高中數(shù)學(xué)全一冊學(xué)案（含解析）新人教A版必修5

1.1.1正弦定理

［提出問題］

如圖，在中，4=30°,斜邊c=2.

問題1：求△力%的其他邊和角.

提示：6=60°,Z7—90°,a—l,b--\［3.

問題2：試計算一三,一'一^f勺值，三者有何關(guān)系？

sinAsinDsin0

b_#

提示:E=2,三者的值相等.

7iTA=2,sinBsin600

問題3：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論？

提示：是.如圖，:sinA=-

cf

.a

??,c.

sinA

bb

VsinB=i

csinB

a______b______c__

VsinC=l,

sinAsinBsinC

問題4：在鈍角中，6=C=30°,b=木,試求其他邊和角.

提示：如圖，為直角三角形，f=30°,AC=4

A

3

則AD—之，

BC=3?AB=WZBAC=120°.

問題5：問題4中所得數(shù)字滿足問題3中的結(jié)論嗎？

提示：滿足.

問題6：若是銳角三角形，上述結(jié)論還成立嗎？

提示：成立.

［導(dǎo)入新知］

1.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即一

sin--sinB-sinC

2.解三角形

一般地，把三角形的三個角4B,。和它們的對邊9b,￡叫做三角形的元素，已知三

角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.

［化解疑難］

對正弦定理的理解

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.

(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，

它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

鎖定考向，考題千變不離其宗

已知兩角及一邊解三角形

［例1］在玄中，已知a=8,6=60°,C=75°,求4b,

［解］1=180°—(8+0=180°-(60°+75°)=45°.

baasinB8Xsin6004r-

由

sinBsinAi得仁不k-=4禍

8X

a_____￡asinC8><sin75°4―=4(m+l).

由

sinAsinsinAsin45°

2

."=45°,6=4弧c=4(/+l).

［類題通法］

已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路

(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角；

(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊.

注意：若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特

殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75°=45°+30°),再根據(jù)上述思路求解.

［活學(xué)活用］

在△/6C中，已知c=10,1=45°,430°,解這個三角形.

解：..3=45°,C=30°,

，6=180°—(4+0=105°.

acsin/lOXsin450廣

由a=sinC=sin30°-=10^2-

sinAsin

b,csinBlOXsin105°i.0

由

sinBsinb=sinC=-sin30°=20sin75,

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

_4+加

一4

:.b=20X木:乖=54+5乖.

...8=105°,3=1072，b=5木+5乖.

題型二,已知兩邊及一邊的對角解三角形

［例2］根據(jù)下列條件解三角形.

(?！餍刂校阎?=#,6=60°,c=l；

(2)Z\/比1中，已知c=/，4=45°,a=2.

［解］(1)由正弦定理知

csinB1Xsin600

sinc=~b故430°或C=150°.

\'A+B+C=180°,

.,-<7=150°不符合題意，舍去.

/.J=90°,a=?百+1=2.

故d=2,4=90°,6^30°.

csin4加sin45°術(shù)

⑵由正弦定理得sinC=

a22.

故C=60°或r=120°.

csinBmsin75°

當(dāng)C=60°時，8=75。,b=-=/+l.

sinCsin60°

當(dāng)，=由時，Q5,，=號限第*

故6=4+l,415°,C=60°或6=/一1,6=15°,

0=120°.

［類題通法］

已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法

(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；

(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判

斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；

(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦

值可求兩個角，要分類討論.

［活學(xué)活用］

在△/8C中，若c=#,C=—>a=2,求4B,b.

J

e-ac/口.asinCyJ2

解：由—":)得sinA==0.

sinAsin0c2

冗3n

，/=彳或

又,：c>a,

：.OAf

_,JT

*,*只目旨取力=7，

JIJi5n

判斷三角形的形狀

［例3］在△力回中，sin'J=sin6+sinC,且sind=2sinBcosC,試判斷

的形狀.

［解］由正弦定理，得sinsinB='^sin(A為△］比外接圓半徑)

Vsin34=sir?6+sin，C,

即才=〃+c2,故力=90。.

/.C=90°—B,cosC=sinB.

A2sinBcosO=2sin‘J3=sinA=1.

..R_亞

.?.6=45°或6=135°（4+6=225°>180°,故舍去）.

.?.△4%是等腰直角三角形.

［類題通法］

1.判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手，

從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大

小，從而作出準(zhǔn)確判斷.

2.判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三

角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)

別.

［活學(xué)活用］

在中，若。=acosC,試判斷該三角形的形狀.

qb

解：Vb=acosC,—--=27?,（彳為外接圓半徑）

sinAsinB

sinB=sinA?cosC.

B—n一（4+0,

Asin（力+0=sinA?cosC.

BPsin/cosC+cos力sin6^=sinA?cosC,

/.cos/sinC=0,

VJ,Ce（0,Ji）,AcosJ=0,

n

為直角三角形.

修補短板，拉分題一分不丟

1.警惕三角形中大邊對大角

［典例］在△4K1中，己知a=24，b=2,4=60°,則6=.

［解析］由正弦定理，得sinB—bX^—2,X—V0°<J?<180°,'.B

a2弋32

=30°,或Q150°...”Va,根據(jù)三角形中大邊對大角可知&V4.?.6=150°不符合條件，

應(yīng)舍去，.?.6=30°.

［答案］30°

［易錯防范］

1

由?后得

S

-

n

1

.

出錯

而易

，從

2地

<@=

。=2

而忽視

°,

或150

6=30°

2

舍.

的取

論角

”討

和定理

內(nèi)角

和“

角”

對大

“大邊

根據(jù)

，要

值后

正弦

角的

求出

2.在

破障］

［成功

,求

,/=30°

=2小

,a

6=6

，且

的邊

對應(yīng)

C所

4B,

是角

分別

b,c

，a,

%中

在

值.

ac的

k

3

得

=而下

理導(dǎo)

弦定

由正

解：

n30°

6si

sinA

八b

尸

=

B~~

sin

2,

2小

a

4

知花＞

,6＞a

a=2而

6,

件6=

由條

.

120°

或

=60°

.*.8

.

=90°

-60°

-30°

0°

-6=18

一/

=180°

，＜7

時

8=60°

①當(dāng)

，

=4（

,c

6=6

2小,

a=

°,

，C=90

7C中

ZX4

在Rt

=24.

4X4/

ac=2

,

=30°

-120°

-30°

°

=180

4-6

0°—

。=18

時，

0°

Q12

②當(dāng)

.

5=12

*2，

=24

..j

=24

a=c

貝IJ有

=C,

：.A

屈

|01庖

成鋼

百煉方

練，

自主演

練］

即時演

［隨堂

）

=（

,則〃

=3通

,BC