下部分向上折彎了30度．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·廣東珠?！て谀?024年香洲區(qū)舉辦了第六屆風(fēng)箏節(jié)．如圖所示的風(fēng)箏骨架中，與∠3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】本題考查的是同旁內(nèi)角的定義，關(guān)鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據(jù)同旁內(nèi)角的定義解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角．【詳解】解：與∠3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是∠1．故選：A．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·上海楊浦·期中）如圖，∠1和∠2是直線與直線被直線所截得到的角．∠1的內(nèi)錯(cuò)角有個(gè)，∠3的同位角有個(gè)．【答案】a；c；d；內(nèi)錯(cuò)；2；4【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角的定義，依次判斷，即可求解，本題考查了，同位角，內(nèi)錯(cuò)角，解題的額關(guān)鍵是：熟練掌握同位角，內(nèi)錯(cuò)角的特征．【詳解】解：如圖：設(shè)直線a與直線d相交于點(diǎn)A，直線b與直線c相交于點(diǎn)B，∠1和∠2是直線a與直線c被直線d所截得到的內(nèi)錯(cuò)角．∠1的內(nèi)錯(cuò)角是∠4和∠2，∠3的同位角是∠5，∠7，∠6，∠ABC，共有3個(gè)，故答案為：a；c；d；內(nèi)錯(cuò)；2；4．【題型6相交線的規(guī)律探究問(wèn)題】【例6】（23-24七年級(jí)·貴州黔東南·期末）如圖，2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)…按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有28個(gè)，則此時(shí)n的值為（）A．18 B．10 C．8 D．7【答案】C【分析】由2條直線相交時(shí)最多有1個(gè)交點(diǎn)、3條直線相交時(shí)最多有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)、4條直線相交時(shí)最多有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)，…；可知n條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+n﹣1＝n(n?1)2【詳解】解：∵2條直線相交時(shí)，最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交時(shí)，最多有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交時(shí)，最多有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)；…n條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+n﹣1＝n(n?1)2因?yàn)?×故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形中相交點(diǎn)數(shù)量得出：n條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+n﹣1個(gè)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）同一平面內(nèi)1條直線把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域）；2條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？3條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？4條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？請(qǐng)分別畫出圖來(lái)．由此可知n條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？【答案】2條直線最多可將平面分成4個(gè)部分；3條直線最多可將平面分成7個(gè)部分；4條直線最多可將平面分成11個(gè)部分；分別畫出圖見(jiàn)解析．由此可知n條直線最多可將平面分成n(n+1)2【分析】根據(jù)題意，畫圖分類討論，由此即可求解．【詳解】解：2條直線最多可將平面分成4個(gè)部分，如圖：；3條直線最多可將平面分成7個(gè)部分，如圖：；4條直線最多可將平面分成11個(gè)部分，如圖：，∴n條直線最多分成可將平面分成2+2+3+4+…+n=n(n+1)【點(diǎn)睛】本題主要考查平面內(nèi)直線的位置關(guān)系的規(guī)律，掌握畫圖分類討論，直線的位置關(guān)系的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·貴州黔東南·階段練習(xí)）觀察以下圖形，尋找對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角．

(1)圖（1）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(2)圖（2）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(3)圖（3）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(4)根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為∶若n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(5)若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？【答案】(1)2，4(2)6，12(3)12，24(4)n(n?1)，2n(n?1)(5)可形成9900對(duì)對(duì)頂角；19800對(duì)鄰補(bǔ)角【分析】本題考查有規(guī)律性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律．由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律即可求解．（1）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（2）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（3）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（4）由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律；（5）再由（4）得出的規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）圖①中共有2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：2，4；（2）圖②中共有6對(duì)對(duì)頂角，12對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：6，12；（3）圖③中共有12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：12，24；（4）根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為：若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成n(n?1)對(duì)對(duì)頂角．2n(n?1)對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：n(n?1)，2n(n?1)；（5）若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成9900對(duì)對(duì)頂角，19800對(duì)鄰補(bǔ)角．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察下面表格，并閱讀相關(guān)文字：示意圖

…相交情況1條直線與2條直線相交1條直線與3條直線相交1條直線與4條直線相交…同位角對(duì)數(shù)（2×1×2）對(duì)（2×2×3）對(duì)（2×3×4）對(duì)…內(nèi)錯(cuò)角對(duì)數(shù)（1×2）對(duì)（2×3）對(duì)（3×4）對(duì)…同旁內(nèi)角對(duì)數(shù)（1×2）對(duì)（2×3）對(duì)（3×4）對(duì)…則由上述規(guī)律可知：(1)1條直線與6條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(2)1條直線與n條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(3)利用（2）中的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：三條直線兩兩相交（不交于同一點(diǎn)），可構(gòu)成同位角的對(duì)數(shù)是（）A．12對(duì)

B．8對(duì)

C．6對(duì)

D．4對(duì)【答案】(1)60，30；(2)2n(3)A．【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角問(wèn)題中的規(guī)律問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的抽象概括能力．（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可求解；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可確定一般規(guī)律；（3）當(dāng)n+1條直線兩兩相交時(shí)，產(chǎn)生2×n?1【詳解】（1）解：從表中的規(guī)律可知1條直線與6條直線產(chǎn)生：2×5×6=60對(duì)同位角，5×6=30對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；故答案為：60，30；（2）解：1條直線與n條直線相交產(chǎn)生：2nn?1對(duì)同位角，n故答案為：2n（3）解：根據(jù)第（2）問(wèn)的結(jié)論可知，當(dāng)n+1條直線兩兩相交時(shí)，產(chǎn)生2×n?1故當(dāng)n+1=3時(shí)，即：n=2，產(chǎn)生12對(duì)同位角．故選：A．【考點(diǎn)2平行線】（1）平行線在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作“a∥b”（2）平行線的判定①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.（3）平行線的性質(zhì)①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型7平行線的畫法】【例7】（23-24七年級(jí)·北京東城·期末）如圖，平面內(nèi)有兩條直線l1，l2點(diǎn)A在直線l1上，按要求畫圖并填空：（1）過(guò)點(diǎn)A畫l2的垂線段AB，垂足為點(diǎn)B；（2）過(guò)點(diǎn)A畫直線AC⊥l1，交直線l2于點(diǎn)C；（3）過(guò)點(diǎn)A畫直線AD∥l2；（4）若AB＝12，AC＝13，則點(diǎn)A到直線l2的距離等于．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）12．【分析】（1）根據(jù)垂線段的定義畫出即可；（2）根據(jù)垂線的定義畫出即可；（3）根據(jù)平行線的定義畫出即可；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線間的距離求解即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）如圖所示；（4）點(diǎn)到直線間的距離，即垂線段的長(zhǎng)度，所以，點(diǎn)A到直線l2的距離等于12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，垂線，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫出直線AB∥CD，請(qǐng)將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應(yīng)是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②【答案】B【分析】本題考查了畫平行線，根據(jù)同位角相等兩直線平行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是④②③①，故選：B．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·江西上饒·期末）如圖，平面上有一條直線AB以及AB外一點(diǎn)P，請(qǐng)你只用一塊含30°角的三角板經(jīng)過(guò)P點(diǎn)畫直線CD使CD∥AB，簡(jiǎn)單說(shuō)明你的畫法．

【答案】見(jiàn)解析【分析】將三角板30°角的一邊與直線AB重合，另一邊過(guò)點(diǎn)P，沿著這邊作直線EF，平移三角板，當(dāng)30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，沿著30°角的另一邊畫直線CD即可．【詳解】解：如下圖所示，將三角板30°角的一邊與直線AB重合，另一邊過(guò)點(diǎn)P，沿著這邊作直線EF，平移三角板，當(dāng)30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，沿著30°角的另一邊畫直線CD，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得CD∥AB，∴直線CD即為所求．

【點(diǎn)睛】此題考查的是作已知直線的平行線，掌握同位角相等，兩直線平行是解決此題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·期中）數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學(xué)的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長(zhǎng)邊與直線a重合，另一塊三角尺最長(zhǎng)邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長(zhǎng)邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長(zhǎng)邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長(zhǎng)邊所在直線b，則b∥a．請(qǐng)你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】甲的畫法依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．乙的畫法依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行的畫法，平行線的性質(zhì)以及平移變換，正確應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型8平行線的三種判定方法】【例8】（23-24七年級(jí)·陜西西安·期中）如圖所示，△ABC與△DEF均為直角三角形，其中∠C=∠FDE=90°，∠E=45°，∠B=60°，點(diǎn)D在邊AC上，∠ADF=15°，請(qǐng)判斷兩條斜邊EF與【答案】EF∥AB，理由見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查平行線的判定，涉及三角形內(nèi)角和定理、三角形外角和以及平行線的判定，根據(jù)題意求得∠A，∠BMD和∠F，即可判定∠BMD=∠F，利用平行線的性質(zhì)即可知EF∥AB．【詳解】解：EF∥AB，理由如下，設(shè)DF與AB的交點(diǎn)為M，如圖，∵∠C=90°，∠E=45°，∠B=60∴∠A=30°，∵∠ADF=15°，∴∠BMD=∠A+∠ADF=45°，∵∠FDE=90°，∠E=45°，∴∠F=45°，∴∠BMD=∠F，則EF∥AB．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，在BC的右側(cè)作∠BCD=55°，試說(shuō)明：【答案】解答詳見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的判定，涉及三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定定理：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，熟記平行線的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．方法1：由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可證明問(wèn)題；方法2，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可證明問(wèn)題．【詳解】證明：方法1，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°?35°=55°，∵∠BCD=55°，∴∠B=∠BCD，∴CD∥方法2，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ACB+∠BCD=90°+35°+55°=180°，∴CD∥【變式8-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠ACB=80°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，ED交AC于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求證：EF∥BC．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查平行線的判定，涉及到對(duì)頂角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角的定義求出∠GFE=100°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，直線平行，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵∠CGD=48°，∴∠EGF=∠CGD=48°，∵∠FEG=32°，∴∠GFE=180°?∠EGF?∠FEG=180°?48°?32°=100°，∵∠ACB=80°，∴∠GFE+∠ACB=180°，∴EF∥【變式8-3】（23-24七年級(jí)·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【答案】BE∥CF，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到∠EBC=∠BCF是解題的關(guān)鍵．由AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠BCD=90°，繼而∠EBC=∠BCF，即可求證．【詳解】解：BE∥CF，理由如下，證明，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠BCF，∴BE∥CF．【題型9平行線性質(zhì)的應(yīng)用】【例9】（23-24七年級(jí)·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運(yùn)用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)，已知∠1=102°，則∠2的度數(shù)為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，AB∥DC，

∴∠2=∠BCD，∵∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，∴∠BCD=180°?∠1=78°，∴∠2=78°．故選：C．【變式9-1】（23-24七年級(jí)·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道AB和CD，如果管道AB與縱向聯(lián)通管道的夾角∠A=100°，那么管道CD與縱向聯(lián)通管道的夾角∠C的度數(shù)等于．【答案】80°/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°?∠A=80°；故答案為：80°．【變式9-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過(guò)水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數(shù)是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)可得：∠1=∠3=45°，∠4=60°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：∵AC∥∴∠1=∠3=45°，∵CD∥∴∠2+∠4=180°，∵∠2=120°，∴∠4=180°?∠2=60°，∴∠3+∠4=105°，故選：C．【變式9-3】（23-24七年級(jí)·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)80°，再左轉(zhuǎn)100° B．先左轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80°C．先左轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)100° D．先右轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)判定即可．【詳解】解：如圖所示：A、故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、故本選項(xiàng)正確；C、故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【題型10平行線之間的距離】【例10】（23-24七年級(jí)·上海楊浦·期末）閱讀、填空并將說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，AD與BC交于點(diǎn)

解：作AH1⊥l2，垂足為H又因?yàn)閘1所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）【答案】相等，理由見(jiàn)解析．【分析】作AH1⊥l2，垂足為H1，作BH2⊥【詳解】解：相等，理由如下：作AH1⊥l2，垂足為H又因?yàn)閘1所以AH因?yàn)镾△ACD=1所以S△ACD=S所以S△ACE所以△ACE與△BDE【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線間間距相等是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)A，B在l1上，點(diǎn)C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【答案】C【分析】本題考查了平行線之間的距離，根據(jù)平行線之間的距離的定義即可判斷求解，理解平行線之間的距離的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠ADE=90°，∴AD⊥l∵l1∥l2，點(diǎn)A在l1∴AD的長(zhǎng)度是l1到l故選：C．【變式10-2】（23-24七年級(jí)·上海長(zhǎng)寧·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD，已知梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，那么△ADC的面積【答案】4【分析】本題考查了平行線間的距離處處相等，先根據(jù)題意得出△ABD的面積=4，即可求解．【詳解】解：∵梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，∴△ABD的面積=16?12=4，∵AD∥∴點(diǎn)B到AD的距離等于點(diǎn)C到AD的距離，∴△ADC的面積=△ABD的面積=4，故答案為：4．【變式10-3】（23-24七年級(jí)·湖南郴州·期末）如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，圖中和△EBD面積相等的三角形有以下哪些三角形：①△EDA；②△EDC；③△ABE；④△ABD；⑤△ABC．A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤【答案】C【分析】本題考查平行線之間距離相等，同底等高的三角形面積相等．根據(jù)ED∥BC，AE∥BD，AB∥【詳解】解：∵ED∥BC，平行線之間距離相等，∴△EDC與△EBD同底等高，∴△EDC與△EBD面積相等，∵AE∥∴△ABD與△EBD同底等高，∴△ABD與△EBD面積相等，∵AB∥∴△ABD與△ABC同底等高，∴△ABD與△ABC面積相等，∴S∴與△EBD面積相等的三角形為：△EDC、△ABD、△ABC，故選：C．【題型11平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例11】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形FEBO中，H為OF上一點(diǎn)，C為BO上一點(diǎn)，連接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)58°．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意學(xué)會(huì)分析是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）要證明EF∥BH，可通過(guò)∠E與∠EBH互補(bǔ)求得，利用平行線的性質(zhì)說(shuō)明∠EBH=∠CHB可得結(jié)論；（2）要求∠CHO的度數(shù)，可通過(guò)平角和∠FHC求得，利用（1）的結(jié)論及角平分線的性質(zhì)求出∠FHB及∠BHC的度數(shù)即可．【詳解】（1）證明：∵∠HCO=∠EBC，∴EB∥HC，∴∠EBH=∠CHB．∵∠BHC+∠BEF=180°，∴∠EBH+∠BEF=180°．∴EF∥BH；（2）解：∵∠HCO=∠EBC，∴∠HCO=∠EBC=64°，∵BH平分∠EBC，EB∥HC，∴∠EBH=∠CHB=1∵EF⊥OF，EF∥BH，∴∠BHA=180°?∠EFO=180°?90°=90°，∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．∴∠CHO=180°?∠FHC=180°?122°=58°．【變式11-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，已知點(diǎn)F,E在BC上，點(diǎn)G在AB上，BA⊥AC于點(diǎn)A，ED⊥AC于點(diǎn)D，若∠1=∠2,∠AEB=110°，求∠GFE的度數(shù)．

解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（

），∴∠BAC=90°,∠EDC=°（

），∴ABDE（

），∴∠2=∠BAE（（

），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（

），∴GF∥（

），∴∠AEB+∠GFE=（

），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（已知），∴∠BAC=90°,∠EDC=90°（垂直的定義），∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠BAE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（等量代換），∴GF∥AE（同位角相等，兩直線平行），∴∠AEB+∠GFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=70°．【變式11-2】（23-24七年級(jí)·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE=∠BNM．(1)請(qǐng)對(duì)OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)105°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角相等推出∠AOE=∠BNM，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可；本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的定義，平行公理推論，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥（2）解：∵AB與底座CD都平行于地面EF，∴AB∥∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥∴∠ANM=∠BOE=105°．【變式11-3】（23-24七年級(jí)·寧夏石嘴山·期中）如圖，已知AP∥DM，點(diǎn)B，C分別是射線AP，DM上的點(diǎn)，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度數(shù)；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)80°【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：（1）先由平行線的性質(zhì)得到∠BAD=180°?∠D=120°，再由角平分線的定義得到∠CAN=12∠CAD（2）先證明∠BAD+∠ABC=180°，得到AD∥BC，則∠ACB=∠CAD，再證明∠CAD=∠BAN，得到∠DAN=∠BAC，則∠DAN=∠BAC=∠NAC=13∠BAD=40°【詳解】（1）解：∵AP∥DM，∴∠BAD=180°?∠D=120°，∵AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD，∴∠CAN=1∴∠MAN=∠CAN+∠CAM=1（2）解：∵∠BAD=120°，∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∵AP∥DM，∴∠AND=∠BAN，∵∠AND=∠ACB，∴∠CAD=∠BAN，∴∠DAN=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC=∠NAC=1∴∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80°．【題型12平行線間多折點(diǎn)角度問(wèn)題的探究】【例12】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設(shè)∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數(shù)（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內(nèi)部一點(diǎn)，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【答案】(1)50°(2)∠APD=α+β?180°(3)4【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，進(jìn)而求出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°?α，進(jìn)而求出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)P向左作PF∥AB，過(guò)N向左作NM∥AB，則PF∥MN∥AB∥CD，設(shè)∠PAN=x，∠PCN=y，則∠BAN=3x，【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE=∠D=130°，∵∠A=100°，∴∠APE=80°，∴∠APD=∠DPE?∠APE=130°?80°=50°；（2）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠A=180°，∵∠A=α，∴∠APE=180°?α，∴∠APD=∠DPE?∠APE=β?180°?α（3）過(guò)點(diǎn)P向左作PF∥AB，過(guò)N向左作NM∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥MN∥AB∥CD，與（2）同理，得∠APC=∠PAB?∠PCD，∠ANC=∠BAN?∠DCN.