高一數(shù)學(xué)新人教版(A版) 必修第1冊(cè)：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA052學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師白芳北京市第二十七中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.初步理解正切函數(shù)的基本性質(zhì)，并借助性質(zhì)把握?qǐng)D象特征；

2.通過正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)研究的方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法

的使用；

3.在正切函數(shù)的研究中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)繪制圖象.

教學(xué)難點(diǎn)：能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題.

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

問題1：什么叫正切函數(shù)？

我們已經(jīng)知道，對(duì)于任意一個(gè)角x，xk,kZ，有唯一確定的正切值

2

tanx與之對(duì)應(yīng)，因此ytanx是一個(gè)函數(shù)，稱為正切函數(shù).

2分設(shè)計(jì)意圖：為研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象作好準(zhǔn)備.

復(fù)習(xí)引入

鐘問題2：如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象？

前面我們研究正弦函數(shù)的方法是通過定義和單位圓繪制出正弦曲線，再通過

圖象直觀地研究正弦函數(shù)的性質(zhì)。研究余弦函數(shù)是利用正弦曲線平移得到余弦曲

線，進(jìn)而研究性質(zhì)。正切函數(shù)的圖像不能通過平移得到，但有了前面的知識(shí)準(zhǔn)備，

我們可以換個(gè)角度，即從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的部分性質(zhì)，再利用性質(zhì)研

究正切函數(shù)的圖象，進(jìn)而得到其他性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：在回顧研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的方法的基礎(chǔ)上引出研究正切函數(shù)的

方法.

一、正切函數(shù)ytanx的性質(zhì)

1.定義域

由正切函數(shù)的定義，角的終邊不能落在y軸上，因此我們得到正切函數(shù)的定

義域：x|xk,kZ.

2

這種表示形式是在實(shí)數(shù)集中去掉了不能取到的點(diǎn)，還有沒有其他的表達(dá)方法

呢？我們也可以把能取到的所有值用區(qū)間形式表示出來，即

(k,k),kZ.在這個(gè)形式中，每一個(gè)取定的k值就對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體

22

3

的區(qū)間，比如當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間是(,)，當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間是(,)，

2222

3

當(dāng)k=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間是(,)等，定義域應(yīng)取這些區(qū)間的并集，用連

22

12分接.

新課講解

鐘問題3：由此想象圖象會(huì)具有什么特點(diǎn)？

圖象被垂直于x軸的無窮多條直線xk,kZ隔開，兩條直線之間的

2

圖象是連續(xù)的.

2.奇偶性

正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由誘導(dǎo)公式tan(x)tanx,xR且

xk,kZ,可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).

2

問題4：由此想象圖象會(huì)具有什么特點(diǎn)？

正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

3.周期性

由誘導(dǎo)公式tan(x)tanx,xR，且xk,kZ,可知，正切函

2

數(shù)是周期函數(shù)，周期是.

問題5：正切函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)研究它的圖象會(huì)有什么幫助？

由于為正切函數(shù)的周期，所以我們只需要畫出他在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，然

后通過平移就可以得到在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.選擇哪一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間呢？

可以選擇區(qū)間,；而正切函數(shù)又是奇函數(shù)，所以只需畫出在0,的圖象.

22

π關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱ππ向左、右平移π個(gè)單位

[0,),正切函數(shù)圖象

222

下面我們研究怎樣得到函數(shù)ytanx,x0,的圖象.

2

二、正切函數(shù)ytanx的圖象

我們可以利用描點(diǎn)法作出ytanx,x0,圖象，為了更準(zhǔn)確地得到點(diǎn)的

2

坐標(biāo)，我們可以利用單位圓找到正切值的幾何意義.

如圖5.4—9，設(shè)x0,，在直角坐標(biāo)系中畫出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)

2

?

過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為；過點(diǎn)作軸的垂線與角的

B(x0,y0)BxMA(1,0)xx

y0MBAT

終邊交于點(diǎn)T，則tanxAT；由此可見，當(dāng)x0,時(shí)，

x0OMOA2

線段AT的長(zhǎng)度就是相應(yīng)角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)

ytanx,x0,的圖象，如圖5.4.10所示．

2

通過動(dòng)畫演示，將x0,的角四等分，通過線段AT找到對(duì)應(yīng)角的縱坐標(biāo)，

2

若希望更準(zhǔn)確的繪圖，可進(jìn)一步取更多的點(diǎn)，用光滑曲線連結(jié)取到的點(diǎn)，得到

ytanx,x0,的圖象.

2

設(shè)計(jì)意圖：通過正切函數(shù)定義及單位圓找到正切值得幾何表示（即正切線），繪制

正切函數(shù)的圖象.

將函數(shù)ytanx,x[0,)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就可得到函數(shù)

2

ytanx,x(,0]的圖象；將函數(shù)ytanx,x(,)的圖象向左、右平

222

移，每次平移個(gè)單位，就可得到正切函數(shù)xR，且xk,kZ的圖象.

2

ytanx,xR，且xk,kZ的圖象，稱為“正切曲線”.

2

從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線

xk,kZ所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.

2

問題6：由正切曲線，我們能夠得到正切函數(shù)的哪些其他性質(zhì)呢？

4.單調(diào)性

觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增.由正切函數(shù)的周期

22

性可得，正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間(k,k),kZ,上都單調(diào)遞增.

22

應(yīng)注意：（1）區(qū)間端點(diǎn)不在定義域內(nèi)，所以必須寫成開區(qū)間；

ππ

（2）正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間(k,kπ),kZ,上都是單調(diào)遞增

22

的.k的每一個(gè)取定的值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)單調(diào)區(qū)間，而正切函數(shù)的定義域是這無窮多

個(gè)區(qū)間的并，故正切函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)不具有單調(diào)性.

5.值域

當(dāng)x(,)時(shí)，tanx在(,)內(nèi)可取到任意實(shí)數(shù)值，但沒有最大值、

22

最小值.因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.

6.漸近線

正切函數(shù)的圖象是被相互平行的直線xk,kZ隔開的無窮多支形

2

狀完全相同的曲線組成的.當(dāng)x趨近于k,kZ時(shí)，函數(shù)值趨近于正無窮或

2

負(fù)無窮，xk,kZ為其漸近線.

2

7.對(duì)稱性

問題7：正切曲線有對(duì)稱中心嗎？

由于正切函數(shù)是奇函數(shù)，不難看出正切曲線是中心對(duì)稱圖形，原點(diǎn)就是它的

一個(gè)對(duì)稱中心，還有別的對(duì)稱中心嗎？正切曲線與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)

kπ,0,kZ都是其對(duì)稱中心；另外，每條漸近線與x軸的交點(diǎn)

π

kπ,0,kZ也是其對(duì)稱中心.

2

kπ

由此可知，正切曲線的對(duì)稱中心為(,0),kZ.

2

應(yīng)注意，正切函數(shù)的對(duì)稱中心除了函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)外，還有漸近線與x軸

的交點(diǎn).對(duì)稱中心不一定在圖象上，比如我們熟悉的反比例函數(shù)，原點(diǎn)是其對(duì)稱

中心，但并不在函數(shù)圖象上.

正切曲線無對(duì)稱軸.

8.零點(diǎn)

觀察正切曲線可以看出，正切函數(shù)的零點(diǎn)為k,kZ.

以上我們研究正切函數(shù)的思路是：通過定義得到部分性質(zhì)，在性質(zhì)的輔助下

得到正切函數(shù)圖象，再由圖象得到其他性質(zhì)，將函數(shù)的性質(zhì)與圖象有機(jī)的結(jié)合起

來，充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

設(shè)計(jì)意圖：通過研究正切函數(shù)的性質(zhì)畫出正切函數(shù)圖象，再通過圖象發(fā)現(xiàn)更多性

質(zhì).在解決問題的過程中由數(shù)想形，由形到數(shù)，反復(fù)進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化.從定義、誘導(dǎo)

公式、圖象等多角度認(rèn)識(shí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

下面我們利用性質(zhì)解決一些問題.

例1.不求值，分別比較下列各組正切值的大小.

π3π

1tan()和tan()；

57

1319

（2）tan與tan的大小.

45

π3ππ

解：10,

275

π

且ytanx在，0單調(diào)遞增,

2

6分π3π

例題解析tan()tan()；

鐘57

13π13ππ

解：2tantan3πtan,

444

19π19ππ

tantan4πtan,

555

ππππππ

,且ytanx在，單調(diào)遞增,

245222

ππ13π19π

tan()tan(),即tan()tan().

4545

例2.求函數(shù)ytan(x)的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間.

23

分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.

解：自變量的取值應(yīng)滿足：

1

x?k,kZ即x2k,kZ

2323

1

所以，函數(shù)的定義域是x|x2k,kZ.

3

設(shè)zx，又tan(z)ttan(z)

23

所以tan[(x)]tan[(x)]

2323

即tan[(x2))]tan[(x)]

2323