高考數(shù)學(xué)練習(xí)題

間相備撤建

例駁1.(2020?新課標(biāo)卷II文數(shù)?12)若2、一2,<3-x-3-，，貝U()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.In|x-y|>0D.In|x-y|<Q

【分析】將已知2'-2><3-x-3—按照“左右形式形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量”的目的變形,

然后逆用函數(shù)的單調(diào)性.

【解析】由2*—2y<3f-3->移項(xiàng)變形為萬(wàn)—3f<2>—,設(shè)/(x)=2,3r

易知/(x)是定義在R上的增函數(shù)，故由2*—3T<2'—，可得x<y,

所以y-x>0=>y-x+l>l,從而ln(y-x+1)>0,故選A.

例毀2.(2020?新課標(biāo)I理數(shù)?12)若2"+1。員a=4〃+210g4瓦貝|()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D,a<b2

b2b2b2i

【分析】?/4+2logZ?=2+log#=2+logZ?2=2+log2b2-l

2a+log,t?==22h+log2b—1,設(shè)/(x)=2*+logy

利用作差法結(jié)合/(x)的單調(diào)性即可得到答案.

h2h2h

【解析】?；4+2logZ?=2+log,'2+log2=2%+log2b2-l

：.2"+log。=22fc+log獨(dú)-1,故2"+log%<2勃+log2。

設(shè)/(x)=2*+lo&尤，則/(x)為增函數(shù)，所以/(。)</(2b),所以。<28.

2az,222bb22

/(?)-/(Z?)=2+log2tz-(2+log2b)=2+log2b-(2+\og2b)=

2bb2

2-2-\og2b,

當(dāng)6=1時(shí)，/（。）一/（加）=2〉0,此時(shí)/（0〉/（加），有。>序

當(dāng)6=2時(shí)，/（a）-/（^2）=-l<0,此時(shí)/（0</（加），有°<序，所以C、D錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題需構(gòu)造函數(shù)，其基本策略是：“左右形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量，取左或取

右，構(gòu)造函數(shù)妥當(dāng)“，我們稱之為“同構(gòu)函數(shù)”，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性求值.

雙圓1.(2012?全國(guó)聯(lián)賽)如果cos50-sin50<7(cos30-sin30),&[0,20，貝廂取

值范圍是.

71571

【答案】）

44

o1n

成02.（2012?遼寧競(jìng)賽）不等式------+——-三一5%〉0的解集是.

a+iyx+i--------------------

（2Y2

【解析】原不等式可化為：I——L+5-------〉V+5x

V+1）x+1

構(gòu)造函數(shù)/（x）=爐+5x,貝/'（x）=3x2+5〉0,/（x）在R上單增

2

所以---->%,解之得％<-2或T<x<1

x+1

所以原不等式解集是{Rx<-2或T<x<1}.

姓?3.（2020?南通五月模擬」4）已知柒［0,2砂，若關(guān)于人的不等式

Jsin0-Jcos4左（sirP0-cos3④在（-co,-2］上恒成立，則佛I勺取值范圍

為.

【分析】本題的實(shí)質(zhì)是含參數(shù)6(這里當(dāng)然是sin。、cos。)的不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)

抓住已知條件Jsin0-Jcos比左(sin3acos3。)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的

單調(diào)性布列不等式.

【解析】看至ij廝及^os0<k(sin3^-cos36)想“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，將它變形為：

ksin30-Jsin。>kcos30--Jcos3,

1

設(shè)/(x)=kx3-\［x,f\x)=3kx2—

2^r

,2

易知當(dāng)^€(-00,-2］時(shí),/(x)=3fcv-^=<0故f(X)在［0,+8)單減,

[sin/cos。

所挑Lin必0,解之得：OS然7L

Jcos會(huì)04

所以e的取值范圍「o,捫.

Jzi

現(xiàn)圓4.(2019?南師附中期中」4)已知函數(shù)/(%)=3*—3T,

/(l-21ogr)+/(31og1-1)>log]t,則t的取值范圍是

333

【分析】這里可以發(fā)現(xiàn)log；=—log'#(21oggl)-(31oggl)，將

3

/(I-2log30+/(31og3r-1)>loglt移項(xiàng)變形為

3

/(31og3Z-l)+(31og；-1)>(21og；+1)-/(I-21og/),易知。(x)=3x-3T是奇

函數(shù)，—/(I—21og3/)=/(21og；+l),故進(jìn)一步變形為

y(31og3t-l)+(31og3r-l)>/(2log3r-l)+(2log3r-l),此時(shí)，得到一個(gè)“左右形

式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量”的不等式，令/㈤=/(x)+x,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

F(31og,-1)>F(2logz-l),只需研究/(x)=/(x)+x的單調(diào)性，逆用該函數(shù)的

單調(diào)性即可.

【解析】???log'=一log；=-(1-2log；)-(31og；-l)

3

.../(I-2log30+/(31og3?-l)>log,/可變形為：

3

/(31og3Z-l)+(31o或-1)>(21ogT)-/(I-210gt)

,//(x)=3'—3-￡是奇函數(shù)

.?.-/(l-21og3Z)=/(21og^-l)

/(31og3?-l)+(31og3?-l)>/(2logs-1)+(2log31-1)

令F(x)=/(x)+x=3，-3-+x,貝UF'(x)=ln3-3，+In3-S^+l>0

二歹(x)單增

31og?-l>21ogr-l,即log'之0,解之得121

所以r的取值范圍是［1,+oo).

鞏圖5.(2020?南通如皋創(chuàng)新班四月模擬2)已知實(shí)數(shù)a,如(0,2),且滿足

)’4

a—-4=__2?-4&,則。+匕的值為.

【分析】1號(hào)〃—從—4='—2"—46化為：〃+2"=(2—>)2+2”",設(shè)/(》)=爐+2"

則“X)在(0,2)上遞增，由/(a)=/(2一人)，得a+b的值.

4

【解析】由4=%一2。一46,化簡(jiǎn)為：a2+2a=22-b+(b-2)2

即儲(chǔ)+2。=(2—份2+22;設(shè)/(%)=七+2工

則“X)在(0,2)上遞增，因?yàn)閍,be(0,2)

所以22e(0,2),且/(a)=/(2—b),所以a=2—6,即a+5=2.

雙06.(2020?淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)12月考/4))已知實(shí)數(shù)x,x滿足xe，'=e3,

121

x(inx-2)=/,則xx=衛(wèi).

2212

【分析】由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令I(lǐng)n毛-2=%9=/+2,得

到te!=e3,研究函數(shù)/(%)=xe'的單調(diào)性，求出再，。關(guān)系，即可求解.

解法一：實(shí)數(shù)x,x滿足xe'i=/,x(inx-2)=e5,

12122

2t+2

x>0,x>efInx-2=t>0,x=e,則

1222

f(x)=xex(x>0)J'(x)=(x+1)/〉0(x>0),

所以/(X)在。+8)單調(diào)遞增，而/(%)=/?)=/,

二.%=%=In%—2,％%=x(In%-2)=e5.

121222

解析二：對(duì)xe&=e3兩邊取自然對(duì)數(shù)得：Inx+x=3,

111

對(duì)x(inx-2)=e5兩邊取自然對(duì)數(shù)得：In尤+ln(lnx-2)=5(※)

2222

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將(:※)進(jìn)一步變形為：(in%2-2)+In(inX2-2)=3

設(shè)/(x)=Inx+x,貝I/'(%)」+1〉0

x

所以/(x)在(0,+00)單調(diào)遞增，/(%)=3的解只有一個(gè).

5

x=Inx-2,xx=(inx-2)x=e

121222

【點(diǎn)評(píng)】?jī)煞N解法實(shí)質(zhì)相同，其關(guān)鍵是對(duì)已知等式進(jìn)行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)

造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.

鞏固7.設(shè)方程x+2*=4的根為,設(shè)方程x+log*=4的根為〃，貝I

m+n=.

【答案】4

雙圓8.已知43-34+54=1,b3~3b2+5b^5,那么a+6的值是.

【解析】由題意知a3-3a2+5a-3=~2,分一3/+56—3=2,

設(shè)/(Xin%3—3x2-\-5x~3,則f(a)=-2,/(/>)=2.

因?yàn)?(x)圖象的對(duì)稱中心為(1,0),所以a+b=2.

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)于三次函數(shù)/■(x)y=or3+Zzx2+cx+d其對(duì)

稱中心為(xo,/(xo)),其中f"(xo)=O.

鞏固9.(宿遷?2018?期中)不等式x6—(x+2)3+￡<x4—(x+2)'+x+2的解集

是.

【分析】直接解顯然是不對(duì)路的.觀察不等式的特征，發(fā)現(xiàn)其含有(x+2)、x兩個(gè)因式，

將不等式轉(zhuǎn)化為“一邊一個(gè)變量”的形式為：

%6-%4+犬((x+2)3-(x+2)2+(x+2),構(gòu)造函數(shù)/(x)=丁-f+x,題

目轉(zhuǎn)化為求解/(J)<f(x+2)的問(wèn)題.因?yàn)楱D(無(wú))=3公-2x+1,易知

f(x)=3x°-2x+1>0恒成立，故于(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以由

/(f)V/(x+2)立得：x2<x+2,解之得-14x<2.

【方法點(diǎn)撥】

1.一個(gè)式子中出現(xiàn)兩個(gè)變量，適當(dāng)變形后，兩邊結(jié)構(gòu)相同(如例1);

2.兩個(gè)式子也可適當(dāng)變形，使其結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題，或

運(yùn)用同一方程代入.

專題2”令葭備救名普看的解系等W型

例要1.(2020?新課標(biāo)卷I?理數(shù)J2)已知函數(shù)，(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(1)畫出y=/(x)的圖像;

(2)求不等式/(x)>/(x+l)的解集.

【分析】(1)略；(2)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)/(x)、/(X+1)的圖象，根據(jù)圖象即

可解出.

【解析】(1)略；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，可得函數(shù)/(%+1)的圖象，如圖所示：

7

由一元—3=5（%+1）-1,解得x=—.

所以不等式的解集為(美-/6

-2x,x<2

九公—I

則關(guān)于x的不等式

成⑥1.（2020?揚(yáng)州三檢?12）已知函數(shù)八|-1-X_iX,x>2

［2

/(1-x)</(2-％)的解集為.

【分析】作出函數(shù)/(X)圖象，考察動(dòng)區(qū)間［1—X,2—%］間圖象的單調(diào)性，易得，當(dāng)1—%=!

2

即xj時(shí)，/(1-%)=/(2-%),此即為“臨界值”，而動(dòng)區(qū)間右移時(shí)滿足題意，故

2

111

22

所以不等式/(l-x)</(2—x)的解集為(一00,

2~x%<0

雙@2.(2018?全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)義工)=，'—'則滿足/(x+1)勺(2x)的x的取值范圍是

,1,x>0,

A.(—oo,—1](0,十◎

C.(-1,0)(—8,0)

【解析】法—：分類討論法

p:+l<0,

①當(dāng)《即爛一1時(shí)，

u%<0,

?x+l)勺(2%),即為2一。+1)<2一巴

即一(x+l)<—2x,解得x<l.

因此不等式的解集為(一oo,-1].

停+130,

②當(dāng)|時(shí)，不等式組無(wú)解.

l2x>0

|x+l>0,

③當(dāng)(即一1<爛0時(shí)，

(2爛0,

?x+l)勺(2%),即為1<2一巴解得x<0.

因此不等式的解集為(一1,0).

『+1>0,

④當(dāng)即x>0時(shí)，火x+1)=1,犬2x)=1,不合題意.

l2x>0,

綜上，不等式於+1)勺(2%)的解集為(一8,\川

0).法二：數(shù)形結(jié)合法\

函數(shù)月冗)的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象知，要使於+1)勺(2%),

x+1<0,或「⑷

則需2x<0,

(2x<0,

2x4+1

：.x<0,故選D.

品⑥3.已知/(x)=(x+l)M—3x.若對(duì)于任意xeR,總有了(x)g(x+a)恒成立，貝I常數(shù)a的

最小值是

兀2—2xx>0

【提示】/(》)=口了2_以,]:0,，作出函數(shù)“X)的圖象得:

作平行于X軸的直線/與兀0圖象有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)最左邊與最右邊的交點(diǎn)分別為M,N,

如圖所示，則。的最小值即為線段MN長(zhǎng)的最大值.設(shè)直線/的方程為y—t,

可得MN=3^rn~t^l7^t=3引~+t+心。2=3+32(電(4一￡)

<3+5+1+/+4—/=3+jo

所以，〃的最小值是3+10

【說(shuō)明】

1.本題的難點(diǎn)是要能結(jié)合函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)常數(shù)〃的最小值即為線段MN長(zhǎng)的最大值.

2.本題也可使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決.

鞏固4.已知函數(shù)/(x)=x(l-a\x\)+l(a>0),若/(x+a)(/(%)對(duì)任意的xeR恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【解析】設(shè)g(x)=x(l-a\x|)((2>0),則/(x+tz)</(x)u>g(x+a)<g(x)對(duì)任意的

XEH恒成立，意即將g(x)圖象上的每一點(diǎn)向左平移。個(gè)單位后，所得到的圖象不可能

在g(X)的上方.

fx(l-ax),x>0

因?yàn)間(x)=x(l—a|x|)=,八\

[x(l+ax),x<n(J

2

如圖，由圖象得，a>_,又因?yàn)閍〉0,故〃2后.

a

雙圓5.（2020?鎮(zhèn)江?高三上學(xué)期期末?12）已知函數(shù)/（%）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，

/（x）=x2-4x,則不等式/（光）>x的解集為.

【答案】（一%-5）u（5,+00）

成同6.已知函數(shù)/（%）=x\x-2\,則不等式/（后一%）?/（I）的解集為.

【答案】［-1,+00）

專題3三次備微型

例題1.(2020?浙江-9)已知a,beR且ag若(x-a)(尤-6)(x-2a-6巨0在它0上恒成立，則

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【分析】本題的實(shí)質(zhì)是考察三次函數(shù)的圖象，設(shè)/（x）=（無(wú)一-2〃-Z?）,欲滿足

題意，從形上看則必須在后0時(shí)有兩個(gè)重合的零點(diǎn)才可以，對(duì)。分a〉0與。<0兩種情況

討論，結(jié)合三■次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【解析】因?yàn)閍bwO,所以awO且6W0,/(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則/(x)

的零點(diǎn)為Xj=a,x2=b,x3=2a+b

當(dāng)a〉0時(shí)，則“<龍3，xi>0,要使/(x)?0,必有2a+6=。，且。<0,即6=-a,

JL/?<0,所以b<0；

當(dāng)。<0時(shí)，則x2>x3,Xj<0,要使/(x)之0,必有。<0.

綜上一定有6<0.

故選：C

點(diǎn)評(píng)：①本題使用了作三次函數(shù)示意圖的方法——序軸標(biāo)根法，它是高次不等式的常用解法.

“序軸標(biāo)根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或“穿針引線法“，所謂序軸就是省去原點(diǎn)和單位，只表示

數(shù)的大小的數(shù)軸.序軸上標(biāo)出的兩點(diǎn)中，左邊的點(diǎn)表示的數(shù)比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)小.為了形象

地體現(xiàn)正負(fù)值的變化規(guī)律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過(guò)每一根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，穿過(guò)最后一個(gè)

點(diǎn)后就不再變方向(自右往左，蛇形穿根，奇(次霹)過(guò)偶(次霹)不過(guò))，這種畫法俗稱

“穿針引線法”.用數(shù)軸標(biāo)根法解不等式的步驟：移項(xiàng)、求根、標(biāo)根、畫線、選解.

②本題要求學(xué)生功底扎實(shí)，思維層次要高，尤其對(duì)于處理函數(shù)、不等式等題型數(shù)形結(jié)合思想數(shù)

軸標(biāo)根法的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)出來(lái),所謂胸有藍(lán)“圖”，一路坦途.

鞏固1.若函數(shù)/。)=2如-加+1(。eR)在(0,+ao)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則/(x)在[-1,1]

上的最大值與最小值的和為.

11

【解析】因?yàn)?(0)-1，且由/'(%)=6x2-2ax=6x(x-_a)=0得：x=0或％=_a

33

所以函數(shù)/(x)的圖象是增-減-增型，且在X=0或x三1a處取得極值

r3

Iaa3a2

|/(-)=2-(j)-a-^+1=0

欲使函數(shù)在(0,+00)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)《'’

a

1—>0

13

解之得。=3.

當(dāng)工￡[-1,0]時(shí)，/(X)增；X￡[0,1]時(shí)，/(%)減,

故/?ax=/(0)=l,min{/(1),/(-1)>-4,

所以/(x)在上的最大值與最小值的和為-3.

蛻⑥2.已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x)=ax{x+2)(x-〃)(〃w0),若函數(shù)/(%)在％=-2處取

到極小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-oo,-2)O(0,+co)

蛻@3.若函數(shù)/(x)=x2\x-d\在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

x2(x-a),x>a

【解析】/(x)=x2\x-a\=<

-x2(x-tz),x<a

函數(shù)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)是x=0,所以以0為界與a比較，進(jìn)行分類討論.

①當(dāng)〃〉。時(shí)，如圖一，由/(%)=—3f+2以=0得，%=?；颍ト?，

3

欲使函數(shù)/⑴二,W一4在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，只需％=%之2,即/3.

3

②當(dāng)時(shí)，如圖二，/(%)4在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，滿足題意.

綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一oo,0］U［3,+8).

(圖(圖二)

4.若函數(shù)/(x)=(九一2)2,一《在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是.

【答案】(-o),2］U［5,+a))

雙⑥5..設(shè)函數(shù)/(%)一3%+1(冗eR),若對(duì)于任意的都有/(%)20成立，則

實(shí)數(shù)a的值為.

【解析】若％=0,則不論〃取何值，/(￡)20顯然成立；

31

當(dāng)％〉0即%￡(0,1］時(shí)，/(冗)=一3%+1>0可化為，區(qū)一不

,、31,“、3(1—2%)~,、(11

設(shè)g(x)二一一一,則g(x)=^-------，所以g(x)在區(qū)間0,一I上單調(diào)遞增，在區(qū)

X2x3%4(2

間「1,/上單調(diào)遞減，因此g(x)=g/l'=4,從而a?4；

\［21⑴

31

當(dāng)％<0即xe［-l,0)時(shí)，/(x)=ax?一3%+1>0可化為―

3(1-2%)

g(%)==>0

g(x)在區(qū)間［一1,0)上單調(diào)遞增，因此g(%)ma〃=g(-1)=4,從而綜上4=4.

成@6.已知〃￡R,函數(shù)/(%)二甲%-,，求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值.

【分析】對(duì)3進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)

的最小值.

【解析】設(shè)此最小值為m.

①當(dāng)〃41時(shí)，在區(qū)間［⑵上,/(x)=x3-ax2.

/2

因?yàn)椋篺(x)=3x2-lax=3x(x一_Q)>0,XG(1,2),

3

則f(x)是區(qū)間［1,2］上的增函數(shù)，所以m=f(1)=1-a..

②當(dāng)1<aV2時(shí)，在區(qū)間工］上,/(%)=X1x-\a>?由/(〃)=0知：m=f(a)=0.

③當(dāng)a>2時(shí)，在區(qū)間［1,2］上，/(x)-ax1-x3.

、2

于1(x)=2ax-3x2=3x(—<7_］).

若〃23,在區(qū)間(1,2)內(nèi)F(x)>0,從而千(x)為區(qū)間［1,2］上的增函數(shù)，

由此得：m=f(1)=a-1.

2

若2<a<3,?］1<_a<2

3

?2

當(dāng)1<%<_Q時(shí),//(%)>0,從而/*(%)為區(qū)間［1,止的增函數(shù)

33

22

當(dāng)_<%<2時(shí),從何/(%)為區(qū)間［q2］上的減函數(shù).

33

因此，當(dāng)2<a<3時(shí)，m=f(1)=a-1或m二千(2)二4(a-2).

7

當(dāng)2<aV—時(shí)4(〃-2)V〃一1,故加=4(〃-2)；

3

7

當(dāng)—<〃<3時(shí)，a-1<4(。-2),故m=a-1.

3

當(dāng)a<1時(shí);

0,當(dāng)1<〃《2時(shí)；

綜上所述，所求函數(shù)的最小值加=14(。_2),當(dāng)2<a<J時(shí)；

7

〃一1,當(dāng)〃〉一時(shí)；

I3

現(xiàn)⑥7.已知函數(shù)/(%)=_12］的定義域是［0,m］,值域是［0,QW］,則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是

【解析一】易知：當(dāng)0Vx＜2,/(x)增；當(dāng)2Vx＜2JJ,/(x)減；當(dāng)xN2出,/(%)

增，且/⑵=/(4)=16.

①當(dāng)0＜機(jī)V2時(shí)，/(%)[0,m]增

2212、

A—m(jn-12)=am,a=—m+—G[4,+ooj；

m

②當(dāng)2(根44時(shí)，。/=16,a=」^e[l,4)；

m

12

③當(dāng)機(jī)24時(shí)，m(m2—12)=am,a=m--w(l,+oo)；

m

綜上，〃21.

【解析二】?jī)H考慮函數(shù)f(x)在尤＞0時(shí)的情況，

fl2x-x3,x＜2ft,

可知/(%)=＜7函數(shù)/(x)在x=2時(shí)，取得極大值16.

[x3-12x,x.2j~

3.令13_12冗=16,解得，x=

4.作出函數(shù)的圖象(如圖所

示)，

函數(shù)/(?的定義域?yàn)椤，值域?yàn)閇0,am2],分為以下情況考慮：(1)當(dāng)0V根＜2時(shí)，函

數(shù)的值域?yàn)閇0,m(12-m2)],有m(12-m2)=am2,所以。=運(yùn)一根，因?yàn)?＜機(jī)＜2,所以。＞4；

m

(2)當(dāng)2m機(jī)＜4時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇0,16],有助12=16,所以。=及，因?yàn)?〈機(jī)＜4,

m2

所以1W〃W4;(3)當(dāng)機(jī)〉4時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇0,m(m2-12)],有皿加2-12)=〃?，所以

a=m~—,因?yàn)閙>4,所以a>\\綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是a.

m

專題4熬列專儒項(xiàng)型

例要1.(新課標(biāo)I-文科-16)數(shù)列｛?！埃凉M足?！?2+(—1)"?！?3〃—1,前16項(xiàng)和為540,貝

?i=,□.

【分析】對(duì)〃為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推

公式將奇數(shù)項(xiàng)用0表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立?方程，求解即可得

出結(jié)論.

【解析】?！?2+(-1)"為=3〃一1,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2=an+3n—1；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=3n—1.

設(shè)數(shù)列｛。〃｝的前幾項(xiàng)和為Sn,

S[6=+。2+。3+14+，,,+〃16

—%+的+〃5…+〃15+(%+%)+…(〃14+〃16)

=+(a1+2)+(a1+10)+(6+24)+(a1+44)+(〃]+70)

+(。1+102)+(%+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8/+484=540,

.,.ax=7.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用、數(shù)列的并項(xiàng)求和、分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算

能力.

雙囪1.數(shù)列｛緣｝滿足％]+(-1)"an=2n-l,貝|其前60項(xiàng)和為.

【解析】由〃+(—1)%=2n-l,可得aa+a=3,a-a=5,a-\-a=7,

n+ln21324354

。6一%=7,%—。6=U，…，〃99=199

所以。3+。1=2,a4+a2=8,a1-\-a5=2,6z8+24,a9-\-an=2,

〃]2+〃IO=4O,…,

所以從第一項(xiàng)起，每四項(xiàng)的和構(gòu)成以10為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列

所以｛。｝前60項(xiàng)和為15x10+^^x16=1830.

n。

/1

雙圖2.已知數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S,S=(一一_,nsN",則

nnnn

S]+S2+S3+…+S100=口

【答案】--1)

雙固3.設(shè)S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，S=(—1)"?！?辿eN*,則

(1)=□；(2)S1+S2+----卜Sioo=□.

【解法一】＜=(-DZjJ.??當(dāng)心2時(shí)，S〃T=(-1尸%-擊

兩式相減得SfT=(-1)凡一，(—1尸%+白，即

a=(-l)"a-(-1尸a+1

nnn—1r2n

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，a=a+a+J_,所以a=-,即〃是奇數(shù)時(shí)，a=-

nnn-1n-1n^n+1

當(dāng)“是奇數(shù)時(shí)，2%=-%_]+/-,。.i=-2a“+=即當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，

乙乙乙

1

?111

?----------?S+SH---1-S=(—a—_)+(〃—_)+…+(?！猒)_

10

121001~22了-1002°

二(Q+〃+?,,+a)—(a+〃+,,,+〃1+…+b

2410013222100

=(1.+

22242100232529,

【解法二】VS=(—D"a-J_s=(—l)"(S—S)-￡

nn

nn2"n—1

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，s=s-ss即當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，s=-1；

nnn-10nn-\n^n+1

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，S=-S+SS=2S+1=0,即當(dāng)”是偶數(shù)時(shí)，S=o；

nnn-1。八n-1〃n

鞏圓4.已知數(shù)列｛。｝的前”項(xiàng)和為S,對(duì)任意“eN,S=(-1)"a+\w-3JL

nn+nn

(r-a”+i)Q-%)<°恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是

3

【解析】當(dāng)"=1時(shí)，a==4

211

當(dāng)〃〉時(shí)，S=(一1)〃-％+_±n-4,所以。=(-l)-a+(-1)%-_F1

n-1n-10"1-nnn-\r\n

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，

12

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，羽=一?！啊?+1，即1r-2=口「4+1，%=3-^

3-1，〃為偶數(shù)

所以〃2"

蟲-1,〃為奇數(shù)

2角

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，4，=3-上1；，31,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a=

。一〃)?-。)<0卜_4、“、，311

又因?yàn)椤?1n恒成工，an+l<t<an,所以——<才<一.

44

n

品囪5.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為S",且3S“=anan+l,則￡a2k=衛(wèi)?

k=l

【解析】3S“=anan+l：.3s“一1=anAan(n>2)

兩式相減得3(S“—S"|)=a”(a”+「a”一J,即3a“=a”(a"+「a”」)

又因?yàn)椋?｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a“+i—a,*i=3(n>2)

當(dāng)〃=1時(shí)，由3Sn=cinan+x得3sl=3色=axa2,所以電二3

故。2，。4，。6，。8,…是以。2=3為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列

nx(n-l)3〃(〃+l)

??￡a2k=〃x3+-------x3=-------

k=l22

雙圖6.(2020?濱海中學(xué)?14)設(shè)數(shù)列｛〃｝滿足〃=1,〃=1,〃=4,〃=1，數(shù)列｛〃｝前

n1234An

〃項(xiàng)和是S，對(duì)任意的〃￡N*,/(x)=""+2%+(〃+。-2a)cosx-ex,

nann+2n+1a,

nn+92

若/'（O）=0，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，S?的表達(dá)式是

解析：r(x)=7+2_(a

nn+2

因?yàn)?'（0）=0,所以%+2_q+4=0,即f"=3上所以數(shù)列｛a｝中所有的奇

4a“+2a“an+2

數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),

1人—演）1.1—c

s”的表達(dá)式是△-----+L」2"4

-r-3x2?+1.

1-4

4

雙圓7.若數(shù)列｛aj滿足aa+a“+[+an+2=3n~6,且數(shù)列｛a?｝的前〃項(xiàng)的和S總滿足

S=An2+Bn+C（其中A、B、C為常數(shù)），則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是

【答案】a“二n-3

應(yīng)圓8.若數(shù)列｛a｝滿足a+a+a=3n_6,且a=j?,若數(shù)列｛a｝單調(diào)遞增,

nnn+1n+22r\1n

貝的取值范圍為.

【答案】al（-__）

,52

5於戶+且㈤型

例耍I.(2020?新課標(biāo)I?理科21)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-X,當(dāng)它0時(shí)，f(x)>—,.

2x3+1,

求。的取值范圍.

【分析】遇到4x)e*+g(x)的形式變形為e</i(x),其求導(dǎo)后的結(jié)果是[e，%(x)y=e”/7(x)+

h'(x)y,其導(dǎo)數(shù)方程是多項(xiàng)式形式，所以它的根與指數(shù)函數(shù)無(wú)關(guān)，有利于更快捷地解決問(wèn)題.

3x

【解析】/(x)乏1X+1等價(jià)比1尤3一依2+尤+l)e-<1

22

設(shè)函數(shù)g(x)=(1%3_依2+X+l)e-x(X20),貝4

131

g'a)=-CX3-tzx2+x+1x2+lax-l)e-x=^x[x-(2a+3)x+4〃+2]e-x

222

=一,x(x-2a-l)(x-2)e-x.

2

(i)若2〃+10，即"(二,則當(dāng)正(0,2)時(shí)，，。)>0.所以gG)在(0,2)單調(diào)

2

遞增，而g(0)=1,故當(dāng)(0,2)時(shí)，g(%)>1,不合題意.

(ii)若0<2〃+1<2,即一;<〃<；,則當(dāng)了￡(0,2^+1)U(2,+8)時(shí)，g'(x)<0;當(dāng)]￡(2。+1,

2)時(shí)，gq)>0.所以g(x)在(0,加+1),(2,收)單調(diào)遞減，在Qq+l,2)單調(diào)遞增.由于g(0)=l,

7-e2

所以g(x)Wl當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7-4<7)e-2<l,即生------

4

所以當(dāng)1時(shí),g(x)<i.

42

(iii)若2a+l>2,即aN—，則g(x)S(―丁+%+.

-22

7-e2113-%

由于?！闧4，/，故由(ii)可得(％+x+l)e<1.

故當(dāng)時(shí)，g(x)<l.

2

7-e2

綜上,4的取值范圍是[-----,+00).

4

點(diǎn)評(píng)：

解決形如危)爐+且。)常見結(jié)論匕*%+1(有時(shí)甚至以2+工+1),從形的角度看，它揭

2

示了曲線與其切線的位置關(guān)系，從數(shù)的角度看，它提供了一種將指數(shù)型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式

型結(jié)構(gòu)的方法，從而順利突破難點(diǎn).

相⑥1.已知FNI+QX對(duì)任意工￡[0,+8)成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【解析】根據(jù)常用不等式e0+l,且y=x+l與y=e”相切于(0,1),又y=ax+l也過(guò)點(diǎn)(0,1),

觀察圖象可知，要使匕噎1+〃式對(duì)任意x￡[0,+8)成立，則〃口,即實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(-8,1].

2.已知'+二「對(duì)一切正實(shí)數(shù)元恒成立，則實(shí)數(shù)，的最大值為?

2x+l

1—1—I—1—I—1

【解析】因?yàn)棰?1,所以:---->-------=1.則/1,所以f的最大值為1.

2x+12x+1

成@3.已知函數(shù)兀￥)=〃一1一%一以2,當(dāng)眾0時(shí)次x)K)恒成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為

【解析一】由/(x)=ex—1—2ax，又e0+l,所以f(x)=ex—l-2ax>x—lax=(1-2a)x,

所以當(dāng)1一2。三0,即aS：時(shí)/(x巨0(x20),而10)=0,于是當(dāng)xNO時(shí)川x巨0,滿足題意；又存0

時(shí),e'>x+l,所以可得er>l—%從而當(dāng)時(shí)/任)=F一1—2辦立，一2a(er—1)

=(1-e^).(e'-2a),故當(dāng)xG(0,ln2a)時(shí)/(x)V0,而｛0)=0,于是當(dāng)xe(0,ln2a)時(shí)｛x)<0,不

合題意.

1-co,-

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為〔2J

【解析二】因?yàn)閑》+l,所以當(dāng)〃式)時(shí),此依2+冗