高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題七數(shù)學(xué)思想方法第2講分類討論思想轉(zhuǎn)化與化歸思想

第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想高考定位分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想近幾年高考每年必考，普通表達(dá)在解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中，難度較大.1/361.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引發(fā)分類討論原因(1)由數(shù)學(xué)概念而引發(fā)分類討論：如絕對值定義、不等式定義、二次函數(shù)定義、直線傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引發(fā)分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)定義域，等比數(shù)列{an}前n項和公式等.2/36(3)由性質(zhì)、定理、公式限制而引發(fā)分類討論：如函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等.(4)由圖形不確定性而引發(fā)分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)改變而引發(fā)分類討論：如一些含有參數(shù)問題，因為參數(shù)取值不一樣會造成所得結(jié)果不一樣，或者因為對不一樣參數(shù)值要利用不一樣求解或證實方法等.3/362.常見轉(zhuǎn)化與化歸方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、處理數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊粋€情況轉(zhuǎn)化到另一個情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一個情境使問題得到處理，這種轉(zhuǎn)化是處理問題有效策略，同時也是獲取成功思維方式.常見轉(zhuǎn)化方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.(2)換元法：利用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于處理基本問題.4/36(3)數(shù)形結(jié)正當(dāng)：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，經(jīng)過相互變換取得轉(zhuǎn)化路徑.(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于處理等價命題，到達(dá)化歸目標(biāo).(5)特殊化方法：把原問題形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證實特殊化后問題、結(jié)論適合原問題.(6)結(jié)構(gòu)法：“結(jié)構(gòu)”一個適當(dāng)數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子谔幚韱栴}.5/36(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法處理幾何問題是轉(zhuǎn)化方法一個主要路徑.(8)類比法：利用類比推理，猜測問題結(jié)論，易于確定.(9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉形式進(jìn)行處理.(10)補(bǔ)集法：假如正面處理原問題有困難，可把原問題結(jié)果看做集合A，而把包含該問題整體問題結(jié)果類比為全集U，經(jīng)過處理全集U及補(bǔ)集?UA取得原問題處理，表達(dá)了正難則反標(biāo)準(zhǔn).6/36熱點一分類討論思想應(yīng)用[微題型1]由性質(zhì)、定理、公式限制引發(fā)分類【例1－1】(1)設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn，已知2Sn＝3n＋3，求數(shù)列{an}通項an＝________.7/368/369/36探究提升

由性質(zhì)、定理、公式限制引發(fā)分類整正當(dāng)往往是因為有數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出，在不一樣條件下結(jié)論不一致情況下使用，如等比數(shù)列前n項和公式、函數(shù)單調(diào)性等.10/36[微題型2]由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引發(fā)分類【例1－2】(1)不等式|x|＋|2x＋3|≥2解集是(

)11/36(2)已知m∈R，求函數(shù)f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在區(qū)間[0，1]上最大值為________.12/3613/3614/3615/36探究提升

由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引發(fā)分類整正當(dāng)，常見類型有除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)問題，含有絕對值不等式求解，三角函數(shù)定義域等，依據(jù)對應(yīng)問題中條件對對應(yīng)參數(shù)、關(guān)系式等加以分類分析，進(jìn)而分類求解與綜合.16/36[微題型3]由參數(shù)改變引發(fā)分類【例1－3】

(·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋a(1－x).(1)討論f(x)單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a取值范圍.17/3618/3619/36探究提升

由參數(shù)改變引發(fā)分類整正當(dāng)經(jīng)慣用于一些含有參數(shù)問題，如含參數(shù)方程、不等式，因為參數(shù)取值不一樣會造成所得結(jié)果不一樣，或?qū)τ诓灰粯訁?shù)值要利用不一樣求解或證實方法.20/36熱點二轉(zhuǎn)化與化歸思想[微題型1]換元法【例2－1】

已知實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，則a最大值是________.21/36探究提升

換元法是一個變量代換，也是一個特殊轉(zhuǎn)化與化歸方法，是用一個變數(shù)形式去取代另一個變數(shù)形式，是將生疏(或復(fù)雜)式子(或數(shù))，用熟悉(或簡單)式子(或字母)進(jìn)行替換；化生疏為熟悉、復(fù)雜為簡單、抽象為詳細(xì)，使運(yùn)算或推理能夠順利進(jìn)行.22/36[微題型2]特殊與普通轉(zhuǎn)化23/36答案C24/36探究提升普通問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題普通化，能夠使我們從宏觀整體高度把握問題普通規(guī)律，從而到達(dá)成批處理問題效果.25/36[微題型3]常量與變量轉(zhuǎn)化【例2－3】

對任意|m|≤2，函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1－m恒為負(fù)，則x取值范圍為________.解析對任意|m|≤2，有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，即|m|≤2時，(x2－1)m－2x＋1＜0恒成立.設(shè)g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，則原問題轉(zhuǎn)化為g(m)＜0恒成立(m∈[－2，2]).26/3627/36探究提升

在處理多變元數(shù)學(xué)問題時，我們能夠選取其中參數(shù)，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而到達(dá)降低變元簡化運(yùn)算目標(biāo).28/36[微題型4]正與反相互轉(zhuǎn)化29/3630/36探究提升

否定性命題，常要利用正反相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案補(bǔ)集即可，普通地，題目若出現(xiàn)各種成立情形，則不成立情形相對極少，從反面考慮較簡單，所以，間接法多用于含有“至多”、“最少”及否定性命題情形問題中.31/361.分類討論思想本質(zhì)是“化整為零，積零為整”.用分類討論思維策略解數(shù)學(xué)問題操作過程：明確討論對象和動機(jī)→確定分類標(biāo)準(zhǔn)→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對象全體，明確分類標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”分析討論.常見分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集?討論.32/3633/3634/362.轉(zhuǎn)化與化歸思想遵照標(biāo)準(zhǔn)：(1)熟悉已知化標(biāo)準(zhǔn)：將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，方便于我們利用熟知知識、經(jīng)驗和問題來處理.(2)簡單化標(biāo)準(zhǔn)：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，經(jīng)過對簡單問題處理，到達(dá)處理復(fù)雜問