高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例概率第4節(jié)隨機(jī)事件的概率

第4節(jié)隨機(jī)事件概率1/28最新考綱1.了解隨機(jī)事件發(fā)生不確定性和頻率穩(wěn)定性，了解概率意義以及頻率與概率區(qū)分；2.了解兩個(gè)互斥事件概率加法公式.2/281.概率與頻率(1)頻率：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)百分比f(wàn)n(A)＝

為事件A出現(xiàn)頻率.(2)概率：對(duì)于給定隨機(jī)事件A，因?yàn)槭录嗀發(fā)生頻率fn(A)伴隨試驗(yàn)次數(shù)增加穩(wěn)定于概率P(A)，所以能夠用

來(lái)預(yù)計(jì)概率P(A).知

識(shí)

梳

理頻率fn(A)3/282.事件關(guān)系與運(yùn)算包含B?AA＝B并事件4/28交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)且，則稱此事件為事件A與事件B交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必定事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?P(A∪B)＝1事件A發(fā)生事件B發(fā)生5/283.概率幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率取值范圍：

.(2)必定事件概率P(E)＝

.(3)不可能事件概率P(F)＝

.(4)互斥事件概率加法公式①假如事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

.②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)6/28[慣用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.頻率伴隨試驗(yàn)次數(shù)改變而改變，概率是一個(gè)常數(shù).2.對(duì)立事件是互斥事件特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”必要不充分條件.7/281.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)事件發(fā)生頻率與概率是相同.(

) (2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率穩(wěn)定值.(

) (3)若隨機(jī)事件A發(fā)生概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(

) (4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)概率小于乙中獎(jiǎng)概率.(

)

答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×診

斷

自

測(cè)8/282.(教材習(xí)題改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“最少有一名女生”與事件“全是男生”(

) A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件

解析

“最少有一名女生”包含“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”組成全集，且不能同時(shí)發(fā)生，故“最少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對(duì)立事件.

答案

C9/28答案

A10/284.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)概率分別為0.2，0.3，0.1，則此射手在一次射擊中不超出8環(huán)概率為(

) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9

解析依題設(shè)知，此射手在一次射擊中不超出8環(huán)概率為1－(0.2＋0.3)＝0.5.

答案

A11/285.(·北京東城區(qū)調(diào)研)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口天天早晨9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候人數(shù)及對(duì)應(yīng)概率以下表：則該營(yíng)業(yè)窗口早晨9點(diǎn)鐘時(shí)，最少有2人排隊(duì)概率是________.解析由表格知，最少有2人排隊(duì)概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.答案

0.74排隊(duì)人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.0412/28考點(diǎn)一隨機(jī)事件間關(guān)系【例1】(1)袋中裝有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則：①恰有1個(gè)白球和全是白球；②最少有1個(gè)白球和全是黑球；③最少有1個(gè)白球和最少有2個(gè)白球；④最少有1個(gè)白球和最少有1個(gè)黑球.

在上述事件中，是對(duì)立事件為(

) A.① B.② C.③ D.④13/2814/28解析

(1)最少有1個(gè)白球和全是黑球不一樣時(shí)發(fā)生，且一定有一個(gè)發(fā)生.故②中兩事件是對(duì)立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是對(duì)立事件，所以是對(duì)立事件只有②，選B.答案

(1)B

(2)A15/28規(guī)律方法1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件概念(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生事件，但也能夠同時(shí)不發(fā)生.(2)對(duì)立事件是特殊互斥事件，特殊在對(duì)立兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.2.判別互斥、對(duì)立事件方法判別互斥事件、對(duì)立事件普通用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.16/28【訓(xùn)練1】

從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②最少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③最少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④最少有一個(gè)是奇數(shù)和最少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中，是對(duì)立事件是(

) A.① B.②④ C.③ D.①③

解析從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù).

其中“最少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件.

又①②④中事件能夠同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件.

答案

C17/28考點(diǎn)二隨機(jī)事件頻率與概率【例2】

(·全國(guó)Ⅲ卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一個(gè)酸奶，天天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元價(jià)格當(dāng)日全部處理完.依據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，天天需求量與當(dāng)日最高氣溫(單位：℃)相關(guān).假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)21636257418/28以最高氣溫位于各區(qū)間頻率預(yù)計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間概率.(1)預(yù)計(jì)六月份這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率；(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫(xiě)出Y全部可能值，并預(yù)計(jì)Y大于零概率.所以這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率預(yù)計(jì)值為0.6.19/28(2)當(dāng)這種酸奶一天進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以，利潤(rùn)Y全部可能值為－100，300，900.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，所以Y大于零概率預(yù)計(jì)值為0.8.20/28規(guī)律方法

1.概率與頻率關(guān)系頻率反應(yīng)了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)頻繁程度，頻率是隨機(jī)，而概率是一個(gè)確定值，通慣用概率來(lái)反應(yīng)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率預(yù)計(jì)值.2.隨機(jī)事件概率求法利用概率統(tǒng)計(jì)定義求事件概率，即經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.提醒概率定義是求一個(gè)事件概率基本方法.21/28【訓(xùn)練2】

(·武漢調(diào)研)某鮮花店將一個(gè)月(30天)某品種鮮花日銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售天數(shù)統(tǒng)計(jì)以下表，將日銷(xiāo)售量在各區(qū)間銷(xiāo)售天數(shù)占總天數(shù)值視為概率.(1)求這30天中日銷(xiāo)售量低于100枝概率；(2)若此花店在日銷(xiāo)售量低于100枝時(shí)候選擇兩天做促銷(xiāo)活動(dòng)，求這兩天恰好是在日銷(xiāo)售量低于50枝時(shí)概率.日銷(xiāo)售量(枝)(0，50)[50，100)[100，150)[150，200)[200，250]銷(xiāo)售天數(shù)3天5天13天6天3天22/28解(1)設(shè)鮮花店日銷(xiāo)售量為x枝，(2)日銷(xiāo)售量低于100枝共有8天，從中任選兩天做促銷(xiāo)活動(dòng)，共有28種情況；日銷(xiāo)售量低于50枝共有3天，從中任選兩天做促銷(xiāo)活動(dòng)，共有3種情況.23/28考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件概率【例3】

(一題多解)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候人數(shù)對(duì)應(yīng)概率以下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候概率；(2)最少3人排隊(duì)等候概率.24/28解記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一記“最少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“最少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.25/2826/28【訓(xùn)練3】

某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)事件