第五單元：求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)專項(xiàng)練習(xí)-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（解析版）北師大版

2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第五單元：求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)專項(xiàng)練習(xí)一、填空題。1．18和54的最大公因數(shù)是()，15和8的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

18

120【分析】54是18的倍數(shù)，所以，18和54的最大公因數(shù)是18；15和8互質(zhì)，所以15和8的最小公倍數(shù)是15×8。【詳解】54÷18＝315×8＝120所以，18和54的最大公因數(shù)是18，15和8的最小公倍數(shù)是120?！军c(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，較小數(shù)是兩數(shù)的最大公因數(shù)，較大數(shù)是兩數(shù)的最小公倍數(shù)；互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，兩數(shù)的乘積是兩數(shù)的最小公倍數(shù)。2．A、B都是非0自然數(shù)，且A＝3B，那么A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

B

A【分析】若兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)?！驹斀狻恳?yàn)锳＝3B，所以A÷B＝3，那么A和B的最大公因數(shù)是B，最小公倍數(shù)是A?！军c(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵。3．如果a＝4b（a、b都是大于0的自然數(shù)），那么a、b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

a

b【分析】若兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)?！驹斀狻恳?yàn)閍＝4b，所以a÷b＝4，所以a和b成倍數(shù)關(guān)系，那么a、b的最小公倍數(shù)是a，最大公因數(shù)是b?！军c(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵。4．分?jǐn)?shù)分子和分母的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

2

40【分析】先把8和10分別分解質(zhì)因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積。【詳解】8＝2×2×210＝2×52×2×2×5＝8×5＝40所以分?jǐn)?shù)分子和分母的最大公因數(shù)是2；最小公倍數(shù)是40?！军c(diǎn)睛】此題需要學(xué)生熟練掌握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。5．甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是120，如果甲數(shù)是30，那么乙數(shù)是()。【答案】24【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)與各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，把甲數(shù)、最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，找出甲數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)，再把最小公倍數(shù)分解質(zhì)因數(shù)找出乙數(shù)的所有質(zhì)因數(shù)，最后求出乙數(shù)?！驹斀狻?＝2×3，30＝2×3×5，則甲數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)為5，120＝2×3×2×2×5，則乙數(shù)＝2×3×2×2＝24?！军c(diǎn)睛】掌握用分解質(zhì)因數(shù)求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解答題目的關(guān)鍵。6．把自然數(shù)a與b分解質(zhì)因數(shù)，得到a＝2×5×7×m，b＝3×5×m如果a與b的最小公倍數(shù)是2730，那么m＝()?！敬鸢浮?3【分析】分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式；兩個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)；把公有的質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就是最小公倍數(shù)。由a＝2×5×7×m，b＝3×5×m，可得a與b的最小公倍數(shù)是：2×3×5×7×m＝210m；由題意得：210m＝2730，進(jìn)而求出m的值?！驹斀狻縜＝2×5×7×mb＝3×5×ma與b的最小公倍數(shù)是：2×3×5×7×m＝210m；210m＝2730m＝2730÷210m＝13【點(diǎn)睛】掌握用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵。7．是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（m、n均為非0自然數(shù)），m和n的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

1

mn【分析】分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則m和n是互質(zhì)數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)的乘積?！驹斀狻糠治隹芍?，是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（m、n均為非0自然數(shù)），m和n的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是mn。【點(diǎn)睛】根據(jù)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的意義判斷m和n是互質(zhì)數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。8．如果m＝2×2×5，n＝2×3×5×7，那么m和n的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

10

420【分析】分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式；兩個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)；把公有的質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就是最小公倍數(shù)。【詳解】m＝2×2×5n＝2×3×5×7那么m和n的最大公因數(shù)是：2×5＝10最小公倍數(shù)是：2×2×3×5×7＝420【點(diǎn)睛】掌握用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵。9．a(chǎn)＝2×3×5，b＝2×5×11，a和b的最大公因數(shù)是()，a和b的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

10

330【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)和每個(gè)數(shù)剩余質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】a和b的最大公因數(shù)為：2×5＝10a和b的最小公倍數(shù)為：2×5×3×11＝330【點(diǎn)睛】掌握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解答題目的關(guān)鍵。10．已知，，如果和的最大公因數(shù)是21，那么是()，這時(shí)和的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

7

210【分析】因?yàn)锳和B公有的質(zhì)因數(shù)有3和M，根據(jù)A和B最大的公因數(shù)是21，據(jù)此可以求出M的值；再把A和B公有的質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)相乘，就可求出A和B的最小公倍數(shù)?！驹斀狻坑深}可知，和的最大公因數(shù)為，所以，和的最小公倍數(shù)是?！军c(diǎn)睛】此題主要考查利用兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。11．如果（X、Y、Z均為整數(shù)，且），那么X和Y的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?/p>

Y

X【分析】?jī)蓴?shù)成倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)，據(jù)此分析?！驹斀狻咳绻╔、Y、Z均為整數(shù)，且），那么X和Y的最大公因數(shù)是Y，最小公倍數(shù)是X?！军c(diǎn)睛】特殊情況還有兩數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積。二、計(jì)算。12．求出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。21和35

48和36

8和9

17和68【答案】21和35的最大公因數(shù)是7；最小公倍數(shù)是105；48和36的最大公因數(shù)是12；最小公倍數(shù)是144；8和9的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是72；17和68的最大公因數(shù)是17；最小公倍數(shù)是68【分析】最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的兩種特殊情況：兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積；兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)。其它情況可以用分解質(zhì)因數(shù)或短除法找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！驹斀狻浚?）21＝3×735＝5×721和35的最大公因數(shù)是7；21和35的最小公倍數(shù)是3×5×7＝105；（2）48＝2×2×2×2×336＝2×2×3×348和36的最大公因數(shù)是2×2×3＝12；48和36的最小公倍數(shù)是2×2×2×2×3×3＝144；（3）8和9是互質(zhì)數(shù)；8和9的最大公因數(shù)是1；8和9的最小公倍數(shù)是8×9＝72；（4）17和68是倍數(shù)關(guān)系；17和68的最大公因數(shù)是17；17和68的最小公倍數(shù)是68。13．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。12和18

22和117和8

1和15【答案】6，36；11，22；1，56；1，15【分析】求最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積。當(dāng)兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積；進(jìn)而解答即可。當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較大的數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)?！驹斀狻?2＝2×2×3，18＝2×3×3，所以12和18的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是2×2×3×3＝36。22÷11＝2，22和11是倍數(shù)關(guān)系，所以22和11的最大公因數(shù)是11，最小公倍數(shù)是22。7和8是互質(zhì)數(shù)，所以7和8的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×8＝56。15÷1＝15，15和1是倍數(shù)關(guān)系，所以1和15的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是15。14．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。10和9

6和8

45和15

34和51【答案】1，90；2，24；15，45；17，102【分析】根據(jù)求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積求解；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)，較大的數(shù)是它們的最小公倍數(shù)；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積?！驹斀狻?0和9是互質(zhì)數(shù)，所以10和9的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是10×9＝90。6＝2×38＝2×2×26和8的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是2×2×2×3＝24。45和15是倍數(shù)關(guān)系，所以45和15的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是45。34＝17×251＝17×334和51的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是17×3×2＝102。15．用短除法求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。16和12

14和28

20和30【答案】最大公因數(shù)4，最小公倍數(shù)48；最大公因數(shù)14，最小公倍數(shù)28；最大公因數(shù)10，最小公倍數(shù)60【分析】把兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止，然后把所有除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；最后把所有除數(shù)和最后的商連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；據(jù)此計(jì)算。【詳解】（1）16和12的最大公因數(shù)：2×2＝416和12的最小公倍數(shù)：2×2×4×3＝48（2）14和28的最大公因數(shù)：2×7＝1414和28的最小公倍數(shù)：2×7×1×2＝28（3）20和30的最大公因數(shù)：2×5＝1020和30的最小公倍數(shù)：2×5×2×3＝6016．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。9和10

15和30

12和18【答案】9和10的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是90；15和30的最大公約數(shù)是15，最小公倍是30；12和18的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36【分析】求最大公約數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，由此解決問題即可?！驹斀狻?＝3×310＝2×59和10的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是3×3×2×5＝90。15＝3×530＝2×3×515和30的最大公因數(shù)是3×5＝15，最小公倍數(shù)是2×3×5＝30。12和1812＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6，12和18的最小公倍數(shù)是2×3×2×3＝36。17．求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。42和1

24和32

5和6

66和33【答案】42和1的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是42；24和32的最大公因數(shù)是8；最小公倍數(shù)是96；5和6的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30；66和33的最大公因數(shù)是33；最小公倍數(shù)是66【分析】當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；除了以上兩種情況以外，可以用分解質(zhì)因數(shù)或短除法找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！驹斀狻浚?）42和1是倍數(shù)關(guān)系；42和1的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是42；（2）24＝2×2×2×332＝2×2×2×2×224和32的最大公因數(shù)是：2×2×2＝824和32的最小公倍數(shù)是：2×2×2×2×2×3＝96（3）5和6是互質(zhì)數(shù)；5和6的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是5×6＝30；（4）66和33是倍數(shù)關(guān)系；66和33的最大公因數(shù)是33，最小公倍數(shù)是66。18．找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。11和33

10和45

9和10

16和24【答案】11和33的最大公因數(shù)是11；最小公倍數(shù)是33；10和45的最大公因數(shù)是5；最小公倍數(shù)是90；9和10的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是90；16和24的最大公因數(shù)是8；最小公倍數(shù)是48【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)是