七 與三角形有關(guān)常用幾何模型（77題）-簡單數(shù)學(xué)之2022年中考二輪復(fù)習(xí)（解析版）（全國適用）

專題七與三角形有關(guān)常用幾何模型

一、角平分線模型

例題1如圖，ABC中，AC=BC,ZACB=90°,平分/8AC交8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作交AD

延長線于點(diǎn)E,F為A8的中點(diǎn)，連接CR交AQ于點(diǎn)G,連接8G.

(1)線段8E與線段有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(2)判斷，BEG的形狀，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)8EG是等腰直角三角形，見解析

【解析】

【分析】

(1)延長BE、AC交于點(diǎn)H,先證明絲得BE=HE=^BH,再證明A8cHz△AC￡>,得BH

=AO,則BE=gAD；

(2)先證明C/垂直平分AB,則AG=BG,再證明/C4B=NCBA=45。，則NGAB=/GBA=22.5。，于是

NEG8=/GA8+/G8A=45。，可證明MEG是等腰直角三角形.

【詳解】

證：(1)BE=^AD,理由如下：

如圖，延長8E、AC交于點(diǎn)”，

?：BE1.AD,

：.NAEB=NAEH=90°,

,.?AD平分N84C,

：.ZBAE=ZHAE,

在"AE和△HAE中,

ZAEB=ZAEH

<AE=AE,

NBAE=NHAE

：./\BAE^AHAE(ASA),

:?BE=HE=；BH,

?:ZACB=90°,

???NBCH=180。-ZACB=90°=NACO,

???ZCBH=90°-ZH=ZCAD,

在和△ACO中，

/BCH=NACD

BC=AC,

NCBH=/CAD

:./XBCH空AACD(ASA),

:?BH=AD,

：.BE=^AD,

(2)ABEG是等腰直角三角形，理由如下:

9

：AC=BCfAF=BF,

：.CF±AB,

:?AG=BG,

：.ZGAB=ZGBAt

VAC=BC,ZACB=90o,

???NCA3=NC8A=45。，

???ZGAB=yNCA8=22.5。，

AZGAB=ZGBA=22.5°,

:./EGB=NGAB+NG8A=45。，

NBEG=90。,

1/EBG=NEGB=45。,

：?EG=EB,

???△5EG是等腰直角三角形.

H

本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì),

并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵.

練習(xí)題

I.已知：AO是ABC的角平分線，且18c.

(1)如圖1,求證：AB=AC；

(2)如圖2,NABC=30。，點(diǎn)E在4?上，連接CE并延長交AB于點(diǎn)尸，BG交C4的延長線于點(diǎn)G,且

ZABG=ZACF,連接尸G.

①求證：ZAFG=ZAFC；

②若△心=2:3,且AG=2,求AC的長.

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②6.

【解析】

【分析】

(1)用ASA證明△AB￡%Z\AC￡>,即得A8=AC；

(2)①證明△84G絲AC鉆可得AG=AE,再用SAS證明△碼G絲△ME,即得Z4FG=NAW；

=

②過F作FK_LAG\K由^^ABG-2:3,可得S^CAE:S^ACf-=2:3,S5述支:5A/ICF=1：3,而

△心G9△E4E,故S*/：S△g.=1:3,即得AG:AC=1:3,根據(jù)AG=2,可求AC=6.

【詳解】

解：(1)證明：AQ是，ABC的角平分線，

/.ABAD=ACAD,

AD上BC,

.?.ZADB=ZADC.

在△ABO和△ACD中，

ZBAD=ZCAD

<AD=AD,

NADB=ZADC

ABD^ACD(ASA).

/.AB=AC；

(2)①AB=AC,ZABC=30°,ADA.BCf

N8AO=NC4O=60。，

/.ZBAG=60°=ZC4D,

在《BAG和VC鉆中，

ZBAG=ZCAE

<AB=AC,

ZABG=ZACE

「.△BAG也△C4E(ASA),

AG=AEf

在AEAG和二中，

AG=AE

<ZGAF=ZEAF,

AF=AF

.?.△E4Gg△M￡(5AS),

.\ZAFG=ZAFC；

②過/作尸KJ_AG于K,如圖：

A

由①知：△BAGgzlCAE,

?,?ACAE,°4ACF-4?J,

?'?S^FAE-S^ACF=1：3

由①知：ZXE4G/

?q?q

???！魇珹G,°A4CF=-I1Tt

.?.(gAG.雁):(；AC.FK)=1:3,

.*.AG:AC=1:3,

QAG=2,

JAC=6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識(shí).

2.在,ABC中，BE,CD為ABC的角平分線，BE,8交于點(diǎn)F.

(1)求證：ZBFC=90°+1zz4；

(2)已知ZA=60°.

①如圖1,若BD=4,8c=6.5,求CE的長；

②如圖2,若8/=47,求NAEB的大小.

BBC

圖1圖2

【答案】(1)證明見解析；(2)2.5：(3)100°.

【解析】

【分析】

(1)由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出ZraC+ZFCB=90O-；ZA的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出

N8”1的度數(shù)，

(2)在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD,構(gòu)造△BFGm.B㈤(SAS),再證明,FECwFGC(ASA),即可得BC=BD+CE,

由此求出答案：

(3)延長BA到P,使AP=FC,構(gòu)造△BFCw.CAP(SAS),得PC=BC,NP=NBCF=g/ACB,再由三角

形內(nèi)角和可求N4BC=4O°，448=80。，進(jìn)而可得ZAE8=180。-(ZABE+ZA)=100。.

【詳解】

解：(1)BE、C。分別是NA8C與ZACB的角平分線，

NFBC+ZFCB」(180。-ZA)=90。,

22

/BFC=180°-(ZFBC+4FCB)=180。一(90°--ZA),

2

ZBFC=90°+-ZA,

2

(2)如解(2)圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD,

由（1）得尸。=90。+（/4,

Zfi4C=60°,

二ZBFC=120°,

???ZBFD=ZEFC=180°-ZBFC=60°,

在“BbGLjZBFD中,

BF=BF

NFBG=ZFBD,

BD=BG

:?△BFGaBFD(SAS)

???ZBFD=/BFG,

:.NBFD=/BFG=(^,

???NCFG=120。一N8FG=60。，

:.ZCFG=ZCFE=(^°

在，F(xiàn)EC與AFGC中，

4CFE=4CFG

,CF=CF,

ZECF=ZGCF

FEC^FGC(ASA)t

；.CE=CG,

BC=BG+CG,

/.BC=BD+CE；

?：BD=4,BC=6.5,

??.CE=2.5

(3)如解(3)圖，延長BA到P,使AP=FC,

ZaAC=60°,

???ZPAC=180°-ABAC=120°,

在△25尸C與0C4P中,

BF=AC

<ZBFC=^CAP=\20°,

CF=PA

：./\BFC=CAP(SAS)

:,/P=/BCF,BC=PC,

:.NP=ZABC,

又NP=NBCF=-ZACB,

2

ZACB=2ZABC,

又ZACB+ZABC+ZA=180°,

二3ZABC+60°=180°,

/.ZABC=40°,ZACB=80°,

，NABE=」ZABC=20°,ZAEB=180°-(ZABE+ZA)=180°-(20°+60°)=100°

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，△4BC中，AB=AC,NR4C=90。，CO平分NACB,BELCD,垂足E在C￡>的延長線上.求證：

BE=|CD.

B

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分別延長BE、C4交于點(diǎn)凡首先結(jié)合題意推出從而得到然后證明項(xiàng)

四△CD4,得到8F=CZ),即可得出結(jié)論.

【詳解】

證明：分別延長BE、CA交于點(diǎn)尸，

■:BE人CD,

：.ZBEC=ZFEC=90°.

?.?CD平分NACB,

/.NFCE=NBCE.

在4CFE與ACBE中，

,:NBEC=NFEC,NFCE=NBCE,CE=CE,

/.△CFE^ACBE,

：.BE=EF=^BF.

在ACFE與ACAD中，

■:ZF+ZFCE=ZADC+ZACD=90°,

：.ZF=ZADC.

在ABFA與ACDA中，

'：ZF=ZADC,ZBAC=ZFAB,AB=AC,

：./\BFA^/\CDA,

：.BF=CD.

：.BE=^CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并

且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵.

4.在AABC中，A。為AABC的角平分線，點(diǎn)E是直線8c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE,若/E=48。,AE=AZ)=￡>C,則/A8C的度數(shù)為.

(2)如圖2,4048,點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

(3)連接AE,若ND4E=90。，ZBAC=24°,且滿足48+AC=EC,請求出NACB的度數(shù)(要求：畫圖,

【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC,見解析；(3)44?；?04。；詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等邊對等角，可得/￡=/4￡>￡,ZDAC=ZC,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NADE=2N91C=48。，

由此即可解題；

(2)在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB,構(gòu)造34??三4叱，根據(jù)PC即可得出答案；

(3)畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長線匕延長CA到G,使AG=AB,可

得GC=EC,可得/G=NGEC,設(shè)ZAC3=2x,則NG=NGEC=90°-x；根據(jù)NBAC=24。，AD^JhABC

的角平分線，可得NS4D=NO4C=12。，可證,AGEm.ABE(SAS),得出NABE=NG=9(F-x,利用還有

ZABE=240+2x,列方程90。一%=24。+2乂：當(dāng)點(diǎn)E在8。上時(shí)，NEADV90。,不成立；當(dāng)點(diǎn)E在C。上時(shí)，

ZEAD<90°,不成立;當(dāng)點(diǎn)E在延長線上,延長CA到G,使AG=AB,可得GC=EC,得出NG=NGEC,

設(shè)NACB=2r,則NG=NGEC=x；Z5AC=24°,根據(jù)A￡>為AHBC的角平分線，得出N/R4T>=N/MC=12。，

證明..,4GEm.A8E(SAS),得IIINABE=/G=x,利用三角形內(nèi)角和列方程％+24。+2%=180。，解方程即可.

【詳解】

解：（1）'：AE=AD=DC,

:.ZE=ZADE,NDAC=NC,

VZ￡=48°,ZADE=ZDAC+ZC,

：.ZADE=2ZDAC=48°,

AD^J^ABC的角平分線，即NB4C=2ND4C,

二ZBAC=48°；

??.ZABC=180°-48°-24°=108°

(2)如圖2,

在4c邊上取一點(diǎn)用使連接MP,

在和.AWP中，

AB=AM

<NBAP=NMAP,

AP=AP

：.^ABP^AMP(SAS),

:.BP=MP,

■:MP+MC>PC,MC^AC-AM.

：.AC—AB+BP>PC,

：.AC+BP>AB+PC；

(3)如圖，點(diǎn)E在射線C8延長線上，延長CA到G,使AG=A8,

u

\AB+AC=ECt

：.AG^AC=EC,B|JGC=￡C,

???ZG=ZGEC,

設(shè)NACB=2x,則NG=NG￡C=9()o—x；

又NBAC=24。，AD為△A3C的角平分線，

:.ZBAD=ZDAC=12°,

又???NDAE=90。，

JZBAE=90°-/BAD=78°,ZGAE=90°一ZDAC=78°，

：./BAE=/GAE,

在-AGE和八45七中,

AE=AE

<ZGAE=ZBAE,

AG=AB

：..AGEABE(SAS),

??.ZABE=ZG=90°-x,

又「ZABE=ZBAC+ZACB=24°+2x,

???90。-x=240+2x,

解得：x=22°,

???ZACB=2x=44°；

當(dāng)點(diǎn)E在。。上時(shí)，NEADV90。,不成立;

A

BDE

如圖，點(diǎn)石在3c延長線上，延長CA到G,使AG=A8,

?.?A8+AC=EC,

：.AG+AC=EC,即GC=EC,

???ZG=ZGEC,

設(shè)NAC3=2x,則NG=NGKC=x；

又???N8AC=24。，4。為aABC的角平分線，

:.ZBAD=ZDAC=12°,

又?:ZDAE=90°9

：.NB4石=X)。+/BAD=102°,ZGAE=90。+ADAC=102°,

:.ZBAE=ZGAE,

在eAGE和△ABE"」，

AE=AE

<ZGAE=ZBAE,

AG=AB

：.,AGE=...ABE(SAS),

???ZABE=NG=x,

.,.x+24°+2x=180°,

解得：x=52。，

二ZACB=2x=104°.

：.ZACB的度數(shù)為44。或104。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查r等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形

內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,是NBAC的角平分線，交5c于點(diǎn)。，過。作。E_L8A于點(diǎn)E,點(diǎn)尸

在4c上，且3￡>=￡>F.

(1)求證：AC=AE；

(2)若AB=7.4,AF=iA,求線段BE的長.

【答案】(D見解析；(2)3

【解析】

【分析】

(1)證明(AAS\即可得出結(jié)論；

(2)在A8上截取凡連接證△此。絲△MAO(SAS),得FD=MD,ZADF=ZADM,再證對△M￡)E

0R出BDE(HL),得ME=BE,求出用例=6,即可求解.

【詳解】

解：(1)證明：YAD平分NBAC,

:.ZDAC=ZDAE,

?：DE_LBA,

：.NDEA=/DEB=90。,

VZC=90°,

：.ZC=ZDEA=90°f

在小。。和AAEO中，

NC=NDEA

<ZDAC=ZDAEf

AD=AD

：,/\ACD^/\AED(A4S),

：.AC=AE；

(2)在AB上截取AM=AF,連接MD,

在△MD和△MA。中，

AF=AM

<ZDAF=ZDAM,

AD=AD

：.AFAD^/^MAD(SAS),

；.FD=MD,ZADF=ZADM,

?:BD=DF,

：.BD=MDt

在RiAMDE和Rt^BDE中，

\MD=BD

、DE=DE'

:?Rt&MDEmR小BDE(HL),

：?ME=BE,

9

：AF=AMf且AF=1.4,

：.AM=},4t

VAfi=7.4,

???MB=AB-AM=1A-IA=6,

：.BE=^BM=3,

即8E的長為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；證

明△曲。也△“/!￡)和是解題的關(guān)鍵.

6.(1)如圖1,射線0P平分/MON,在射線OM,ON上分別截取線段OA,OB,使OA=OB,在射線

OP上任取一點(diǎn)。，連接A。，BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在RoABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分乙4CB,求證：BC=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形ABOE中，AB=9,DE=\,BD=6,C為80邊中點(diǎn)，若AC平分NB4E,EC平分

^AED,/ACE=120。，求AE的值.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解：(3)AE=13

【解析】

【分析】

(1)由題意易得然后易證AA。。絲△8QD,進(jìn)而問題可求證；

(2)在8c上截取CE=CA,連接DE,由題意易得NACO=NECD,ZB=30°,則有“C。g△ECO,然后

可得乙4=NC￡￡>=60。，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/E￡>B=NB=30。，然后可得￡>E=BE,進(jìn)而問題可求證；

(3)在4E上分別截取AF=AB,EG=ED,連接CF、CG,同理(2)可證4CDE%ACGE,

則有NAC8=NACT,NDCE=NGCE,然后可得NACF+NGCE=60。，進(jìn)而可得△(7尸G是等邊三角形，最后

問題可求解.

【詳解】

證明：(1)：射線。尸平分NA/ON,

???ZAOD=ZBOD9

?：OD=OD,OA=OB,

：.^AOD^ABOD(SAS),

：.AD=BD.

(2)在8c上截取CE=CA,連接。E,如圖所示:

VZACB=90°,ZA=60°,CO平分NACB,

AZACD=ZECDfZB=30°,

?:CD=CD,

：.AACD^AECD(SAS),

AZA=ZCED=60°,AD=DE9

<NB+NEDB=NCED,

：.NEDB=NB=30。,

:.DE=BE,

：.AD=BEf

'：BC=CE+BE,

：.BC=AC+AD.

(3)在AE上分別截取A/M48=9,EG=ED=T,連接Cr、CG,如圖所示:

同理(1)(2)可得：△ABCgZXA尸C,ACDE^ACGE,

ZACB=ZACF,NDCE=NGCE,BC=CF,CD^CG,DE=GE=1,

???C為8。邊中點(diǎn)，

：.BC=CD=CF=CG=3,

VZAC￡=120°,

ZACB+ZDCE=60°,

：.NACF+NGCE=60。，

/.NFCG=60。,

...△CTG是等邊三角形，

：.FG=CF=CG=3,

：.AE=AF+FG+GE=9+3+1=13.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)

與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等.

7.已知：如圖，AC//BD,AE,8E分別平分NC4B和NAB。，點(diǎn)E在CO上.用等式表示線段48、AC、

8。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】AB=AC+BD,證明見詳解.

【解析】

【分析】

延長AE,交BD的延長線于點(diǎn)F,先證明AB=BF,進(jìn)而證明AACE/得至AC=DF,問題得證.

【詳解】

解：延長AE,交BD的延長線于點(diǎn)F,

AC//BD,

ZF=ZCAF,

：AE平分NC4B,

ZCAF=ZBAF,

,NF=NBAF,

，AB=BF,

,/BE平分ZABF,

：.AE=EF,

'：ZF=ZCAF,ZAEC=ZFED,

.,.△ACE^AFDE,

/.AC=DF,

AB=BF=BD+DF=BD+AC.

F

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造等腰三角形和

全等三角形是解題關(guān)鍵.

8.如圖，在.ABC中，AB=AC,ZA=100°,8。是ZA8C的平分線，延長8。至點(diǎn)E,OE=4),試求NEC4

的度數(shù).

A

【答案】40°

【解析】

【分析】

在BC上截取M=連接。尸，通過證明AARCRFBQ(SAS),可得NDFC=180。-ZA=80°,再通過證

明,DCE至DCF(SAS),即可求得ZECA=NDCB=40。

【詳解】

解：如圖，在BC上截取5/=鉆，連接。尸,

QBD是ZABC的平分線,

：.ZABD=Z.FBD,

在△AB￡＞和*/^?|」，

'AB=FB,

-ZABD=NFBD,

BD=BD,

.?.△ABD絲△FBD(SAS),

:.ZBFD=ZA,AD=DF,

，DE=DF,

/.ZDFC=1800-ZA=80°,

又ZABC=ZACB=40°,..”DC=60°,

NE￡)C=NA￡＞8=180。一NABO-NA=60。,

:.ZEDC=ZFDC,

在＜DCE和OCP中，

DE=DF,

?NEDC=NFDC,

DC=DC,

:./\DCE絲△3C5(SAS),

故NEC4=ZDC8=40°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-5,0）,8（0,5）,點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作d，8C交y軸于

點(diǎn)E.

（1）如圖①，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）,試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且（?C<5,其它條件不變，連接。O,求證：0。平分/ADC

（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N0CB=2Z/M0時(shí)，試探索線段A。、OC、OC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）（0,3）；（2）詳見解析；（3）AD=OC+CD

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)AAS判定AAOE空△BOC,得出OE=OC,再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）,得到OC=2=OE,進(jìn)

而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）先過點(diǎn)O作OM,AD于點(diǎn)M,作ONLBC于點(diǎn)N,根據(jù)AAOE絲△BOC,得到SAAOE=SABOC,AE=BC,

再根據(jù)OMLAE,ON1BC,得出OM=ON,進(jìn)而得到OD平分NADC；

（3）在DA上截取DP=DC,連接OP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得NPAO=30。，進(jìn)而得到NOCB=60。，

根據(jù)SAS判定AOPD四△OCD,得OC=OP,NOPD=/OCD=60。，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得PA=PO=OC,

故AD=PA+PD=OC+CD.

【詳解】

（1）如圖①，VAD1BC,BO1AO,

ZAOE=ZBDE,

XVZAEO=ZBED,

/.ZOAE=ZOBC,

VA（-5,0）,B（0,5）,

：.OA=OB=5,

.,.△AOE^ABOC,

.,.OE=OC,

又?.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）,

.?.OC=3=OE,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,3）；

（2）如圖②，過點(diǎn)O作OMLAD于點(diǎn)M,作ONJ_BC于點(diǎn)N,

VAAOE^ABOC,

.*.SAAOE=SABOC,且AE=BC,

VOM1AE,ON±BC,

AOM=ON,

???OD平分NADC；

(3)如所示，在DA上截取DP二DC,連接OP,

VZOCB=2ZDAO,ZADC=90°

AZPAO+ZOCD=90°,

00°9x90°

???ZDAC=—=30°,ZDCA=--------=60°

33

VZPDO=ZCDO,OD=OD,

AAOPD^AOCD,

AOC=OP,ZOPD=ZOCD=60°,

JZPOA=ZPAO=30°

JPA=PO=OC

???AD=PA+PD=OC+CD

即：AD=OC+CD.

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理以及等腰直角三角形

的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

10.四邊形43。中，DA=DC,連接80.

（1）如圖1,若8。平分ZABC,求證：ZA+ZC=180°.

（2）如圖2,若BD=BC,ZBAD=\50°,求證：ZDBC=2ZABD.

（3）如圖3,在（2）的條件下，作AEL8C于點(diǎn)E,連接OE,若8c=2,求OE的長度.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）0

【解析】

【分析】

（1）過點(diǎn)。分別作QFJ.8C于點(diǎn)/，附交54的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得田=田，

結(jié)合已知條件HL證明RtVDAE烏Rt/XDCF,繼而可得ZC=ZEAD,根據(jù)平角的定義以及等量代換即可證

明ABAD+NBCD=180°；

（2）過點(diǎn)。分別作。Fd.BC于點(diǎn)F,交54的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)6作BGLDC,根據(jù)含30度角

的直角三角形的性質(zhì)可得EQ=；A。，根據(jù)三線合一，可得。G=；DC,進(jìn)而可得￡>E=OG,根據(jù)角平分

線的判定定理可推出=NDBG=-NDBC,進(jìn)而即可證明NDBC=2ZABD；

2

（3）先證明四邊形DMEF是矩形,證明^MAD絲:.FCD,進(jìn)而證明四邊形ZW即是正方形，設(shè)=1,

根據(jù)（2）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理，求得&=15。，進(jìn)而求得“8C=30。，根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)，即可求得E尸，進(jìn)而在心所中，勾股定理即可求得OE的長.

【詳解】

（1）如圖，過點(diǎn)。分別作OFJ.BC于點(diǎn)尸，/）E_L54交84的延長線于點(diǎn)E，

3。平分NABC,

:.ED=FD

DA=DC,

在RtNDAE與Rt/\DCF中

JAD=DC

[ED=FD

..RtVDAERtZ\DCF(HL)

/.ZC=ZEAD

ZDAB+ZEAD=ZDAB+ZC=180°

即/BAD+ZBCD=180°

(2)如圖，過點(diǎn)。作交R4的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作BG_LDC,

BD=BC

/.DG=GC=-DC,/DBG=/CBG=-ZDBC

22

ZM￡>=150°,

ZEAD=180°-l50°=30°

:.ED=-AD

2

QDA=DC

:.ED=DG

EDLBE,DGLBG

；,ZEBD=/GBD

??.ZABD=-ZDBC

2

即=

(3)如圖，過點(diǎn)。分別作OFJ.8C于點(diǎn)F,交E4的延長線于點(diǎn)

.AELBC.DM1ME,DFtFE

???四邊形DWEb是矩形

:.ZMDF=90°

??.NMDA+ZADF=90°

DAIDC

:.ZADC=90°

:.ZADF+ZFDC=90°

/FDC=NMDA

在△MW與中

ZMDA=ZFDC

ZDMA=ZDFC

DA=DC

???AMAD”,FCD

:.DM=DF,ZMDA=ZFDC

???四邊形DMEF是正方形

DF=EF

設(shè)NABD=a

??.ZDBC=2ZABD=2a

BD=BC

BDC=/BCD=萬（180。-2a）=90-a

/.ZMDA=Z.FDC=90°-4BCD=a

NDAE=ZM+/MDA=90。+a

ZBAD=]50°

ZBAE=6O-a

在-84￡中

ZABE=90°-ZBAE=30°+?

Z.ABE=Z.ABD+Z.DBC=a+2a—3a

：.a=l5°

:.ZDBC=2a=30°

BD=2

.?.￡）尸」BO」x2=l

22

在用△￡>￡尸中，EF=DF=1

DE=yjEF2+DF2=0

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì),

勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、一線三等角模型

例題2⑴課本習(xí)題回放："如圖①，ZACB=90°,AC=BC,ADICE,BEVCE,垂足分別為。，E,

AO=2.5cm,￡>E=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：8E的長為.

(2)探索證明：如圖②，點(diǎn)8,C在NM4N的邊A"、AN上，AB=AC,點(diǎn)E,尸在NM4N內(nèi)部的射線

AO上，且NBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^ACAF.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在A4BC中，AB=AC,AB>BC.點(diǎn)。在邊BC上，CD=2BD,點(diǎn)E、尸在線

段A〃上，NBED=NCFD=NBAC.若AA8C的面積為15,則A4CF與兇￡)￡的面積之和為.(直

接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程)

【答案】(1)0.8cm；(2)見解析(3)5

【解析】

【分析】

(1)利用A4S定理證明△CEB?AAOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)由條件可得/8E4=/AFC,N4=/ABE,根據(jù)A4S可證明尸；

(3)先證明△ABE/4CAF,得到A4C/與兇￡>￡的面積之和為MB/)的面積，再根據(jù)CD=28D故可求解.

【詳解】

解：(1)-JBELCE,AD±CE,

：.ZE=ZADC=90°,

:.NEBC+NBCE=9Q。.

VZBCE+ZACD=90°,

：.NEBC=4DCA.

ZE=ZADC

在△CEB和AADC中，■NEBC=ZDCA

BC=AC

/.△CEB^AADC(A4S),

/.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

?:DC=CE-DE,DE=L7cm,

/.￡)C=2.5-1.7=0.8C/H,

:.BE=O.Scm

故答案為：0.8cm；

(2)證明：VZ1=Z2,

???/BEA=/AFC.

VZ1=ZABE+Z3,Z3+Z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

AZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,ZABE=Z4,AB=AC9

：./XABE^ACAF(AAS).

M

(3)ABED=ZCFD=ABAC

：.ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

又AB=AC

JAAB￡^AC4F,

???0qABE-_°qCAF

：.MCF與ABDE的面積之和等于MBE與ABDE的面積之和，即為△43。的面積,

?；CD=2BD,△ABO與ZkACO的高相同

則S^ABD=S&ABC=5

故MCF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

練習(xí)題

1.如圖，點(diǎn)尸，。分別是/ABC邊BA,上的點(diǎn)，且8￡>=4,ZABC=60°.連結(jié)PC,以PD為邊,在

PD的右側(cè)作等邊AOPE,連結(jié)BE,則的面積為（）

A.46B.2C.4D.66

【答案】A

【解析】

【分析】

要求ABDE的面積，想到過點(diǎn)E作即_L5C,垂足為尸，因?yàn)轭}目已知N/WC=60。，想到把NABC放在直

角三角形中，所以過點(diǎn)。作DG_LS4,垂足為G,利用勾股定理求出DG的長，最后證明AGPDnATOE即可

解答.

【詳解】

解：過點(diǎn)E作所，8C,垂足為F,過點(diǎn)。作DGLBA,垂足為G,

A

在心_BG￡＞中，BD=4,ZABC=60°,

.-.ZBDG=30°,

:.BG=-BD=2,

2

GD=dBD2-BG2=2x/3，

AP/犯是等邊三角形，

:.ZPDE=60°,PD=DE,

/LPDB+ZEDF=180°-NPDE=120°,

?,ZABC=60°,

ZPDB+ZBPD=180°-Z4BC=120°,

:.ZBPD=ZEDF,

NPGD=NDFE=90。,

:.\GPD^\FDE（AAS）,

:.GD=EF=2g，

的面積=：8￡>?EF,

=1x4x2>/3,

=4>/3，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添

加適當(dāng)?shù)妮o助線.

2.課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），ZACB=90°,AC=BC,從三

角板的刻度可知A8=20cm,小聰想知道砌墻磚塊的厚度（每塊磚的厚度相等），下面為砌墻磚塊厚度的平方

是（).

100

C.----crrr9D.—cm2

1313

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)每塊磚的厚度為猶m,則AD=3xcm,8E=2xcm,然后證明△ZMCgZXECB得至ljCD=8E=2xcm,再利用勾

股定理求解即可.

【詳解】

解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm,則A￡>=3xcm,BE=2xcm,

由題意得：ZACB=ZADC=ZBEC=90°f

???ZACD+ZDAC=ZACD+ZBCE=90°,

???/DAC=NECB,

又???AC=C8,

:?△DACQAECB(A4S),

/.CD=BE=2xcm,

VAC-^BC2=AB2,ADr+DC2=AC2

，2(3x)2+2(2x)2=202,

.2200

??x=石，

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定條件.

3.【問題解決】

(1)已知AABC中，A8=4C,D,A,E三點(diǎn)都在直線/上，且有NBD4=N4EC=/8AC.如圖①，當(dāng)NA4c=90。

時(shí)，線段OE,BD,CE的數(shù)量關(guān)系為：；

【類比探究】

(2)如圖②，在(1)的條件下，當(dāng)0。</54(7<180。時(shí)，線段。E,BD,CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，

請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖③，AC=BC,NAC8=90。，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,2),請求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】(1)DE=BD+CE；(2)OE=8/)+CE的數(shù)量關(guān)系不變，理由見解析；(3)(-4,3)

【解析】

【分析】

(1)證明AAB。絲△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=CE,BD=AE,結(jié)合圖形證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/ABO=NC4E,證明AABO也△CA￡,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

(3)過點(diǎn)4作41儀》軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)3作軸于點(diǎn)M根據(jù)(1)的結(jié)論得到△ACMZZXBCN,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

解：⑴VZBAC=90°,

：.ZBDA=ZAEC=ZBAC=90°,

：.ZABD+ZBAD=90°,/CAE+/84￡)=90°,

NABD=NCAE,

在“8。和△CAE中，

ZABD^ZCAE

■NADB=ZCE4,

BA=AC

/?/XABD^^CAE(A4S),

：.AD=CE,BD=AE,

:.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE；

（2）OE=3D+CE的數(shù)量關(guān)系不變，

理由如下：???N3AE是△48。的一個(gè)外角,

jNBAE=ZADB+ZABD,

?；NBDA=NBAC,

：.ZABD=ZCAEf

在AAB。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

<ZADB=ZCEA,

BA=AC

??.△ABD?△CAE（AAS）,

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

（3）過點(diǎn)A作AMJ_x軸于點(diǎn)例，過點(diǎn)B作用V_Lx軸于點(diǎn)N,

丁點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（1,2）,

AOC=2fON=1,BN=2,

：.CN=3t

由（1）可知，2ACM%ACBN,

???AM=CV=3,CM=BN=2,

：,OM=OC+CM=4,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,3）.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

4.(1)如圖1,在5c中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A,8。_1,直線，"，直線m,垂足

分別為點(diǎn)。、E.求證：AA8。會(huì)△CAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有N8D4

=/AEC=/BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)(。，A,E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)F

為/BAC平分線上的一點(diǎn)，月XABF和均為等邊三角形，連接8。，CE,若/3D4=/AEC=/BAC,

求證：△OEF是等邊三角形.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)直線"?，CEL直線加得4D4=NCE4=90。，而NB4C=90。，根據(jù)等角的余角相等得

ZCAE=ZABD,然后根據(jù)“A45”可判斷A4D的ACEA；

(2)利用NBD4=NR4C=a,則/DBA+/8A。=/BAD+/C4E=180。一a,得出NC4E=NAB￡),然后

問題可求證；

(3)由題意易得8廣=AF=48=AC,ZABF=ZBAF=ZE4C=60。，由(1)(2)易證A4力的ACE4,則有AE=BD,

然后可得NFBO=NE4E,進(jìn)而可證ADBF且AEAb,最后問題可得證.

【詳解】

(1)證明：直線m,CE_L直線加，

：.ZBDA=ZCEA=90°,

ABAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°.

NBAD+ZABD=90。,

ZCAE=ZABD,

?/在N\DB和ACEA中,

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

「.AAO蛇ACE4(A45)；

解：(2)成立，理由如下：

.NBDA=NBAC=a,

??.ZDfiA+N8AD=ZBAD+NC4E=180。一a,

.\ZCAE=ZABD,

在AA￡?和ACEA中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

.?.AADB^ACEA(AAS)；

(3)證明：???△AB/和"CE均為等邊三角形，

，BF=AF=AB=AC,ZABF=ZfiAF=ZE4C=60°,

JZBDA=ZAEC=ZBAC=120°,

ZD^+Z^4Z)=Z^4￡>+ZC4E=180o-120°,

:.ZCAE=ZABD,

：./\ADB^CEA(AAS),

:.AE=BD,

?.?NFBD=NFBA+ZABD,NFAE=NFAC+NCAE,

，/FBD=NFAE，

：.^DBF^^EAF(SAS),

二FD=FE,NBFD=ZAFE,

二NBFA=ZBFD+ZDFA=ZAFE+ZDFA=ZDFE=60°,

；.Z\DFE是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及

等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

5.已知"BC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、AO分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為。，E.

學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1,若A￡>=2.5a〃，DE=\.lcm,求BE的長；然

后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AABC的外部，BE、AO與直線CE的垂直關(guān)

系不變，如圖2,猜想A。、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【答案】BE的長為0.8c/n；DE=AD+BE.

【解析】

【分析】

如圖1,由“AAS'可證"COg△C8E,可得AQ=CE=2.5a〃，BE=CD,由線段的和差關(guān)系可求解;

如圖2,由“A4S'uJ■證</XCBE,可得AO=C￡BE=CD,即可求解.

【詳解】

解：如圖1,VZACB=ZBEC=ZADC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°=ZACD+ZCAD,

：.NBCE=/CAD,

ZBEC=ZADC

在△ACO和△C8E中，/BCE=NCAD,

BC=AC

：.AACD^ACBE（AAS）,

：.AD=CE=2.5cmfBE=CD,

?；DE=1.7cm,

：.BE=CI>=CE-DE=2.5-1.7=0.8cw,

JBE的長為0.8麗;

如圖2,DE=AD+BE,理由如下:

■:ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

???ZACD+ZBCE=90°=ZACD+ZCAD,

:,NBCE=/CAD,

/BEC=/ADC

在△4C￡>和△C8E中，<NBCE=/CAD,

BC=AC

：,AACD^ACBE（AAS）,

：.AD=CEfBE=CD,

：.DE=AD+BE,

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

6.感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：

如圖1,NB4D=NACB=NAa=90。，由Nl+N2+NB4D=180。，/2+/。+24互>=180。，可得//="；

BC

又因?yàn)锳C8=NA￡Q=90。，可得△ABC&D4E,進(jìn)而得到丁=______.我們把這個(gè)模型稱為“一線三

AC

等角”模型.

應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在.ABC中，M=AC=10,BC=\2,

點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NAP0=NB.

①求證：AABPSAPCD；

②當(dāng)點(diǎn)尸為BC中點(diǎn)時(shí)，求CO的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當(dāng)△AP3為等腰三角形時(shí)，請直接寫出BP的長.

AP|!

【答案】感知：（1）器；應(yīng)用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或:

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=NC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到NB4P=NCP。，即可求證；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可求解；

（3）分以=PD、AP=AD,D4=OP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

感知：（1）V^ABC^/^DAE,

.BCAC

??=，

AEDE

.BCAE

^~AC~~DE"

故答案為：

DE

應(yīng)用：（2）①???NAPC=N3+N34尸，ZAPC=ZAPD+ZCPD,NAPD=NB,

:?/BAP=/CPD,

\*AB=AC,

：.ZB=ZCf

：.△ABPSAPCD、

②BC=12,點(diǎn)、P為BC中點(diǎn),

：.BP=PC=6,

V△NBPsgCD,

.AB_BPPII10__6_

PCCD6CD

解得：CZ>3.6；

拓展：（3）當(dāng)以二P。時(shí)，bABP^APCD,

：.PC=AB=\Of

：.BP=BC-PC=12-i0=2；

當(dāng)AP=AD時(shí)，^ADP=ZAPDf

■:NAPD=NB=/C,

:"ADP=/C,不合題意，

：.AP^AD；

當(dāng)。A=O尸時(shí)，NDAP=NAPD=NB,

vzc=zc,

:.△BC'sXNCP、

?BCACnn12_10

ACCP10CP

解得：c尸=2?5，

2511

:.BP=BC-CP=12--,

33

綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，8P的長為2或日.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形相