數(shù)學(xué)分析-第十六章-偏導(dǎo)數(shù)與全微分省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第十六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分再一元微分學(xué)中：有導(dǎo)數(shù)（微商）連續(xù)微分復(fù)習(xí)：改變率線性主要部分第1頁

§1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念比如：固定y=y0,則f(x,y0)就是x一元函數(shù)，它在x0時對x

導(dǎo)數(shù)，稱為f(x,y0)在(x,y0)對x

偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)在二元函數(shù)f(x,y)中將x,y中一個量固定（看作不變），定義16.1.函數(shù)f

在(x0,y0)關(guān)于x偏改變量.若以下極限存在則稱該極限為函數(shù)f(x,y)關(guān)于x

偏導(dǎo)數(shù).第2頁記號：

和一元函數(shù)情形相仿：則這個偏導(dǎo)數(shù)也是二元函數(shù)，它是在G內(nèi)對x或y偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù),記為或或：：若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都存在對x或?qū)偏導(dǎo)數(shù)，第3頁

偏導(dǎo)數(shù)幾何意義：先復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)幾何意義空間曲線

看p181圖曲面平面第4頁例１―――例３例３表明：偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)原因：只有兩個方向與一元函數(shù)本質(zhì)區(qū)分第5頁２全微分回想一下一元函數(shù)微分：兩大特點１；２.推廣到二元函數(shù)定義１６.２（可微與全微分）記號：二元函數(shù)微分仍有兩大特點１；２.先回想一下一元函數(shù)情形：切線存在且迫近曲線二元：切平面存在且迫近曲面二元函數(shù)在幾何意義第6頁定理16.1３．全微分與偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系：設(shè)可微，在表示式中分別令和得第7頁從而：在全微分可寫成類似可定義n

元函數(shù)u=f()全微分注：函在一點偏導(dǎo)數(shù)不可能推出在該點可微定理１６.2

在某區(qū)域內(nèi)點全微分為第8頁總結(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)第9頁4、高階偏導(dǎo)數(shù)和高階微分先考慮二元函數(shù)前面說過偏導(dǎo)數(shù)則稱關(guān)于x,y偏導(dǎo)數(shù)為二階偏導(dǎo)數(shù)，共有四個類似可定義三階偏導(dǎo)數(shù)：共個第10頁例7.求全部二階偏導(dǎo)數(shù)：兩個混合偏導(dǎo)數(shù)：是否總相等例8.設(shè)證實:在什么條件下才能確保二者相等呢？第11頁定理16.4這個定理能夠推廣到n含有直到n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求偏導(dǎo)數(shù)與變量次序

n

階偏導(dǎo)數(shù)可簡單得表示為：階偏導(dǎo)數(shù)情形：即若函數(shù)f高階全微分復(fù)習(xí)高階微分二階全微分：設(shè)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，記號無關(guān).從而二元函數(shù)第12頁§2復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)先復(fù)習(xí)一元函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t多元類似Th16.5復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t證實：思緒1、2、可微：偏導(dǎo)注：條件“可微”不可少。要求第13頁總結(jié)用圖表示鏈?zhǔn)椒▌t第14頁幾個特殊情形和推廣：1）則復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù)設(shè)注意符號有時稱全導(dǎo)數(shù)第15頁2）設(shè)

則推廣n

個P196復(fù)合三次uxyzst第16頁3)設(shè)

1、兩符號意義本質(zhì)區(qū)分2、特例uxytst第17頁下面求復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)：例3強調(diào)，仍是x,y

函數(shù)，從而x,y又是s,t函數(shù)xyst同理第18頁例4.設(shè)書上記號易混求解:

引入中間變量：記號鏈?zhǔn)椒▌t應(yīng)用偏微分方程變換求解目標(biāo)第19頁2）復(fù)合函數(shù)全微設(shè)深入，若

則有又：和一元函數(shù)一樣，二階全微分不再含有形式不變性。這一性質(zhì)稱為一階全微分形式不變性應(yīng)用：隱含數(shù)微分法第20頁3）隱函數(shù)（組）求導(dǎo)法（1）一個方程情形：上冊Ch4.§3=0情形：在一定條件下，由能夠確定隱含數(shù)y=f(x)且是可導(dǎo),求

前面求法：只有對詳細(xì)問體：現(xiàn)在利用偏導(dǎo)數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t，有（例，求）不能給出普通表示式，，若則第21頁推廣：由方程=0，確定隱含數(shù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，求

同理可得：

例7設(shè)解：由要求結(jié)果知確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在第22頁例8設(shè)

解法二（利用全微分公式）解法一：（2）方程組情形：設(shè)確定兩個隱含數(shù)求推導(dǎo)見：P205。求（假設(shè)存在）第23頁小結(jié)偏導(dǎo)與全微分概念復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分第24頁習(xí)題

1、求解法1:解法2:在點(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).第25頁2、設(shè)證:3、求偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解:求證第26頁4、計算近似值.

解:

設(shè),則取則第27頁5、解:第28頁1、利用公式求計算面積時絕對誤差與相對誤差.解：故絕對誤差約為又所以S相對誤差約為計算三角形面積.現(xiàn)測得附加題第29頁2、在直流電路中,

測得電壓U=24伏,解:由歐姆定律可知(歐)所以R

相對誤差約為0.3+0.5

R

絕對誤差約為0.8

0.3;定律計算電阻R

時產(chǎn)生相對誤差和絕對誤差.相對誤差為測得電流I=6安,相對誤差為0.5,=0.032(歐)=0.8

求用歐姆第30頁3.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

含有輪換對稱性

第31頁4、設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解問題中經(jīng)常碰到,第3