河南省三門峽市靈寶市實驗高級中學2024-2025學年高一下學期3月月考 數(shù)學試題（含解析）

靈寶實驗高中高一下期月考數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由題意，故選：B.2.邊長為2的等邊三角形中，（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積定義及公式計算即可.【詳解】由題意，故選：C.3.在中，，則（）A.或 B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得，，即，解得，又，則，所以故選：B.4.已知向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在方向上的投影向量是，代入計算即可.【詳解】由題意有，，所以在方向上的投影向量是，故選：A5.已知向量滿足，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則和數(shù)量積的運算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由向量滿足，因為，可得，解得，故選：D.6.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，，后，可以計算出A，B兩點的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，再利用正弦定理求解即可.【詳解】因為，,所以，中，由正弦定理得,即，解得.所以A，B兩點的距離為m.故選：A.7.如圖，在四邊形中，，向量的夾角為.若是邊的中點，是邊的中點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的線性運算表示，可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，，∵若是邊的中點，是邊的中點，∴，∴①＋②得，，∴，∴，故.故選：D.8.在中，已知，則的內(nèi)切圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三邊長利用余弦定理求得繼而求得三角形的面積，接著通過的內(nèi)切圓的圓心分割三角形得到其面積的另種表示方式，即可求得內(nèi)切圓半徑.【詳解】由余弦定理可得，因，則，.設的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，則的內(nèi)切圓的面積為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列正確的是（）A.若，則與能作為一組基底B.，則與能作為一組基底C.與可以作為一組基底D.若不共線，則與可以作為一組基底【答案】BD【解析】【分析】本題可根據(jù)向量能否作為一組基底的判定條件，即兩個向量不共線時可以作為一組基底，來逐一分析選項.【詳解】選項A：判斷與是否共線.，等式成立，所以與共線，不能作為一組基底，A選項錯誤.選項B：判斷與是否共線.，所以與不共線，能作為一組基底，B選項正確.選項C：判斷與是否共線.設，可得.若與不共線，則不存在這樣的實數(shù)使得成立；若與共線，則與共線.由于題目未明確與是否共線，所以無法確定與是否能作為一組基底，C選項錯誤.選項D：判斷與是否共線.設，即.因為，不共線，所以不存在實數(shù)使得成立.所以與不共線，可以作為一組基底，D選項正確.故答案為：BD.10.在中，角的對邊分別為，則（）A.若，則解此三角形有兩解B.若，則此三角形為等腰直角三角形C.若為銳角三角形，則D.的充要條件是【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理求解可判斷A；利用正弦定理邊化角可得或，可判斷B，利用銳角三角形的定義以及誘導公式計算可判斷C；由正弦定理可判斷D.【詳解】對于A，由余弦定理可得，即，解得或，故三角形有兩解，故A正確；對于B，因為，所以由正弦定理可得，所以，因為，，所以或，所以或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，因為為銳角三角形，所以，所以，，所以，，所以，故C正確；對于D，充分性，若，則，所以，故充分性成立，必要性，若，則，所以，故必要性成立，所以的充要條件是，故D正確.故選：ACD.11.已知三個內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，.則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.的取值范圍為D.若，則為等邊三角形【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理化簡判斷A，根據(jù)正弦定理結(jié)合合比性質(zhì)判斷B，利用正弦定理及數(shù)量積定義得，然后利用三角恒等變換化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍判斷C，根據(jù)向量線性關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義易知的角平分線與垂直且，即可判斷D.【詳解】對于A，在中，，由余弦定理得，正確，對于B，由正弦定理，可得，，所以，正確；對于C，由選項B知，，則，又，所以，所以，所以，錯誤；對于D，表示方向的單位向量；表示方向的單位向量，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知與的角平分線共線，由可知的角平分線與垂直，所以是等腰三角形，又，所以為等邊三角形，正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的定義及正弦定理、綜合運用兩角和差正弦公式及二倍角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，與的夾角為，若與垂直，則實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】由已知條件可得，再利用向量垂直，可得，進而求得的值.【詳解】由題意得，從而，得.故答案為：.13.在中，，分別為，的中點，，，則面積的最大值為________．【答案】【解析】【分析】分別在和中利用余弦定理可得，，再將面積表達式平方并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值.【詳解】如下圖所示：設角所對的邊分別為，在中，由利用余弦定理可得，又，可得，即；同理在中,由利用余弦定理可得，又，可得，即；聯(lián)立，解得，；由的面積為可得因此可得，可得，即面積的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用中線長結(jié)合余弦定理求得三邊長之間的關(guān)系，再由面積表達式平方計算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最值.14.在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】以O為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標系.向量坐標化進行坐標運算，利用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】以O為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標系.則.不妨設.因為，所以，解得：，所以.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.所以當時最大；當時最小.所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，其中.（1）若向量是單位向量，且，求向量；（2）若向量，向量與向量共線，求向量.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的模和垂直的坐標表示列出等式求解；（2）根據(jù)向量平行的坐標表示列出等式求解.【小問1詳解】設，根據(jù)題意，得，則或，所以或；【小問2詳解】若向量，則，，由向量與向量共線，可得，則，故.16.在中，角,,的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，，求和的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合余弦定理求出，再由角是的內(nèi)角得出角的范圍進而可以求解；（2）根據(jù)已知結(jié)合余弦定理即可求解【詳解】（1）由，得，由余弦定理，得，即，又因為，所以.（2）由（1）及余弦定理，得，將，代入得.由，解得或所以或.17.如圖，在中，，點為中點，點為上的三等分點，且靠近點，設．（1）用表示；（2）如果，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，結(jié)合向量加，減，和數(shù)乘，即可用基底表示向量；（2）由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，最后利用數(shù)量模的運算公式結(jié)合數(shù)量積的運算律求解即可．【小問1詳解】因為，所以，；【小問2詳解】因為，所以，所以，由，可得，又，所以，所以．18.如圖，某人開車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛3分鐘后，到達處，此時測得仰角，且．（1）求此山的高OP的值；（2）求該車從A到行駛過程中觀測點的仰角正切值的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），在中和中，利用正切函數(shù)可表示出，然后在中利用余弦定理可求出；（2）設是線段AB上一動點，連結(jié)OC，PC，當時，OC最短，此時觀測點的仰角正切值的最大，從而可求出其最大值.【小問1詳解】設，在中，因為，所以，同理，在中，，在中，由余弦定理得，所以，得，所以此山的高為．【小問2詳解】由（1）得，設是線段AB上一動點，連結(jié)OC，PC，則在點處觀測點的仰角為，當時，OC最短，由得，所以，所以該車從到行駛過程中觀測點仰角正切值的最大值為．19.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且為邊上的一點，且平分.（1）求的大??；（2）若平分線交于點，且，求周長的最小