選擇性第七章隨機(jī)變量及其分布專題一-條件概率與全概率公式

選擇性必修第三冊第七章隨機(jī)變量及其分布條件概率與全概率公式知識構(gòu)建知識點(diǎn)一條件概率的概念一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．知識點(diǎn)二概率乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則為概率的乘法公式．知識點(diǎn)三條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)設(shè)eq\x\to(B)和B互為對立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．知識點(diǎn)四．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我們稱這個公式為全概率公式．二、類型歸納類型一條件概率的定義及計算 類型二條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用類型三利用全概率公式求概率類型四條件概率和全概率公式的綜合問題類型應(yīng)用【例1】（2324高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】根據(jù)條件概率公式計算即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：C.【跟蹤訓(xùn)練11】（2425高二上·河南·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】直接根據(jù)條件概率公式求解可得結(jié)果.【詳解】由，故選：B【例2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）若，，則．【答案】/【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】利用條件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為：【跟蹤?xùn)練21】（2425高二下·天津·階段練習(xí)）已知，，則.【答案】/【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練22】（2425高二下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】由，則.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練23】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）已知，且相互獨(dú)立，則（

）A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．無法求解【答案】A【知識點(diǎn)】條件概率性質(zhì)的應(yīng)用、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義可得.【詳解】相互獨(dú)立，，．故選：A.【跟蹤訓(xùn)練24】（2425高二下·江西吉安·階段練習(xí)）某學(xué)校辦公室數(shù)學(xué)教師和英語教師的人數(shù)之比為5:3，其中數(shù)學(xué)教師中女教師占0.75，從中任選一位教師代表本辦公室參加會議，則女?dāng)?shù)學(xué)教師被選到的概率是．【答案】【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)表示選到的教師是數(shù)學(xué)教師，用表示選到的是女教師，則，，而設(shè)女?dāng)?shù)學(xué)教師被選到的概率是，由條件概率公式得．故答案為：.【例3】（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知在8個球中，有2個白球，6個紅球，每次任取一個球，取出后不再放回，則經(jīng)過2次取球恰好將2個白球全部取出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)條件概率公式進(jìn)行計算.【詳解】設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录瑒t，設(shè)第二次取到白球?yàn)槭录瑒t，所以.故選：B【跟蹤訓(xùn)練31】（2223高二下·北京延慶·期中）已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為與，且兩地同時下雨的概率為，則春季的一天里甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】根據(jù)條件概率公式直接求解即可.【詳解】記事件A為“甲地下雨”，事件B為“乙地下雨”，則，所以.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練32】（2324高二下·山東泰安·期末）已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為．【答案】/0.5【知識點(diǎn)】計算條件概率、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，求得，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練33】（2425高二下·天津·階段練習(xí)）已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)從中任取兩次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，則第二次取到次品的概率為.【答案】【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、計算條件概率【分析】設(shè)“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，由已知根據(jù)條件概率的計算公式求解即可.【詳解】設(shè)“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，因?yàn)?，，所?故答案為：.【例4】（2324高二下·北京·期中）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、計算條件概率【分析】分別寫出事件和事件包含的基本事件，由條件概率計算公式得到.【詳解】記事件，包含的基本事件數(shù)是，，，共3個基本事件，事件，包含的基本事件數(shù)是，，共2個基本事件，所以．故選：D.【跟蹤訓(xùn)練41】（2324高二下·天津河?xùn)|·期中）某個班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如下表所示：團(tuán)員非團(tuán)員合計男生16925女生14620合計301545如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】運(yùn)用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示選到團(tuán)員，事件表示選到男生，則．故選：A.【跟蹤訓(xùn)練42】（2425高二上·廣西桂林·階段練習(xí)）某醫(yī)學(xué)院校計劃從5名男生和3名女生中選派2人參加義診活動，則在派出的2人中有男生的條件下，另一人恰好是女生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計數(shù)問題、計算古典概型問題的概率、計算條件概率【分析】運(yùn)用條件概率公式，結(jié)合古典概型，組合和組合數(shù)公式計算即可.【詳解】記“派出的2人中有男生”為事件A，“另一人恰好是女生”為事件.則.故選：C.【跟蹤訓(xùn)練43】（2324高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、計算條件概率【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.【跟蹤訓(xùn)練44】（2324高二下·天津·期中）為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長，設(shè)事件為“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件為“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，則.【答案】【知識點(diǎn)】計算條件概率【分析】利用條件概率公式即可求解.【詳解】，，所以.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練45】（2425高二下·全國·課堂例題）已知某班級中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜歡長跑的有10人，男生中喜歡長跑的有8人.現(xiàn)從這個班級中隨機(jī)抽出一名學(xué)生，思考如下問題：(1)求所抽到的學(xué)生喜歡長跑的概率；(2)若已知抽到的是男生，求所抽到的學(xué)生喜歡長跑的概率.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、計算條件概率【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式可得；（2）根據(jù)條件概率公式可得.【詳解】（1）由題意共有30個學(xué)生，喜歡長跑的有18人，設(shè)“所抽到的學(xué)生喜歡長跑”為事件，則.故所抽到的學(xué)生喜歡長跑的概率為（2）設(shè)“所抽到的學(xué)生為男生”為事件，則由題意，,故，即已知抽到的是男生，求所抽到的學(xué)生喜歡長跑的概率為【例5】（2425高二下·陜西渭南·開學(xué)考試）袋中裝有4個紅球，5個白球，從中不放回地任取兩次，每次取一球.(1)求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出紅球的概率.(2)求第二次才取到紅球的概率.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】計算條件概率、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】（1）利用條件概率的定義并結(jié)合古典概型即可得到答案；（2）利用條件概率公式即可.【詳解】（1）若第一次取出紅球，此時袋中有3個紅球，5個白球，則第二次取出紅球的概率為.（2）用表示第次取到紅球，則第二次才取到紅球的概率為.【跟蹤訓(xùn)練51】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）若，，，則；.【答案】/0.22/0.55【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、計算條件概率【分析】由對立事件、條件概率計算公式即可求解；【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所?故答案為：0.22；【跟蹤訓(xùn)練52】（2324高二下·江蘇常州·期中）已知隨機(jī)事件，則..【答案】//【知識點(diǎn)】計算條件概率、條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【分析】求出和，由概率的乘法公式和條件概率公式，可得結(jié)果.【詳解】由概率的乘法公式得，因?yàn)椋?，則，所以由條件概率公式得，故答案為：；【跟蹤訓(xùn)練53】（2425高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）對于隨機(jī)事件，若，，，則.【答案】【知識點(diǎn)】計算條件概率、條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【分析】利用條件概率公式得到，從而.【詳解】，又，所以，因?yàn)椋?故答案為：【跟蹤訓(xùn)練54】（2425高二上·遼寧·期末）設(shè)，是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)可得，結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)?，即，解得，又因?yàn)椋?，解得，且，可得，所?故選：A【例6】（2025·湖北·模擬預(yù)測）小孟一家打算從武漢、十堰、荊州選一個城市去旅游，這三個城市都有游樂園，去武漢市、十堰市、荊州市的概率分別為0.5，0.3，0.2，到了武漢市小孟一家去游樂園的概率為0.6，到了十堰市小孟一家去游樂園的概率為0.4，到了荊州市小孟一家去游樂園的概率為0.3，則小孟一家去游樂園的概率為（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21【答案】A【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式計算即可得到結(jié)果.【詳解】由全概率公式可得，小孟一家去游樂園的概率為，故選：A.【跟蹤訓(xùn)練61】假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率為，乙廠產(chǎn)品的合格率為，若在該市場中隨機(jī)購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為．【答案】0.85/【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式求解．【詳解】由題意可知，這個燈泡是合格品的概率為．故答案為：0.85．【跟蹤訓(xùn)練62】（2425高二上·江西贛州·期末）某工廠有甲，乙車間生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，甲車間生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.9，乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.85，若將兩車間的產(chǎn)品混合堆放在一起且甲、乙車間的產(chǎn)品數(shù)量比例為，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一件產(chǎn)品，則取出的產(chǎn)品是合格品的概率為（

）A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88【答案】C【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式求解.【詳解】設(shè)“從甲車間中隨機(jī)取出一件產(chǎn)品”，“從乙車間中隨機(jī)取出一件產(chǎn)品”，“從車間中隨機(jī)取出一件產(chǎn)品是合格品”，則，所以，故選：C【跟蹤訓(xùn)練63】（2324高二下·天津?yàn)I海新·期末）天津高考實(shí)行“六選三”選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%，60%，60%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為2∶1∶1，現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機(jī)選取一個學(xué)生，則這個學(xué)生選了物理的概率為．【答案】【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】直接由全概率公式即可求解.【詳解】由全概率公式可知，所求概率為.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練64】（2324高二下·天津·期中）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，丙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場上買到一個產(chǎn)品，此產(chǎn)品是次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)條件，利用對立事件的概率公式及全概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，產(chǎn)品是次品的概率是，故選：D.【跟蹤訓(xùn)練65】（2324高二下·北京順義·期中）從甲地到乙地共有、、三條路線可選擇，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9【答案】B【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式計算可得.【詳解】依題意李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，即選擇、、路線的概率均為，又選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，所以堵車的概率.故選：B【例7】（2425高二上·河南焦作·期末）某學(xué)校只有甲、乙兩個餐廳，某同學(xué)只在學(xué)校用午餐，他第1天隨機(jī)選擇一個餐廳用餐．如果第1天去甲餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為0.4；如果第1天去乙餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為0.7．該同學(xué)第2天去甲餐廳用餐的概率是（

）A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12【答案】A【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)事件“第1天去甲餐廳用餐”，“第1天去乙餐廳用餐”，“第2天去甲餐廳用餐”，與互斥．依題意得，，．由全概率公式，得，故選：A【跟蹤訓(xùn)練71】（2425高二上·遼寧沈陽·期末）此時此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會做的概率是，當(dāng)你會做的時候，又能選對正確答案的概率為100%，而當(dāng)你不會做這道題時，你選對正確答案的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（

）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25【答案】A【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】應(yīng)用全概率公式求答對題目的概率.【詳解】由題意，令表示會做，表示選對，則，且，所以.故選：A【跟蹤訓(xùn)練72】（2324高二下·天津·期中）為豐富學(xué)生的課余活動，學(xué)校舉辦“書香臨夏、悅享閱讀”的讀書朗誦比賽．已知參加比賽的男同學(xué)與女同學(xué)人數(shù)比是3∶2，其中有的男同學(xué)和的女同學(xué)擅長中華詩詞朗誦，現(xiàn)隨機(jī)選一位同學(xué)，這位同學(xué)恰好擅長中華詩詞朗誦的概率是（

）A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30【答案】B【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】由題意轉(zhuǎn)化為全概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件為選到一位男同學(xué)，事件為選到一位女同學(xué)，事件位擅長中華詩詞朗誦，則，，，,所以，.故選：B【跟蹤訓(xùn)練73】（2425高二上·黑龍江哈爾濱·期末）某地市場上供應(yīng)一種玩具電動車，其中甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，丙廠產(chǎn)品的合格率是80%，若從該地市場上買到一個電動車，此電動車是次品的概率是（

）A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9【答案】C【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)電動車為甲廠生產(chǎn)為事件，電動車為乙廠生產(chǎn)為事件，電動車為丙廠生產(chǎn)為事件，電動車為次品為事件，則，，且，，則.故選：C【跟蹤訓(xùn)練74】（2324高二下·天津·期末）甲?乙兩個箱子中各裝有8個球，其中甲箱中有4個紅球，4個白球，乙箱中有6個紅球，2個白球.A同學(xué)從乙箱子中隨機(jī)摸出3個球，則3個球顏色不全相同的概率是.同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，則從甲箱子中隨機(jī)摸出1個球，如果點(diǎn)數(shù)為，則從乙箱子中隨機(jī)摸出1個球，那么B同學(xué)摸到紅球的概率為.【答案】【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、利用全概率公式求概率【分析】分析可知3個球顏色不全相同，則有2紅1白或1紅2白兩種情況，根據(jù)古典概型分析求解；設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)題意可知相應(yīng)的概率，利用全概率公式運(yùn)算求解.【詳解】若A同學(xué)從乙箱子中隨機(jī)摸出3個球，則3個球顏色不全相同，則有2紅1白或1紅2白兩種情況，所以3個球顏色不全相同的概率為；記“一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)為1或2”為事件，“B同學(xué)摸到紅球”為事件，則，所以.故答案為：；.【例8】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）已知，，，則（

）A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47【答案】D【知識點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】由全概率公式即可求解；【詳解】由，可得所以：．故選：D【跟蹤訓(xùn)練81】（2324高二下·天津河西·期中）某公司有甲、乙兩家餐廳，小李第一天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，則小李第二天去乙家餐廳的概率為．【答案】/0.3【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、計算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】先將事件用字母表示出來，再利用條件概率和全概率公式即可解決.【詳解】解：設(shè)A1＝“第1天去甲餐廳用餐“，B1＝“第1天去乙餐廳用餐”，A2＝“第2天