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數(shù)學(xué)歸納法1/11法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到:
于是他用歸納推理提出猜測:任何形如數(shù)都是質(zhì)數(shù)(費馬猜測)都是質(zhì)數(shù),半個世紀之后,善于計算歐拉發(fā)覺,第5個費馬數(shù)
F5=不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費馬猜測12342/11數(shù)列{an},已知a1=1,前4項歸納,得出:經(jīng)過對猜測出:3/11(2)任意相鄰兩塊骨牌,前一塊倒下一定能造成后一塊倒下。“多米諾骨牌”效應(yīng)所要具備條件:(1)第一塊骨牌倒下;4/11例1:用數(shù)學(xué)歸納法證實
5/11
練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證實
證實:(1)n=1時,左邊=
那么,(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時等式成立,即
右邊=等式成立。即當(dāng)n=k+1時等式也成立。依據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*
都成立。6/11探究:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項和,計算S1,S2,S3,S4,依據(jù)計算結(jié)果,猜測Sn表示式,并用數(shù)學(xué)歸納法進行證實。解:S1=
S2=S3=S4=
能夠看到,上面表示四個結(jié)果分數(shù)中,分子與項數(shù)一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1,能夠猜測7/112°假設(shè)n=k(k≥n0)時命題成立,證實n=k+1時命題成立,課堂小結(jié):(1)數(shù)學(xué)歸納法只適合用于證實與正整數(shù)相關(guān)命題.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證實命題普通步驟:1°驗證n=n0(n0為命題允許最小正整數(shù))時,命題成立由1°和2°對任意n≥n0,n∈N*命題成立8/11
平面內(nèi)有n條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不共點,設(shè)f(n)為n條直線交點個數(shù),求證:f(n)=思索:
成立,那么當(dāng)n=k+1時
f(k+1)=f(k)+k證實:(1)n=1時,f(1)=1(2)假設(shè)n=k時,f(k)=
依據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*
都成立。即當(dāng)n=k+1時,命題成
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