高中物理競(jìng)賽-萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)

萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)第1頁(yè)兩體問(wèn)題僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成孤立系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2矢徑為.對(duì)m2，由牛頓第二定律有將（1）代入（2）：則有（3）式表明，若取m1為參考系（普通不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參考系中m2運(yùn)動(dòng)完全相同于質(zhì)量為μ質(zhì)點(diǎn)在中心力作用下按牛頓第二定律所形成運(yùn)動(dòng)，而無(wú)須考慮慣性力作用.取二者質(zhì)心C為參考系（慣性系）.設(shè)C到m1矢徑為.有第2頁(yè)“衛(wèi)星怪象”問(wèn)題

衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量為M）系統(tǒng)總能量為即于是可知對(duì)兩端改變量有即第3頁(yè)一、對(duì)宇宙中復(fù)雜天體受力運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).（2）很多時(shí)候，某天體所受其它諸天體引力中僅有一個(gè)是主要：a、可將該兩天體作為二體問(wèn)題處理.b、施力天體因?yàn)橐恍┰颍ㄈ缳|(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這時(shí)問(wèn)題很簡(jiǎn)單（我們通常討論就是這種情況）.二、引力問(wèn)題基本動(dòng)力學(xué)方程如圖，行星m在太陽(yáng)M有心引力作用下運(yùn)動(dòng).行星橫向加速度等于零.有徑向動(dòng)力學(xué)方程解題知識(shí)與方法研究在太陽(yáng)慣性參考系中，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和引力定律第4頁(yè)此式改變后即得開(kāi)普勒第二定律：表明：開(kāi)普勒第二定律是角動(dòng)量守恒定律特殊表現(xiàn).開(kāi)普勒第二定律不但適合用于行星橢圓運(yùn)動(dòng)也將適合用于有心引力作用下任何行星軌道運(yùn)動(dòng).又因萬(wàn)有引力為保守力，故“太陽(yáng)+行星”系統(tǒng)機(jī)械能守恒當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)！因?yàn)橐橛行牧?，故行星?duì)太陽(yáng)參考軸角動(dòng)量守恒第5頁(yè)三、天體繞日運(yùn)動(dòng)軌道與能量依據(jù)萬(wàn)有引力定律和其它牛頓力學(xué)定律（角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖極坐標(biāo)下繞日運(yùn)動(dòng)天體軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線(xiàn)方程：（1）（即開(kāi)普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：第6頁(yè)（3）總能量為：第7頁(yè)

例1（天體軌道判定）如圖，太陽(yáng)系中星體A做半徑為R1圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng).B在近日點(diǎn)處與太陽(yáng)相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同.設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽(yáng)連線(xiàn)上.A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈相互作用而快速合并成一個(gè)新星體.其間質(zhì)量損失可忽略.試證實(shí)新星體繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓.解計(jì)算新星體C機(jī)械能.在徑向：可認(rèn)為在A、B靠攏過(guò)程中質(zhì)心未動(dòng).所以C到太陽(yáng)距離為在切向：A、B合并過(guò)程中動(dòng)量也守恒，②則有研究②式中vA、vB：因A作圓運(yùn)動(dòng)，例題解答①第8頁(yè)所以利用①③，C星體機(jī)械能為所以，新星體C軌道為橢圓.EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰(shuí)大誰(shuí)??？C軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為零.因而有①思索

本題能不能直接判斷？第9頁(yè)

例2（利用引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，太陽(yáng)質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點(diǎn)處曲率半徑.解行星運(yùn)動(dòng)情況如圖.由頂點(diǎn)1、2、3處機(jī)械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得據(jù)①②第10頁(yè)求頂點(diǎn)1處曲率半徑ρ1：將前面得到v1代入，求頂點(diǎn)3處曲率半徑ρ3：將前面得到v3代入，

題后小結(jié)與思索橢圓上其它點(diǎn)曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線(xiàn)任意點(diǎn)曲率半徑、正弦曲線(xiàn)頂點(diǎn)曲率半徑.即得即得第11頁(yè)

例3（衛(wèi)星怪象問(wèn)題）

質(zhì)量為m人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）飛行過(guò)程中，因?yàn)槭艿轿⑷跄Σ磷枇（常量），不能?chē)?yán)格按圓周軌道運(yùn)動(dòng)，而是遲緩地沿一螺旋形軌道靠近地球.因f很小，軌道半徑改變十分遲緩，每一周均可近似處理為半徑為r圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r改變量及衛(wèi)星動(dòng)能EK改變量.解衛(wèi)星動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能為在運(yùn)行中萬(wàn)有引力作為向心力將此代入EK、E表示式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為第12頁(yè)所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r改變量為動(dòng)能改變量為由功效關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，有即第13頁(yè)

例4（星體運(yùn)動(dòng)阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R星球以速度V經(jīng)過(guò)質(zhì)量密度為非常稀薄氣體,因?yàn)樗?chǎng)，此星球?qū)⑽婵拷Ｗ?，并俘獲撞在它表面上全部氣體分子.設(shè)相對(duì)于速度V，分子熱運(yùn)動(dòng)速度可忽略.分子間相互作用不計(jì).求作用在星體上阻力.解為方便研究問(wèn)題取星球?yàn)閰⒖枷?氣體分子運(yùn)動(dòng)及與星球碰撞如圖所表示.在橫截面為圓柱體內(nèi)分子才能與星球相碰.研究圓截面邊緣上一個(gè)分子：設(shè)被俘獲前瞬間（A點(diǎn)處）速度為v.由角動(dòng)量守恒得由機(jī)械能守恒得第14頁(yè)設(shè)氣體受到阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體動(dòng)量改變?yōu)橛蓜?dòng)量定理知星球在Δt時(shí)間內(nèi)得到第15頁(yè)

例5（飛船著陸問(wèn)題）一質(zhì)量為m=12×103kg太空飛船在圍繞月球圓軌道上運(yùn)動(dòng)，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在圖中P點(diǎn)作一短時(shí)間發(fā)動(dòng).從噴口噴出熱氣流相對(duì)飛船速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不一樣方式抵達(dá)月球（如圖所表示）：（1）向前噴射氣流，使飛船抵達(dá)月球后面A點(diǎn)（與P點(diǎn)相對(duì)），并相切.（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心動(dòng)量，飛船軌道與月球表面B點(diǎn)相切.試計(jì)算上述兩種情況下所需要燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了橢圓一部分（如圖）.設(shè)飛船噴氣前速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船速度問(wèn)題即可處理！第16頁(yè)（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.抵達(dá)A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得對(duì)噴氣前后短暫過(guò)程，由動(dòng)量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲速度vr，從而飛船速度變?yōu)橐粯佑薪莿?dòng)量和能量守恒方程（1）（2）則由角動(dòng)量守恒和能量守恒得設(shè)噴出氣體質(zhì)量為Δm1,第17頁(yè)聯(lián)立此兩式消去vB解得對(duì)噴氣前后短暫過(guò)程，在沿原半徑方向上由動(dòng)量守恒有解得顯然，所以選擇第一個(gè)方式登月較省燃料.

題后思索仔細(xì)研究怎樣計(jì)算噴出氣體相對(duì)月球速度?。?）（2）設(shè)噴出氣體質(zhì)量為Δm2,第18頁(yè)

例6質(zhì)量為M宇航站和已對(duì)接上質(zhì)量為m飛船沿圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑是地球半徑n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心距離為8nR.問(wèn)飛船與宇航站質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后恰好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站運(yùn)動(dòng)情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動(dòng)量守恒有所求比值為①深入研究分離后飛船和宇航站運(yùn)動(dòng)，求v、V：第19頁(yè)研究分離后飛船：由開(kāi)普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后宇航站：由開(kāi)普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠(yuǎn)地心點(diǎn)速度為v′，設(shè)近地心點(diǎn)速度為V′，距地心r.第20頁(yè)研究分離后相遇以求得r：設(shè)飛船周期為t，宇航站周期為T(mén).由開(kāi)普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運(yùn)行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應(yīng)宇航站不能與地球相碰（只要近地點(diǎn)不碰，其它點(diǎn)便不會(huì)相碰）.將④代入，得第21頁(yè)即所以由上述①②③④式求m/M：得可見(jiàn)k只能取兩個(gè)值：k=10，11.對(duì)應(yīng)有

題后思索最終結(jié)果為何與u無(wú)關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又怎樣？④③②①第22頁(yè)

例7一雙星系統(tǒng)，兩顆星質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動(dòng)質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn).在超新星爆炸中，質(zhì)量為M星體損失質(zhì)量ΔM.假設(shè)爆炸是瞬時(shí)、球?qū)ΨQ(chēng)，而且對(duì)殘余體不施加任何作用力（或作用力抵消），對(duì)另一顆星也無(wú)直接作用.試求，在什么條件下，余下新雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠(yuǎn)離.解需計(jì)算爆炸后總機(jī)械能.如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角速度滿(mǎn)足爆炸后瞬間，因球?qū)ΨQ(chēng)爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不變.無(wú)作用，故m位置、速度也不變.因爆炸對(duì)星體m也旋轉(zhuǎn)半徑滿(mǎn)足第23頁(yè)新系統(tǒng)