對坐標(biāo)的曲面積分課件

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對坐標(biāo)的曲面積分一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影區(qū)域的面積為規(guī)定為類似可規(guī)定機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則在xoy面上的有向投影二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面

的流量.分析:若

是面積為S

的平面,

則流量法向量:

流速為常向量:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對

的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例中,流過有向曲面

的流體的流量為稱為Q

在有向曲面

上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面

上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面

上對

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點,則(2)用

ˉ

表示

的反向曲面,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面

取下側(cè),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

計算其中

是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式

的頂部取上側(cè)

的底部取下側(cè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

把

分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中

為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計算解:

利用輪換對稱性,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令向量形式(A在

n上的投影)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由兩類積分之間的聯(lián)系,得若同理可得:曲面積分的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：例4.

位于原點電量為q的點電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E

通過球面:r=R外側(cè)的電通量

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

計算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個與

的方向無關(guān),一個與

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yoz

面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是平面在第四卦限部分的上側(cè),計算提示:求出

的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面