函數(shù)展開成冪級數(shù)市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

9-5函數(shù)展開成冪級數(shù)

1第1頁定理若冪級數(shù)收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù)；且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同，即收斂域1.冪級數(shù)和函數(shù)分析運算性質(zhì):復(fù)習(xí)2第2頁?求部分和式極限二、冪級數(shù)和函數(shù)求法求和?逐項求導(dǎo)或求積分法逐項求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難（在收斂區(qū)間內(nèi)）3第3頁第五節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第九章展開方法直接展開法間接展開法4第4頁則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)假如能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定函數(shù)比如:5第5頁則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)假如能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定函數(shù)問題:1.假如能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?6第6頁則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)假如能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定函數(shù)比如:無窮級數(shù)有限形式表示函數(shù)7第7頁一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(

在x與x0之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)某鄰域內(nèi)含有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)n階泰勒公式

,該鄰域內(nèi)有:1.回想泰勒公式8第8頁為f(x)

泰勒級數(shù).

則稱待處理問題:若函數(shù)某鄰域內(nèi)含有任意階導(dǎo)數(shù),2.泰勒級數(shù)定義:當(dāng)x0=0時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).？9第9頁定理1.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)充要條件是f(x)泰勒公式中余項滿足:證實:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0某一鄰域內(nèi)含有3.泰勒級數(shù)收斂定理:泰勒級數(shù)收斂于f(x)10第10頁定理2.若f(x)能展成x冪級數(shù),則這種展開式是惟一,且證:

設(shè)f(x)所展成冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.4.系數(shù)惟一性定理:11第11頁說明：2)冪級數(shù)展開式是唯一.？問題:1.假如能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?12第12頁二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟以下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式函數(shù)展開0.求第二步寫出泰勒級數(shù),并求出其收斂半徑R;則13第13頁例1.將函數(shù)展開成x冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)14第14頁例2.將展開成x冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足15第15頁慣用函數(shù)冪級數(shù)展開式（要求切記！）16第16頁2.間接展開法依據(jù)唯一性,利用已知函數(shù)展開式,經(jīng)過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,函數(shù)已知展開式新函數(shù)轉(zhuǎn)化將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).例1.

將函數(shù)展開成x冪級數(shù).解:把x

換成,得17第17頁解思索：例2將展開成x冪級數(shù).將-2x代入上式中x位置，即得

將展開成x冪級數(shù).

將展開成x冪級數(shù).18第18頁解例3將展開成x冪級數(shù).19第19頁例4.

將展成解:

冪級數(shù).20第20頁例5解21第21頁例6.

將在x=0處展為冪級數(shù).解:所以22第22頁例7.將以下函數(shù)展開成x冪級數(shù)解:x＝±1時,此級數(shù)條件收斂,所以23第23頁注意：把函數(shù)展開為冪級數(shù)間接