人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)：21.1 一元二次方程（導(dǎo)學(xué)案）

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

——一元二次方程的相關(guān)概念

一、新課導(dǎo)入

1.導(dǎo)入課題：

情景：要設(shè)計(jì)一座高2m的人體雕像,使它的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比等于

下部與全部(全身)的高度比,則雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)多少米高?

問題1：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？（導(dǎo)出審題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系）

問題2：你能畫出示意圖表示這個(gè)問題嗎？（用線段AB表示雕像的

高度，雕像上部的高度表示為AC,下部的高度表示為BC,在黑板上畫出示

意圖，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）

問題3：能反映問題的等量關(guān)系的是哪一句話？（根據(jù)題意導(dǎo)出關(guān)系

式BC2=2AC）

問題4：設(shè)雕像下部高BC=xm,請(qǐng)說出你所列的方程，并化簡.這個(gè)方程是一元一次方程

嗎？它有什么特點(diǎn)？

這個(gè)方程就是本節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)的一元二次方程.（板書課題）

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）會(huì)設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.

(2)了解一元二次方程及其根的概念.

（3）能熟練地把一元二次方程化成一般形式，并準(zhǔn)確地指出各項(xiàng)系數(shù).

3.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及相關(guān)概念.

難點(diǎn)：尋找等量關(guān)系.

二、分層學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第1頁到第2頁的問題1、問題2.

（2）自學(xué)時(shí)間：5分鐘.

（3）自學(xué)方法：先尋找問題中的等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

（4）自學(xué)參考提綱：

①問題1中，要制作一個(gè)無蓋的方盒，四角都要剪去一個(gè)相同的正方形，我們?cè)O(shè)正方形

邊長為xcm，則盒底的寬為(50-2x)cm，盒底的長為(100-2x)cm，根據(jù)矩形的面積公式及方

盒的底面積3600cm2可列方程為(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理為課本上的方程②嗎？

試說明具體經(jīng)過哪幾步變形得到.

先去括號(hào)5000-100x-200x+4x2=3600

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)4x2-300x+1400=0

系數(shù)化為1(兩邊同除以4)x2-75x+350=0

②問題2中，本次排球比賽的總比賽場(chǎng)數(shù)為28場(chǎng).

設(shè)邀請(qǐng)x支隊(duì)參賽，則每支隊(duì)與其余(x-1)支隊(duì)都要賽一場(chǎng).

整個(gè)比賽中總比賽場(chǎng)數(shù)是多少？你是怎樣算出來的？

本題的等量關(guān)系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.

你能把它整理為課本上的方程③嗎？試說明具體經(jīng)過哪幾步變形得到.

去括號(hào)x2-12x=28

系數(shù)化為1(兩邊同乘以2)x2-x=56

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：觀察了解學(xué)生是否會(huì)尋找等量關(guān)系，是否會(huì)化簡方程.

②差異指導(dǎo)：簡要說明問題2中單循環(huán)比賽與雙循環(huán)比賽的區(qū)別，對(duì)不會(huì)尋找等量關(guān)系

的學(xué)生給予輔導(dǎo)，說明化簡方程的基本要求.

（2）生助生：同桌之間、小組內(nèi)交流、研討.

4.強(qiáng)化：

（1）總結(jié)尋找等量關(guān)系的策略，簡要指出哪些公式經(jīng)常被我們作為尋找等量關(guān)系的依

據(jù).

（2）練習(xí)：根據(jù)下列問題列方程

①一個(gè)圓的面積是2πｍ2，求半徑.πr2=2π

②一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積為9cm2，求較長的直角邊的長.

1

x(x-3)=9

2

③4個(gè)完全相同的正方形面積之和是25，求正方形的邊長x.4x2=25

④一個(gè)長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x.x(x-2)=100

⑤把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積等于較長一段的長的平方，求

較短一段的長x.

x=(1-x)2

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第3頁的內(nèi)容.

（2）自學(xué)時(shí)間：5分鐘.

（3）自學(xué)方法：觀察方程①②③，從方程所含的未知數(shù)的個(gè)數(shù)及其次數(shù)等方面找出它

們共同的特點(diǎn).

（4）自學(xué)參考提綱：

①結(jié)合一元一次方程的定義，請(qǐng)對(duì)一元二次方程進(jìn)行定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有

一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

②一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，為什么要規(guī)定a≠0？

因?yàn)閍=0時(shí)，未知數(shù)的最高次數(shù)小于2.

③同桌之間相互說說方程①②③的二次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)

各是什么.

方程①x2+2x-4=0二次項(xiàng)：x2二次項(xiàng)系數(shù)：1一次項(xiàng)：2x一次項(xiàng)系數(shù)：2

常數(shù)項(xiàng)：-4

方程②x2-75x+350=0二次項(xiàng)：x2二次項(xiàng)系數(shù)：1一次項(xiàng)：-75x一次項(xiàng)系數(shù)：-75

常數(shù)項(xiàng)：350

方程③x2-x=56二次項(xiàng)：x2二次項(xiàng)系數(shù)：1一次項(xiàng)：-x一次項(xiàng)系數(shù)：-1

常數(shù)項(xiàng)：-56

④舉例說明什么是一元二次方程的根.

⑤自學(xué)例題，說說把一元二次方程化為一般形式，要經(jīng)過哪些變形？

去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng).

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：觀察學(xué)生在回答一元二次方程各項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，是否注意了符號(hào).

②差異指導(dǎo)：提醒學(xué)生一元二次方程的每一項(xiàng)（系數(shù)）都應(yīng)包括它前面的符號(hào).

（2）生助生：生生互動(dòng)交流、訂正錯(cuò)誤.

4.強(qiáng)化:

(1)交流總結(jié)：確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，若方程不是一般形式，要先經(jīng)過去括

號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟把它化成一般形式，通常習(xí)慣把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且各項(xiàng)

系數(shù)均為整數(shù)且互質(zhì)，在指出各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，一定要帶上各項(xiàng)前面的符號(hào).

(2)練習(xí)：

①將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系

數(shù)及常數(shù)項(xiàng)：

5x2-1=4x；4x2=81；

解：原式化為5x2-4x-1=0解：原式化為4x2-81=0

二次項(xiàng)系數(shù)：5一次項(xiàng)系數(shù)：-4常數(shù)項(xiàng)：-1二次項(xiàng)系數(shù)：4一次項(xiàng)系數(shù)：0常數(shù)項(xiàng)：-81

4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.

解：原式化為4x2+8x-25=0解：原式化為3x2-7x+1=0

二次項(xiàng)系數(shù)：4一次項(xiàng)系數(shù)：8常數(shù)項(xiàng)：-25二次項(xiàng)系數(shù)：3一次項(xiàng)系數(shù)：-7常數(shù)項(xiàng)：1

②若方程（m-1）x2+x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是m≥0且m≠1.

三、評(píng)價(jià)

1.學(xué)生的自我評(píng)價(jià)（圍繞三維目標(biāo)）：這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？還有什么困惑？

2.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)：

（1）表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：點(diǎn)評(píng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的情況，回答問題，小組互動(dòng)情況以及存在的問

題等.

（2）紙筆評(píng)價(jià)：課堂評(píng)價(jià)檢測(cè).

3.教師的自我評(píng)價(jià)（教學(xué)反思）:

(1)注重知識(shí)的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一般的規(guī)律，

降低學(xué)生理解的難度.

(2)教師創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例，學(xué)生積極主動(dòng)探究，教師引導(dǎo)與啟發(fā)、點(diǎn)撥與設(shè)疑相結(jié)

合，師生互動(dòng)，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者的地位.

(3)增設(shè)例題難度，讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯(cuò)誤，增加課堂練習(xí)，鞏固知識(shí).

(4)對(duì)于一元二次方程的根的概念形成過程，要讓學(xué)生大膽猜測(cè)，經(jīng)過思考、討論、分

析的過程，讓學(xué)生在交流中體會(huì)成功.

（時(shí)間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎(chǔ)鞏固（70分）

1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（C）

A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0

2.（10分）下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：－4，3

3.（20分）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次

項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；

解：原式化為3x2-6x+1=0解：原式化為4x2+5x-81=0

二次項(xiàng)系數(shù)：3二次項(xiàng)系數(shù)：4

一次項(xiàng)系數(shù)：-6一次項(xiàng)系數(shù)：5

常數(shù)項(xiàng)：1常數(shù)項(xiàng)：-81

（3）x(x+5)=5x－10;（4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).

解：原式化為x2+10=0解：原式化為x2+2x-2=0

二次項(xiàng)系數(shù)：1二次項(xiàng)系數(shù)：1

一次項(xiàng)系數(shù)：0一次項(xiàng)系數(shù)：2

常數(shù)項(xiàng)：10常數(shù)項(xiàng)：-2

4.（30分）根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

（1）一個(gè)長方形的長比寬多1cm,面積是132cm2,長方形的長和寬各是多少？

解：設(shè)長方形的長為xcm，則寬為(x-1)cm，

根據(jù)題意，得x(x-1)=132，

整理，得x2-x-132=0.

（2）有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍一個(gè)面積為0.06m2的平方的長方形?

解：設(shè)長方形的長為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據(jù)題意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得50x2-25x+3=0.

（3）參加一次聚會(huì)的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人參加這次聚

會(huì)？

解：設(shè)有x人參加了這次聚會(huì),

根據(jù)題意，得x(x-1)=10

整理，得x2-x-20=0

二、綜合應(yīng)用（20分）

5.（20分）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅

矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xc