2024-2025學(xué)年上海市青浦高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市青浦高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若m、n為實數(shù)，則“m=?1”是“直線x+my?2=0與直線x?y+n=0平行”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為邊AA.DD1

B.AC

C.AD3.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用(x,y)表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E：x+y=8；事件F：至少有一顆點數(shù)為6；事件G：x>4；事件H：y<4.則下列說法正確的是(

)A.事件E與事件F為互斥事件 B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨立 D.事件G與事件H相互獨立4.定義：如果曲線段C可以一筆畫出，那么稱曲線段C為單軌道曲線，比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段C由兩條單軌道曲線構(gòu)成，那么稱曲線段C為雙軌道曲線.對于曲線Γ：(x+1)2+y2?(x?1)2+y2=m(m>0)有如下命題：pA.p和q均為真命題 B.p和q均為假命題

C.p為真命題，q為假命題 D.p為假命題，q為真命題二、填空題：本題共12小題，共60分。5.以C(3,4)為圓心且過點(1,?3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．6.已知直線l的一個方向向量d=(4,3,1)，平面α的一個法向量n=(m,3,?5)，且l/?/α，則m=______．7.曲線y=x2+8在點P(1,9)處的切線與y8.從7個人中選4人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人員不重復(fù)，則一共有______種安排方式(結(jié)果用數(shù)值表示)．9.某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的平均分是86，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則x+y的值為

．10.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)=x2+2xf′(1)+lnx，則f′(1)=11.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為2π，半徑為2的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為______．12.已知等比數(shù)列{an}中，log2a1+log13.某科技公司組織技術(shù)人員進(jìn)行某新項目研發(fā)，技術(shù)人員將獨立地進(jìn)行項目中不同類型的實驗甲、乙、丙，已知實驗甲、乙、丙成功的概率分別為34、23、12，對實驗甲、乙、丙各進(jìn)行一次，則至少有一次成功的概率為______.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示14.從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB=BC=CD，則該雙曲線的離心率為______．15.若2x+8x3+a2e2x<4x16.在直角坐標(biāo)平面xOy中，已知兩定點F1(?2,0)與F2(2,0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2到直線l的距離之差的絕對值等于三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5，a9+7=2a6．

(1)求{an}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{18.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1)設(shè)平面ABE與直線PC相交于點F，求證：EF//CD；

(2)若AB=2，∠DAB=60°，PD=42，求直線BE與平面19.(本小題14分)

王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試(滿分100分)成績分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將[50,60)記作第一組，[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分別記作第二、三、四、五組.已知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計此次考試成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替)；

(2)王老師將測試成績在[80,90)和[90,100]內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再從中選2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在[90,100]內(nèi)的概率；

(3)已知第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此計算第二組和第四組所有學(xué)生成績的方差．20.(本小題14分)

已知橢圓Γ：x22+y2=1，A為Γ的上頂點，P、Q是Γ上不同于點A的兩點．

(1)求橢圓Γ的離心率；

(2)若F是橢圓Γ的右焦點，B是橢圓下頂點，R是直線AF上一點.若△ABR有一個內(nèi)角為π3，求點R的坐標(biāo)；

(3)作AH⊥PQ，垂足為H.若直線AP與直線AQ的斜率之和為2，是否存在x21.(本小題14分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域為D，導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x)，若對任意的x∈D，均有f(x)<f′(x)，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的“M一類函數(shù)”．

(1)試判斷f(x)=sinx是否為其定義域上的“M一類函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=ax+a?1，x∈(0,π)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

(3)已知函數(shù)?(x)=sinx+ax+a?2,x∈[0,π2]為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)a參考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.(x?3)6.?1

7.(0,7)

8.420

9.13

10.?3

11.arccos12.512或16413.232414.415.(216.4+π

17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則a1+d=5a1+8d+7=2(a1+5d)，解得a1=3，d=2，

故an=a1+(n?1)d=2n+1；

(2)由(1)可得an+1=2n+3，則bn=(2n+3)2?(2n+1)2=8n+8，

所以bn?18.(1)證明：∵平面ABE與直線PC相交于點F，∴平面ABE∩平面PCD=EF，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB//CD，

∵AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB//平面PCD，

∵AB?平面ABE，平面ABE∩平面PCD=EF，∴EF//CD；

(2)解：連接BD，取AD中點H，連接BH、EH，

∵菱形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，

∵H是AD中點，∴BH⊥AD，

∵PD⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴BH⊥PD，

∵PD、AD?平面PAD，PD∩AD=D，∴BH⊥平面PAD．

∴∠BEH是直線BE與平面PAD的所成角，

∵E是PD中點，PD=42，∴DE=12PD=22．

∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，

∵H為AD中點，∴DH=12AD=1，Rt△DEH中，EH=DE2+DH2=3，

∵等邊△ABD19.解：(1)由題意得10a+10b=0.3,10(0.045+0.020+a)=0.7，解得a=0.005b=0.025，

所以平均數(shù)等于55×0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.2+95×0.05=74.5．

(2)由題意，[80,90)內(nèi)有8人，[90,100]內(nèi)有2人，

所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在[90,100]內(nèi)的概率為1?C82C102=1745．

(3)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為x1?，x2?，s12，s22，由題意，

第二組、第四組分別有10人和8人，

所以成績在第二組、第四組的平均數(shù)x=65×10+83×810+820.解：(1)由題意，a=2,c=a2?b2=1，所以離心率e=ca=22；

(2)如圖，

由題意，F(xiàn)(1,0)，A(0,1)，B(0,?1)，所以直線AF的方程為：y=?x+1，

設(shè)R(x0,?x0+1)，顯然有∠ABR=π3或∠ARB=π3兩種情況，

①當(dāng)∠ABR=π3時，直線BR的傾斜角為π6，其與x軸的交點為(3,0)，則x0∈(0,3)，

因為BA=(0,2),BR=(x0,?x0+2)，

由cos∠ABR=BA?BR|BA||BR|=12，得：x02?6x0+6=0，解得x0=3+3(舍去)或x0=3?3，

故點R的坐標(biāo)是(3?3,?2+3)；

②當(dāng)∠ARB=π3時，此時∠ABR=5π12>π3，則x0>3?3，

因為RA=(?x0,x0),RB=(?x0,x0?2)，

由cos∠ARB=RA?RB|RA||RB|=12，得：3x02?6x0+2=0，

解得x0=1?33(舍去)或x0=1+33，

故點R的坐標(biāo)是(1+33,?33)；

綜上所述，點R的坐標(biāo)是(3?3,?2+3)或(1+33,?33)．

(3)假設(shè)存在定點M(m,0