“一題多變”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐路徑探究

摘要：探究“一題多變”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐路徑，通過資料搜集、理論分析等方法，闡釋一題多變的定義、內(nèi)容，總結(jié)一題多變的理論基礎(chǔ)，包括建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、腳手架理論、馬登變異理論。在文章核心模塊，圍繞關(guān)注一題多變應(yīng)用方式，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，靈活應(yīng)用一題多變方法，開展一題多變深度探究，給出具體的實(shí)踐方法，為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)各模塊知識(shí)的理解與掌握。得出如下結(jié)論：實(shí)現(xiàn)對(duì)一題多變的深入研究，將其靈活應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效提升了數(shù)學(xué)教學(xué)效率、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并對(duì)其他相關(guān)研究起到了參考作用。關(guān)鍵詞：一題多變；高中數(shù)學(xué)；理論基礎(chǔ)；實(shí)踐路徑進(jìn)入新時(shí)期以后，很多高中數(shù)學(xué)教師在探索更加有效、先進(jìn)的教學(xué)方式，其中一題多變因在教學(xué)中的便利性、適用性等優(yōu)勢(shì)而受到廣泛歡迎。在一題多變應(yīng)用進(jìn)程中，需關(guān)注其基本變換方法、注意事項(xiàng)等，并能善于在教學(xué)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化教學(xué)方式，如此才能發(fā)揮其根本作用。故而有必要對(duì)一題多變應(yīng)用方法展開深度探究，發(fā)揮其更大作用。一、“一題多變”概述（一）定義一題多變，可從字面意思對(duì)其加以研究，理解為題目結(jié)構(gòu)的變式，如題目形式、結(jié)論、條件等的變換，但并未從實(shí)質(zhì)上改變題目，只是從不同方面、角度揭示題目本質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中引入一題多變理論，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)題目展開深度探究，在“變”中尋找解題方法，總結(jié)“不變”與規(guī)律，提升思維靈活性。分析一題多變內(nèi)涵，關(guān)鍵是“變”“為何變”“如何變”，讓學(xué)生基于自身的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能體系、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等，求解題目答案，掌握更加有效的解題方法。（二）內(nèi)容分析一題多變內(nèi)容，總結(jié)如下：1.出題角度變化：在為學(xué)生提供例題時(shí)，可從不同思考方式、角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角切入，分析數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與要義，培養(yǎng)學(xué)生解題能力、思維能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面掌握。2.考查數(shù)學(xué)技能與能力的多樣化：圍繞同一例題，出具不同形式的題目，考查學(xué)生各類能力掌握情況，培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力、深度思考能力等[1]。3.考查數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛性：一題多變中，涉及不同模塊的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生需對(duì)例題產(chǎn)生深刻認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)各類知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化、聯(lián)系，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、整體化思維，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)體系。4.訓(xùn)練多種解題方式：同一道例題包括多種解題方式，學(xué)生在掌握各類解題方式的過程中促進(jìn)創(chuàng)新思維的提升，能靈活應(yīng)對(duì)不同難度、形式的題目。二、“一題多變”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的理論基礎(chǔ)分析一題多變?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中的理論基礎(chǔ)，如圖1所示，進(jìn)行具體化分析：（一）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論瑞士一位心理學(xué)家最先提出建構(gòu)主義心理學(xué)，并提出學(xué)生學(xué)習(xí)過程是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)過程，而非被動(dòng)接受知識(shí)傳輸?shù)倪^程，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握來源于其對(duì)知識(shí)的主動(dòng)性思考、反省。在該理論體系下，引入一題多變模式時(shí)，應(yīng)發(fā)揮教師的主導(dǎo)性作用，尊重學(xué)生主體地位，教師扮演學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的助手角色，以合理的、更具層次性的問題，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)各類知識(shí)的銜接，理解新知識(shí)的同時(shí)，鞏固舊知識(shí)，這對(duì)于完善學(xué)生知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)對(duì)各類知識(shí)的整體化認(rèn)識(shí)來說至關(guān)重要。（二）腳手架理論腳手架理論指的是引導(dǎo)學(xué)生合理借助教師、父母、同伴等的提示或者輔助，完成其原本無法單獨(dú)完成的任務(wù)，在學(xué)生能獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，教師及時(shí)撤除腳手架，給學(xué)生更多的發(fā)揮空間。基于腳手架理論，在一題多變探究中，教師可通過對(duì)題目的變換，搭建新、舊知識(shí)的“腳手架”，如將例題中的問題進(jìn)行類比歸納、引入輔助元素、特殊處理等，做好鋪墊，搭建解題臺(tái)階，降低解題難度，教授學(xué)生更加多元化、簡單易行的解題方式[2]。（三）馬登變異理論馬登變異理論的核心是：學(xué)習(xí)即鑒別，基于對(duì)差異的深度認(rèn)識(shí)，輔助解題過程，要求教師能引入變異維數(shù)，對(duì)其加以深度擴(kuò)展，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)例題各個(gè)方面的深刻認(rèn)識(shí)，關(guān)注例題中包含的變異性質(zhì)，體驗(yàn)變異，為變異問題解決做好準(zhǔn)備。在馬登變異理論中，一題多變的“變”，應(yīng)保持問題變式的先進(jìn)性、科學(xué)性，不能只是疊加學(xué)生的問題求解次數(shù)，讓問題顯現(xiàn)出重復(fù)化、機(jī)械化，更多應(yīng)在變換中去探索題目的本質(zhì)，降低題目求解難度，提升解題效率。三、“一題多變”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐路徑（一）關(guān)注“一題多變”應(yīng)用方式，提升實(shí)際教學(xué)效果在實(shí)際引入一題多變方式時(shí)，關(guān)注以下要點(diǎn)內(nèi)容：1.精選例題：并非所有的例題都適宜與一題多變模式配搭，若例題選擇不恰當(dāng)，非但難以發(fā)揮一題多變優(yōu)勢(shì)，還會(huì)增加師生負(fù)擔(dān)，讓教學(xué)進(jìn)程愈加艱難。故而應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容、新課程目標(biāo)、學(xué)生學(xué)情等各類因素，選擇一些基礎(chǔ)性、具備一定難度、有代表性、具備多類解題方法的例題，為學(xué)生創(chuàng)造更好的解題條件，如此才能激發(fā)學(xué)生的參與熱情、積極性，促使學(xué)生在自我探究中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的核心內(nèi)容[3]。2.變式設(shè)計(jì)：結(jié)合例題具體特征設(shè)計(jì)多元化變式，如變化形式、變化角度、變化數(shù)據(jù)、變化解題思路、變化題目條件等，引導(dǎo)學(xué)生嘗試通過不同的解題方法與技巧破解難題，提升思維能力、解題能力[4]。如在變化題目條件設(shè)計(jì)時(shí)，如在均值不等式學(xué)習(xí)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)扔跁r(shí)，取“=”），強(qiáng)調(diào)該定理的應(yīng)用條件是一正、二定、三相等，在一題多變中，除了讓學(xué)生掌握該模塊的理論內(nèi)容，還進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，結(jié)合如下例題1展開研究：大于0，取何值時(shí)，與1/的和值有最小值，最小值為多少？解析：本題結(jié)合均值不等式求解思路可知：在取值1時(shí)，可得出與1/的最小值為2。變式1：當(dāng)屬于并滿足不等于0的條件時(shí)，請(qǐng)問與其分?jǐn)?shù)的和值是否存在最小值，為什么？解析：在變式1中，正負(fù)性不確定，未能滿足以上提出的“一正”條件，故而對(duì)小于0與大于0這兩種情況展開分類討論。在學(xué)生求解出答案后，再對(duì)例題展開多重變形。變式2：大于5，求解函數(shù)二者的和值最小值是多少？解析：分析例題表面結(jié)構(gòu)，并不滿足定值存在條件，對(duì)其結(jié)構(gòu)加以變形來輔助理解與解題，即：如將5變換成5與（-5）的乘積與25的和值，通過求取二者的和值，結(jié)合均值不等式定義即可求出最小值。變式3：重新設(shè)置條件，如大于等于3，求取函數(shù)最小值，讓變式更具實(shí)際意義。解析：結(jié)合均值不等式理論概念，得出：與1/的和值大于等于2，滿足條件等于1時(shí)“=”成立，但是等于1不在定義域區(qū)間中，故而得出結(jié)論：不存在最小值2。將變式設(shè)計(jì)的權(quán)利交給學(xué)生，尊重學(xué)生在一題多變學(xué)習(xí)中的主體地位，教授學(xué)生一題多變的具體方法、流程、注意事項(xiàng)，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合例題在不改變例題根本性質(zhì)的前提下，對(duì)例題進(jìn)行反復(fù)的變換，嘗試結(jié)合不同模塊的知識(shí)與理論對(duì)其求解，總結(jié)一題多變經(jīng)驗(yàn)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維[5]。3.解題方式轉(zhuǎn)換：即結(jié)合例題的基本形式，創(chuàng)新性地引入多元化解題方式，在解題方式轉(zhuǎn)換進(jìn)程中，深化學(xué)生對(duì)模塊知識(shí)的理解與掌握，如在“集合與常用邏輯用語”學(xué)習(xí)時(shí)，嘗試進(jìn)行解題方式轉(zhuǎn)換，如表1所示：例2：已知集合與集合，兩個(gè)集合的交集為0，求解實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：分析集合元素屬性，基于此確定取值區(qū)間。例3：重新變換集合與集合的相關(guān)條件，求解兩者之間存在的關(guān)系。解析：利用以上提出方式，分析集合的性質(zhì)與定義，掌握與的關(guān)系。（二）進(jìn)行“一題多變”訓(xùn)練，拓寬學(xué)生解題思路1.針對(duì)性設(shè)計(jì)：結(jié)合學(xué)生學(xué)情、考試需求等，設(shè)置相關(guān)的訓(xùn)練方式、內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。具體要點(diǎn)如圖2所示，進(jìn)行具體化分析：其一，設(shè)置難度不一的訓(xùn)練內(nèi)容，即在一題多變?cè)O(shè)計(jì)時(shí)，既要考慮優(yōu)等生在新型數(shù)學(xué)方法、理念等方面的需求，也要兼顧學(xué)困生、普通生對(duì)概念性、理論性知識(shí)的學(xué)習(xí)需求，嘗試設(shè)計(jì)梯度式難度的訓(xùn)練題，讓學(xué)生結(jié)合自身的實(shí)際情況靈活選擇[6]。其二，靈活選擇一題多變訓(xùn)練模式，如考試模擬訓(xùn)練、實(shí)際問題訓(xùn)練、抽象訓(xùn)練等，引導(dǎo)學(xué)生從不同方面、角度剖析數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵，提升解題能力。如在“實(shí)際問題訓(xùn)練”中，提出問題：如何判斷任意角所處象限？有的學(xué)生結(jié)合概念加以闡述，有的學(xué)生結(jié)合例題給出答案，有的學(xué)生則是單一性的理論分析，教師在對(duì)學(xué)生給出的結(jié)果加以評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)持鼓勵(lì)態(tài)度，贊揚(yáng)學(xué)生通過適宜的方式完成學(xué)習(xí)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生就學(xué)科知識(shí)展開深度探究。其三，注重指導(dǎo)與反饋，即在一題多變訓(xùn)練時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生采取正確、有效的方式求解問題，指出其存在的錯(cuò)誤與不足，提升思維能力、解題能力[7]。2.重視解題與應(yīng)用能力培養(yǎng)：引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)同一問題嘗試幾何圖像、代數(shù)式、實(shí)際問題方法等求解，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)在各類數(shù)學(xué)場(chǎng)景中的具體應(yīng)用方式，進(jìn)行解題與應(yīng)用能力培養(yǎng)。結(jié)合“三角函數(shù)”相關(guān)例題展開具體化探究。例4：已知正弦函數(shù)的一個(gè)周期為，在區(qū)間0到上保持單調(diào)遞增趨勢(shì)，求解：函數(shù)的單調(diào)周期與在區(qū)間0到上單調(diào)性。嘗試從一題多變角度切入，嘗試多元化的解題方式。解析1：引入代數(shù)式求解方法，結(jié)合正弦函數(shù)的雙角公式、周期公式，求解的單調(diào)周期與單調(diào)性。解析2：引入幾何圖像求解方法，結(jié)合正弦函數(shù)圖像，相對(duì)直觀地觀察周期性與單調(diào)性。解析3：采取實(shí)際問題求解方式，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中的實(shí)際問題對(duì)例題加以求解，如振動(dòng)、音樂等，通過生活化轉(zhuǎn)換方式，理解函數(shù)周期性、單調(diào)性的意義與作用。3.出題要素設(shè)置：其一，出題角度，從實(shí)際問題角度、圖像角度、代數(shù)式角度等各類角度出發(fā)，提升學(xué)生對(duì)不同解題方法的靈活應(yīng)用能力。且要求教師能采取不同的例題講解方式，培養(yǎng)學(xué)生多元化思維模式，如在一元二次方程相關(guān)知識(shí)講解時(shí)，從以下角度切入：幾何圖像角度，在黑板上畫出一元二次方程圖像，協(xié)助學(xué)生理解一元二次方程性質(zhì)與特質(zhì)，包括開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等，并用于問題求解中[8]。代數(shù)式角度，給出方程求根公式、一般公式的各類應(yīng)用方法，在接觸、體驗(yàn)、解題中實(shí)現(xiàn)對(duì)其的深入了解。實(shí)際問題角度，即結(jié)合面積問題、拋物線運(yùn)動(dòng)等，了解方程在實(shí)際生活中的靈活應(yīng)用方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。其二，豐富出題形式，設(shè)計(jì)不同的出題方式，如填空題，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、理論知識(shí)的掌握程度；選擇題，考查學(xué)生在面臨多項(xiàng)答案時(shí)的快速分析能力、解題思路等；判斷題，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解能力、問題辨別能力等；綜合題，考查學(xué)生整體分析能力、知識(shí)綜合應(yīng)用能力等。其三，綜合性大題，設(shè)計(jì)包括多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合題，考查學(xué)生不同知識(shí)點(diǎn)的靈活轉(zhuǎn)化能力，圍繞三角函數(shù)設(shè)置題目，如下：例5：已知某座山山頂高度400m，山頂與山腳距離500m，山頂、山腳夾角60°，求解山頂、山腳的直線距離與角度余弦值。解析：該例題不但有三角函數(shù)，還涉及三角恒等式、勾股定理等方面的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行例題或者求解思路轉(zhuǎn)變，得出正確答案，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)靈活應(yīng)用能力，鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系。（三）靈活應(yīng)用“一題多變”方法，優(yōu)化例題講解過程高中教材中涉及較多典型例題，基本覆蓋其所處章節(jié)中的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于輔助學(xué)生理解與掌握各類基礎(chǔ)理論知識(shí)有著較大的幫助。但教學(xué)時(shí)間相對(duì)有限，若在其中摻雜較多的例題講解，可能會(huì)影響課程的順利推進(jìn)，并激發(fā)學(xué)生的抵觸、逆反心理?；诖?，可選擇其中的典型例題，改變其中條件，在一題多變中，為學(xué)生提供各類靈活習(xí)題，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)技能，節(jié)省題目閱讀、熟悉時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生深度思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生在問題探究中舉一反三，提高解題水平。（四）開展“一題多變”深度探究，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容層層遞進(jìn)圍繞具體的教學(xué)模塊，開展一題多變深度探究，在層層遞進(jìn)中把握教材知識(shí)的核心內(nèi)容，圍繞“函數(shù)的概念與基本性質(zhì)”展開具體化分析，奇偶性是該模塊的基礎(chǔ)知識(shí)，在對(duì)例題加以變換時(shí)，需結(jié)合學(xué)生認(rèn)知程度、概念學(xué)習(xí)需求展開，選擇一些基礎(chǔ)性的例題，如下：例題6：函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間0到上呈遞減趨勢(shì)，判斷在區(qū)間到0上的單調(diào)性，給出證明過程。解析：該題目屬于探究類范疇，協(xié)助學(xué)生總結(jié)、闡明其中涉及的數(shù)學(xué)思想方法，利于學(xué)生建構(gòu)更加完善的函數(shù)知識(shí)體系，但其僅涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的知識(shí)，故而難度較低，可在例題變換中，持續(xù)提高難度，開展一題多變深度探究。變式1：在區(qū)間到0上單調(diào)遞減，在區(qū)間0到上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)奇偶性。解析：第一次變式，采取逆向思維，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，從具象化的函數(shù)圖像中總結(jié)抽象數(shù)學(xué)結(jié)論。變式2：已知函數(shù)為奇函數(shù)，其在區(qū)間0到上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)在區(qū)間到0上的單調(diào)性。解析：第二次變換，改變了例題條件，讓學(xué)生在掌握單調(diào)性、奇偶性相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，探究其存在的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷特殊到一般的過程。變式3：已知函數(shù)為偶函數(shù)，其在區(qū)間－到0上單調(diào)遞減，判斷函數(shù)在區(qū)間0到上的單調(diào)性。解析：與變式2類型大致相同，變式的目的在于讓學(xué)生在類比中，深化對(duì)該類題目規(guī)律性認(rèn)識(shí)，掌握解題思路。變式4：已知函數(shù)定義域，定義域區(qū)間內(nèi)為偶函數(shù)，小于并小于0，試判斷、、之間存在的大小關(guān)系。解析：考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解答實(shí)際問題的能力，提升對(duì)函數(shù)間邏輯關(guān)系的正確認(rèn)知。變式5：在對(duì)稱區(qū)間中，偶函數(shù)單調(diào)性相同，判斷該命題的真假。解析：該類變換屬于一般變化式，以命題