計(jì)算機(jī)控制技術(shù)-Z變換及Z傳遞函數(shù)

第2章Z變換及Z傳遞函數(shù)第1頁2.1Z變換定義與慣用函數(shù)Z變換

2.1.1Z變換定義

已知連續(xù)信號f(t)經(jīng)過來樣周期為T采樣開關(guān)后，變成離散脈沖序列函數(shù)f*(t)即采樣信號。對上式進(jìn)行拉氏變換，則

第2頁對上式進(jìn)行拉氏變換，則依據(jù)廣義脈沖函數(shù)性質(zhì)，可得：第3頁上式中，F(xiàn)*(s)是離散時(shí)間函數(shù)f*(t)拉氏變換，因復(fù)變量s含在指數(shù)e-kTs中是超越函數(shù)不便于計(jì)算，故引一個(gè)新變量z=eTs，設(shè)

并將F*(s)記為F(z)則

式中F(z)就稱為離散函數(shù)f*(t)Z變換。

第4頁在Z變換過程中，因?yàn)閮H僅考慮是f(t)在采樣瞬間狀態(tài)，所以上式只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻上特征，而不能反應(yīng)兩個(gè)采樣時(shí)刻之間特征，從這個(gè)意義上來說，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)與對應(yīng)離散時(shí)間函數(shù)f*(t)含有相同Z變換。即

第5頁求取離散時(shí)間函數(shù)Z變換有各種方法，慣用有兩種。

1．級數(shù)求和法將離散時(shí)間函數(shù)寫成展開式形式

對上式取拉氏變換，得

第6頁例2.1求f(t)=at/T函數(shù)（a為常數(shù)）Z變換。

解：依據(jù)Z變換定義有

第7頁2．部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)拉氏變換為有理函數(shù)，將展開成部分分式形式為

所以，連續(xù)函數(shù)Z變換能夠由有理函數(shù)求出第8頁例2.2已知（a為常數(shù)）

求F(Z)

解：將F(s)寫成部分分式之和形式

第9頁2.1.2慣用信號Z變換

1．單位脈沖信號

2．單位階躍信號

第10頁3．單位速度信號

第11頁4．指數(shù)信號

第12頁5．正弦信號

第13頁2.2Z變換性質(zhì)和定理

1．線性定理設(shè)a,a1,a2為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t),f1(t),f2(t)

Z變換分別為F(z),F1(z),F2(z)、及，則有第14頁2．滯后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在t＜0時(shí)，f(t)=0，且f(t)Z變換為F(z)，則有證實(shí)：第15頁3．超前定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)Z變換為F(z)，則有證實(shí)：第16頁4．初值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)Z變換為F(z)，則有

證實(shí)：所以

第17頁5．終值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)Z變換為F(z)，則有證實(shí)：第18頁6．卷積和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和g(t)Z變換分別為F(z)及G(z)，若定義則第19頁證實(shí)：因?yàn)楫?dāng)i>k時(shí)

第20頁7．求和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和g(t)Z變換分別為F(z)及G(z)，若有則

第21頁證實(shí)：

第22頁8．位移定理設(shè)a為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)Z變換為F(z)，則有

證實(shí)：

第23頁9．微分定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)Z變換為F(z)，則有

證實(shí)：

第24頁2.3Z反變換

所謂Z反變換，是已知Z變換表示式F(z)，求對應(yīng)離散序列f(kT)或f*(t)過程，表示為Z反變換主要有三種方法，即長除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法

第25頁1．長除法設(shè)

用長除法展開得：由Z變換定義得：比較兩式得：則：

第26頁2．部分分式法又稱查表法，設(shè)已知Z變換函數(shù)F(z)無重極點(diǎn)，先求出F(z)極點(diǎn)，再將F(z)展開成以下分式之和

然后逐項(xiàng)查Z變換表，得到

則：第27頁3．留數(shù)法設(shè)已知Z變換函數(shù)F(z)，則可證實(shí)，F(xiàn)(z)Z反變換f(kT)值，可由下式計(jì)算

依據(jù)柯西留數(shù)定理，上式能夠表示為

n表示極點(diǎn)個(gè)數(shù)，pi表示第i個(gè)極點(diǎn)。即f(kT)等于F(z)zk-1全部極點(diǎn)留數(shù)之和。

第28頁即：第29頁2.5線性定常離散系統(tǒng)差分方程及其解

對于單輸入、單輸出計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，設(shè)在某一采樣時(shí)刻輸出為y(kT)，

輸入為u(kT)，為了書寫方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。

在某一采樣時(shí)刻輸出值y(k)不但與該時(shí)刻輸入u(k)及該時(shí)刻以前輸入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)相關(guān)，且與該時(shí)刻以前輸出值y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)相關(guān)，即：

或第30頁上式稱為n階線性定常離散系統(tǒng)差分方程，其中ai、bi由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，它是描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型普通表示式，對于實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)，依據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)條件，應(yīng)有k≥0。當(dāng)k＜0時(shí)，y(k)=u(k)=0。用Z變換解常系數(shù)線性差分方程和用拉氏變換解微分方程是類似。先將差分方程變換為以z為變量代數(shù)方程，最終用查表法或其它方法，求出Z反變換。

第31頁若當(dāng)k＜0時(shí)，f(k)=0，設(shè)f(k)Z變換為F(z)，則依據(jù)滯后定理關(guān)系可推導(dǎo)出

第32頁例2.8若某二階離散系統(tǒng)差分方程為：設(shè)輸入為單位階躍序列。

解：對差分方程求Z變換得

第33頁取Z反變換得

第34頁2.6Z傳遞函數(shù)

2.6.1Z傳遞函數(shù)定義

設(shè)n階定常離散系統(tǒng)差分方程為：在零初始條件下，取Z變換

則G(z)就稱為線性定常離散系統(tǒng)Z傳遞函數(shù)。即：在零初始條件下離散系統(tǒng)輸出與輸入序列Z變換之比。

第35頁2.6.3Z傳遞函數(shù)求法

1．用拉氏反變換求脈沖過渡函數(shù)2．將g(t)按采樣周期T離散化，得g(kT)3．應(yīng)用定義求出Z傳遞函數(shù)，即

G(z)不能由G(s)簡單地令s=z代換得到。G(s)是g(t)拉氏變換，G(z)是g(t)Z變換。G(s)只與連續(xù)步驟本身相關(guān)，G(z)除與連續(xù)步驟本身相關(guān)外，還要包含采樣開關(guān)作用。為了討論方便，將上述過程簡記為

第36頁例2.9已知

解式中e-Ts相當(dāng)于將采樣延遲了T時(shí)間。依據(jù)Z變換線性定理和滯后定理，再經(jīng)過查表，可得上式對應(yīng)脈沖傳遞函數(shù)為

第37頁2.6.4開環(huán)Z傳遞函數(shù)

1．串聯(lián)步驟Z傳遞函數(shù)串聯(lián)步驟Z傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)有兩種情況：—種是兩個(gè)串聯(lián)步驟之間沒有采樣開關(guān)存在，即串聯(lián)步驟之間信號是連續(xù)時(shí)間信號，如圖2.3所表示。

G1(s)Y(s)T

U(z)U(s)Y1(s)Y(z)圖2.3串聯(lián)步驟間無采樣開關(guān)G2(s)G(z)第38頁輸出Y(z)與輸入U(xiǎn)(z)之間總Z傳遞函數(shù)并不等于兩個(gè)步驟Z傳遞函數(shù)之積。因?yàn)閮蓚€(gè)步驟之間信號傳遞是一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即上式對應(yīng)Z傳遞函數(shù)為

上式中符號是縮寫，它表示先將串聯(lián)步驟傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)相乘后，再求Z變換過程。

第39頁另一個(gè)是兩個(gè)步驟之間有同時(shí)采樣開關(guān)存在，如圖2.4所表示。

G1(s)T

U(z)U(s)T

Y1(z)G2(s)Y(z)圖2.4串聯(lián)步驟間有采樣開關(guān)G(z)第40頁兩個(gè)串聯(lián)步驟之間有采樣開關(guān)，可由Z傳遞函數(shù)約定義直接求出。串聯(lián)步驟總Z傳遞函數(shù)為

第41頁由上式可知，兩個(gè)串聯(lián)步驟之間有同時(shí)采樣開關(guān)隔開Z傳遞函數(shù)，等于每個(gè)步驟Z傳遞函數(shù)乘積。在普通情況下，很輕易證實(shí)：

在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)引發(fā)注意。

第42頁結(jié)論：n個(gè)步驟串聯(lián)組成系統(tǒng)，若各串聯(lián)步驟之間有同時(shí)采樣開關(guān)，總Z傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)步驟Z傳遞函數(shù)之積，即假如在串聯(lián)步驟之間沒有采樣開關(guān)，需要將這些串聯(lián)步驟看成一個(gè)整體，求出其傳遞函數(shù)然后再依據(jù)G(s)求G(z)。普通表示成

第43頁2．并聯(lián)步驟Z傳遞函數(shù)對于兩個(gè)步驟并聯(lián)離散系統(tǒng)，輸入采樣開關(guān)設(shè)在總輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)步驟輸入端分別設(shè)置一個(gè)采樣開關(guān)，如圖2.5所表示。

G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采樣開關(guān)在總輸入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采樣開關(guān)在各個(gè)步驟輸入端G2(s)Y2(s)圖2.5并聯(lián)步驟Y(s)Y(z)第44頁依據(jù)圖2.5可知，總Z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)步驟Z傳遞函數(shù)之和，即

上述關(guān)系能夠推廣到n個(gè)步驟并聯(lián)時(shí)、在總輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開關(guān)時(shí)情況。總Z傳遞函數(shù)等于各步驟Z傳遞函數(shù)之和，即

第45頁2.6.5閉環(huán)Z傳遞函數(shù)

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號Z變換為Y(z)，輸入信號Z變換為R(z)，誤差信號Z變換為E(z)，則有以下定義：

閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：

第46頁例2.11設(shè)離散系統(tǒng)如圖2.6所表示，求該系統(tǒng)閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)及閉環(huán)Z傳遞函數(shù)。

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G(s)圖2.6例2.11線性離散系統(tǒng)第47頁解：G(s)與H(s)為串聯(lián)步驟且之間沒有采樣開關(guān)，則有

閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：又：閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

第48頁2.6.6Z傳遞函數(shù)物理可實(shí)現(xiàn)性

從物理概念上說就是系統(tǒng)輸出只能產(chǎn)生于輸入信號作用于系統(tǒng)之后。這就是通常所說“因果”關(guān)系。設(shè)G(z)普通表示式為：不失普通性，假定其中系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則其對應(yīng)差分方程為由上式知，k時(shí)刻輸出y(k)不依賴于k時(shí)刻之后輸入，只取決于k時(shí)刻及k時(shí)刻之前輸入和k時(shí)刻之前輸出。故G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)。第49頁若設(shè)G(z)普通表示式為

不失普通性，假定其中系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則

假如G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)，則要求n≥m。不然，k時(shí)刻輸出y(k)就要依賴于k時(shí)刻之后輸入，這是物理不可實(shí)現(xiàn)。

第50頁2.6.7在擾動(dòng)作用下線性離散系統(tǒng)

線性離散系統(tǒng)除了參考輸入外，通常還存在擾動(dòng)作用，如圖2.9所表示。依據(jù)線性系統(tǒng)迭加原理，系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(t)應(yīng)為參考輸入r(t)和擾動(dòng)作用f(t)分別單獨(dú)作用所引發(fā)響應(yīng)迭加。

f(t)U(z)u*(t)Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)TG2(s)圖2.9在擾動(dòng)作用