2025年山東省棗莊市第十五中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

九年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)．每小題3分，共30分．1.在實(shí)數(shù)0，，，中，最小的數(shù)是（）A. B. C.0 D.2.《國(guó)語(yǔ)》有云：“夫美也者，上下、內(nèi)外、小大，遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美．”這是古人對(duì)于對(duì)稱美的一種定義．這種審美法則在生活中體現(xiàn)得淋漓盡致．下列航空公司的標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形的是（）A B. C. D.3.維生素在人體健康中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，從維持骨骼健康到調(diào)節(jié)免疫功能，再到預(yù)防多種疾病，維生素都扮演著不可或缺的角色．因此，合理補(bǔ)充維生素對(duì)于維護(hù)整體健康至關(guān)重要．據(jù)科學(xué)驗(yàn)證，成年人每天維生素的攝入量約為克，將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.已知一個(gè)幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.5.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A. B.C. D.6.下列計(jì)算正確的是（）A B.C. D.7.“過(guò)新年，掛新燈，家家戶戶樂(lè)融融”，掛燈籠是我國(guó)各地新年的一個(gè)傳統(tǒng)習(xí)俗．如圖，欣欣從三個(gè)燈籠中隨機(jī)選擇兩個(gè)掛在門(mén)口，則選擇和兩個(gè)燈籠的概率為（）A. B. C. D.8.要說(shuō)明命題“若，則”是假命題，能舉的一個(gè)反例是（）A.， B.， C.， D.，9.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．如圖，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積來(lái)近似估計(jì)的面積S，設(shè)的半徑為1，則的值為（）（）A.0.14 B.0.2 C.0.5 D.110.如圖，是的直徑，D是上的一點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求．11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線分別與軸，軸交于點(diǎn)A，B，且．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；②點(diǎn)D為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E反比例函數(shù)圖象上，若以點(diǎn)B，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）過(guò)定點(diǎn)P的直線交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于另一點(diǎn)Q，交y軸千點(diǎn)M，連接，設(shè)的面積為，的面積為，若，求m的值．12.如圖①，和都是等腰直角三角形，，當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)，我們很容易得到，不需證明．（1）如圖②，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接和，此時(shí)是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由；（2）如圖③，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，連接．若，，求線段的長(zhǎng)；（3）若為中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，最大值為，最小值為，則的值為_(kāi)_____．13.定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、若滿足，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，例如點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”．（1）若拋物線的頂點(diǎn)與點(diǎn)互為“4階點(diǎn)”，求的值；（2）對(duì)于動(dòng)點(diǎn)，若拋物線上只存在一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，求的值；（3）已知點(diǎn)、是拋物線上的兩點(diǎn)，且都與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，是拋物線的頂點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若與互為“階點(diǎn)”，求的最小值．14.【綜合與實(shí)踐】火車(chē)軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車(chē)的運(yùn)行安全．我國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過(guò)使用機(jī)械傳感器和無(wú)損檢測(cè)設(shè)備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來(lái)測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某?？苿?chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開(kāi)展了學(xué)習(xí)與探究：閱讀理解激光三角位移計(jì)是由半導(dǎo)體激光向目標(biāo)物照射激光，聚集目標(biāo)物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標(biāo)物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會(huì)改變，成像的位置也隨之改變．可以通過(guò)成像的位移來(lái)計(jì)算物體實(shí)際的移動(dòng)距離．發(fā)現(xiàn)原理被測(cè)量物體從初始位置移動(dòng)到最終位置，需要測(cè)量的是參考平面與目標(biāo)測(cè)量平面的距離，也就是圖中點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離．假設(shè)激光通過(guò)接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學(xué)成像設(shè)備上成像．建立模型如圖，直線直線直線，直線垂直于和，垂足分別為和，線段與線段交于點(diǎn)，線段與直線交于點(diǎn)，．解決問(wèn)題（1）作于點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)用含和的式子表示的長(zhǎng)度；（）若，，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：，，）15.甲、乙兩所學(xué)校組織志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì)選拔活動(dòng)，經(jīng)過(guò)初選，兩所學(xué)校各400名學(xué)生進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)．從兩校進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，）：b．甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)?cè)谶@一組的是：8080818282838384858686.587878888.589c．乙學(xué)校學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率83.3847846%根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）甲學(xué)校50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為_(kāi)____，優(yōu)秀率為_(kāi)____（85分及以上為優(yōu)秀）；（2）甲學(xué)校學(xué)生A，乙學(xué)校學(xué)生B的綜合素質(zhì)展示成績(jī)同為83分，這兩人在本校學(xué)生中的綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；（3）根據(jù)上述信息，推斷_____學(xué)校綜合素質(zhì)展示的水平更高，理由為_(kāi)____（至少?gòu)囊粋€(gè)角度說(shuō)明推斷的合理性）；（4）若每所學(xué)校綜合素質(zhì)展示的前120名學(xué)生將被選入志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì)，請(qǐng)預(yù)估甲學(xué)校學(xué)生分?jǐn)?shù)至少達(dá)到多少分才可以入選，并說(shuō)明理由．16.現(xiàn)定義對(duì)于一個(gè)數(shù)a，我們把稱為a的“鄰一數(shù)”；若，則；若，則．例如：，．下列說(shuō)法，其中正確結(jié)論有（）個(gè)①若，則；②當(dāng)，時(shí)，，那么代數(shù)式的值為4；③方程的解為或或；④若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．A0 B.1 C.2 D.3二、填空題（每小題3分，共18分）17.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是________．18.若關(guān)于的一元二次方程的兩根為，且，則的值是______．19.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以為邊在y軸右側(cè)作等邊，將點(diǎn)C向左平移，使其對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，則點(diǎn)C平移距離________．20.如圖，在矩形中，，將矩形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，且，則的面積為_(kāi)_____．21.如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為3，以頂點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則陰影部分的面積為_(kāi)_________．（結(jié)果保留π）22.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn),我們把點(diǎn)叫作點(diǎn)的“相伴點(diǎn)”．已知點(diǎn)的“相伴點(diǎn)”為,點(diǎn)的“相伴點(diǎn)”為,點(diǎn)的“相伴點(diǎn)”為,……,這樣依次得到點(diǎn),,,……,．若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．三、解答題（本題共8道大題，滿分72分）23.（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中24.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小慧同學(xué)利用直尺和圓規(guī)進(jìn)行了如下操作：如圖1，已知四邊形是平行四邊形，①連接，分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q；②作直線，分別交、、于點(diǎn)E、O、F，連接、．若，平分，，求四邊形的面積．同桌小明同學(xué)利用直尺和圓規(guī)進(jìn)行了如下操作：如圖2，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交和于點(diǎn)P，Q；分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線交邊于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)A，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線交邊于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)G．若，求的值．

九年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)．每小題3分，共30分．1.在實(shí)數(shù)0，，，中，最小的數(shù)是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)大小比較．實(shí)數(shù)大小比較的核心規(guī)則：正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)比較時(shí)，絕對(duì)值大的反而?。莆者@一規(guī)則是解題的關(guān)鍵．先將數(shù)分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)三類(lèi)：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；對(duì)于負(fù)數(shù)，通過(guò)比較絕對(duì)值大小判斷，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)反而小，依此規(guī)則比較0，的大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)“正數(shù)負(fù)數(shù)”，可知，且0大于，因此最小數(shù)在和中．，，故選：B．2.《國(guó)語(yǔ)》有云：“夫美也者，上下、內(nèi)外、小大，遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美．”這是古人對(duì)于對(duì)稱美的一種定義．這種審美法則在生活中體現(xiàn)得淋漓盡致．下列航空公司的標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故此選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，符合題意；B、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠不互相重合，故此選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故此選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故此選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：A．3.維生素在人體健康中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，從維持骨骼健康到調(diào)節(jié)免疫功能，再到預(yù)防多種疾病，維生素都扮演著不可或缺的角色．因此，合理補(bǔ)充維生素對(duì)于維護(hù)整體健康至關(guān)重要．據(jù)科學(xué)驗(yàn)證，成年人每天維生素的攝入量約為克，將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于時(shí)，是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于時(shí)，是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．4.已知一個(gè)幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中，看不見(jiàn)但存在的線用虛線表示．【詳解】解：從左面看，可得選項(xiàng)D的圖形．故選：D．5.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查求不等式組的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集，先求出不等式組的解集，定邊界，定方向，在數(shù)軸上表示出解集即可．【詳解】解：解，得：，在數(shù)軸上表示解集如圖：故選D．6.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則，同底數(shù)冪相除法則，積的乘方法則，完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類(lèi)項(xiàng)，不可以合并，故原計(jì)算錯(cuò)誤；B．，故原計(jì)算正確；C．，故原計(jì)算錯(cuò)誤；D．，故原計(jì)算錯(cuò)誤；故選：B．7.“過(guò)新年，掛新燈，家家戶戶樂(lè)融融”，掛燈籠是我國(guó)各地新年的一個(gè)傳統(tǒng)習(xí)俗．如圖，欣欣從三個(gè)燈籠中隨機(jī)選擇兩個(gè)掛在門(mén)口，則選擇和兩個(gè)燈籠的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中選擇和兩個(gè)燈籠的結(jié)果有兩種，再利用概率公式即可得出答案．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中選擇和兩個(gè)燈籠的結(jié)果有兩種，選擇和兩個(gè)燈籠的概率為，故選：B．8.要說(shuō)明命題“若，則”是假命題，能舉的一個(gè)反例是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則判斷即可．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，而，∴命題“若，則”是假命題，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的知識(shí)，任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．9.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．如圖，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積來(lái)近似估計(jì)的面積S，設(shè)的半徑為1，則的值為（）（）A.0.14 B.0.2 C.0.5 D.1【答案】A【解析】【分析】本題考查了正多邊形和圓，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵，根據(jù)圓的面積公式得到的面積，求得圓的內(nèi)接正十二邊形的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：的半徑為1，的面積，圓的內(nèi)接正十二邊形的中心角為，過(guò)點(diǎn)A作，如圖所示：，圓的內(nèi)接正十二邊形的面積，，故選：A．10.如圖，是的直徑，D是上的一點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)證明，即可解答；（2）過(guò)O作，垂足為F，先證明四邊形矩形，可得，再求得，可得，進(jìn)一步求出，再證明是等邊三角形，即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，∵，∵是等腰三角形，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)O作，垂足為F，四邊形中，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線分別與軸，軸交于點(diǎn)A，B，且．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；②點(diǎn)D為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E反比例函數(shù)圖象上，若以點(diǎn)B，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）過(guò)定點(diǎn)P的直線交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于另一點(diǎn)Q，交y軸千點(diǎn)M，連接，設(shè)的面積為，的面積為，若，求m的值．【答案】（1）①反比例函數(shù)的表達(dá)式為；②E點(diǎn)坐標(biāo)為或（2）m的值為或【解析】【分析】（1）過(guò)P作軸于點(diǎn)C，即，先求出，，即，，根據(jù)，可得，即：，可得，即，將代入反比例函數(shù)，可得反比例函數(shù)的表達(dá)式；②由①可得，，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E，P組成平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形中對(duì)角線相互平分，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即可得，即；當(dāng)點(diǎn)B，D，E，P組成平行四邊形時(shí)，同理有，可得，問(wèn)題得解；（2）根據(jù)直線，可得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為，①當(dāng)Q在線段上時(shí)，由，可得，即，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)L，證明，即有，則，進(jìn)而可得，將代入直線得；②當(dāng)Q在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，由，可得，即，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)L，同理可得，將代入直線得，問(wèn)題得解．【小問(wèn)1詳解】①過(guò)P作軸于點(diǎn)C，即，當(dāng)時(shí)，即，解得：，當(dāng)時(shí)，即，即，，∴，，根據(jù)，可得，即：，∵，∴，∴，，即：，即，將代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；②由①可得，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E，P組成平行四邊形時(shí)∵，∴，即，∴；當(dāng)點(diǎn)B，D，E，P組成平行四邊形時(shí)，∵，∴即，∴，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為或；【小問(wèn)2詳解】∵直線，即當(dāng)時(shí)，即，則過(guò)定點(diǎn)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，①如圖1，當(dāng)Q在線段上時(shí)，∵，∴，即，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)L，由P點(diǎn)坐標(biāo)為可得：，∴，∴，∴，即，則：，∴，將代入直線得；②如圖2，當(dāng)Q在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴，即，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)L，同理，∴，∴，∴，即，∴，將代入直線得，綜上所述m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)三角形的面積得出相應(yīng)邊的比，是解答本題的關(guān)鍵．解答時(shí)需注意分類(lèi)討論的思想．12.如圖①，和都是等腰直角三角形，，當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)，我們很容易得到，不需證明．（1）如圖②，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接和，此時(shí)是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由；（2）如圖③，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)恰好落在延長(zhǎng)線上，連接．若，，求線段的長(zhǎng)；（3）若為中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，最大值為，最小值為，則的值為_(kāi)_____．【答案】（1）依然成立，理由見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短、二次根式的計(jì)算等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）利用，證明，得．（2）證明，得，則，再利用勾股定理可得答案．（3）連接連接、，先根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求得，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，有最大和最小值，由圖可得的最大值為，最小值為，即．【小問(wèn)1詳解】解：依然成立，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：∵∴又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【小問(wèn)3詳解】解：如圖，連接、，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，有最大值和最小值，∴由圖可得的最大值為，最小值為，∴，故答案為：．13.定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、若滿足，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，例如點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”．（1）若拋物線的頂點(diǎn)與點(diǎn)互為“4階點(diǎn)”，求的值；（2）對(duì)于動(dòng)點(diǎn)，若拋物線上只存在一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，求的值；（3）已知點(diǎn)、是拋物線上的兩點(diǎn)，且都與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，是拋物線的頂點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若與互為“階點(diǎn)”，求的最小值．【答案】（1）（2）或（3）最小值為【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根的判別式，二次函數(shù)的最值，掌握新定義是解題的關(guān)鍵．（1）配方得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)“4階點(diǎn)”的定義解答即可；（2）設(shè)這一點(diǎn)為，根據(jù)“階點(diǎn)”的定義得到方程，然后根據(jù)根的判別式解題即可；（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則可得到，是方程的兩根，即，，然后求出M和N的坐標(biāo)，即可得到，根據(jù)t的取值范圍確定最值即可．【小問(wèn)1詳解】解：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵頂點(diǎn)與點(diǎn)互為“4階點(diǎn)”，∴，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)這一點(diǎn)為，根據(jù)“階點(diǎn)”的定義得：，整理得：，∵只存在一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，∴，解得：或；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)、都與點(diǎn)互為“階點(diǎn)”，∴，，整理得，，∴，是方程的兩根，∴，，又∵，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為，又∵是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵與互為“階點(diǎn)”，∴，整理得，代入得：，即，當(dāng)時(shí)，隨k的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．14.【綜合與實(shí)踐】火車(chē)軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車(chē)的運(yùn)行安全．我國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過(guò)使用機(jī)械傳感器和無(wú)損檢測(cè)設(shè)備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來(lái)測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某校科創(chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開(kāi)展了學(xué)習(xí)與探究：閱讀理解激光三角位移計(jì)是由半導(dǎo)體激光向目標(biāo)物照射激光，聚集目標(biāo)物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標(biāo)物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會(huì)改變，成像的位置也隨之改變．可以通過(guò)成像的位移來(lái)計(jì)算物體實(shí)際的移動(dòng)距離．發(fā)現(xiàn)原理被測(cè)量物體從初始位置移動(dòng)到最終位置，需要測(cè)量的是參考平面與目標(biāo)測(cè)量平面的距離，也就是圖中點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離．假設(shè)激光通過(guò)接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學(xué)成像設(shè)備上成像．建立模型如圖，直線直線直線，直線垂直于和，垂足分別為和，線段與線段交于點(diǎn)，線段與直線交于點(diǎn)，．解決問(wèn)題（1）作于點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)用含和的式子表示的長(zhǎng)度；（）若，，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，對(duì)頂角結(jié)合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可；（2）作，交于點(diǎn)，解直角三角形，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，∵，∴，∴，在中，；（2）作，交于點(diǎn)∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．15.甲、乙兩所學(xué)校組織志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì)選拔活動(dòng)，經(jīng)過(guò)初選，兩所學(xué)校各400名學(xué)生進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)．從兩校進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，）：b．甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)?cè)谶@一組的是：8080818282838384858686.587878888.589c．乙學(xué)校學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率83.3847846%根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）甲學(xué)校50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為_(kāi)____，優(yōu)秀率為_(kāi)____（85分及以上為優(yōu)秀）；（2）甲學(xué)校學(xué)生A，乙學(xué)校學(xué)生B的綜合素質(zhì)展示成績(jī)同為83分，這兩人在本校學(xué)生中的綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；（3）根據(jù)上述信息，推斷_____學(xué)校綜合素質(zhì)展示的水平更高，理由為_(kāi)____（至少?gòu)囊粋€(gè)角度說(shuō)明推斷的合理性）；（4）若每所學(xué)校綜合素質(zhì)展示的前120名學(xué)生將被選入志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì)，請(qǐng)預(yù)估甲學(xué)校學(xué)生分?jǐn)?shù)至少達(dá)到多少分才可以入選，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）A（3）乙校，乙校的中位數(shù)高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；（4）預(yù)估甲學(xué)校學(xué)生分?jǐn)?shù)至少達(dá)到88分才可以入選．【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)，數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，直方圖，樣本估計(jì)總體，熟練掌握中位數(shù)的定義，直方圖的意義，用樣本估計(jì)總體的思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；（2）發(fā)現(xiàn)A的成績(jī)?cè)谥形粩?shù)前，而讀表得出B的成績(jī)?cè)谥形痪€以下，以此判斷排名；（3）計(jì)算出甲校的中位數(shù)，優(yōu)秀率，比較回答即可；（4）先計(jì)算的人數(shù)為96人，不夠120人，要從分之間補(bǔ)充，設(shè)需要補(bǔ)充x個(gè)人，根據(jù)題意，得，解得x即可．【小問(wèn)1詳解】解：甲校共有50名學(xué)生，則中位數(shù)為第25位和第26位的平均成績(jī)由直方圖和題干數(shù)據(jù)得，第25位和第26位的成績(jī)?yōu)椋?1和82，∴中位數(shù)為：；優(yōu)秀率；故答案為：；；【小問(wèn)2詳解】解：∵A成績(jī)?yōu)?3分，高于中位數(shù)，則A排名在甲校為前半部分；∵B成績(jī)?yōu)?3分，低于乙校中位數(shù)84，則B排名在乙校為后半部分；故A的排名更靠前；故答案為：A；【小問(wèn)3詳解】解：乙校，理由如下：甲校的優(yōu)秀率為：，由（1）甲校的中位數(shù)是81.25分，乙校的中位數(shù)是84，優(yōu)秀率為46%，從中位數(shù)，優(yōu)秀率兩個(gè)方面比較看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案為：乙校，乙校的中位數(shù)高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；【小問(wèn)4詳解】解：根據(jù)題意，分的人數(shù)為為：人，不夠120人，要從分之間補(bǔ)充，設(shè)需要補(bǔ)充x個(gè)人，根據(jù)題意，得，解得，而這個(gè)3個(gè)數(shù)依次為89，88.5，88，至少要88分，答：預(yù)估甲學(xué)校學(xué)生分?jǐn)?shù)至少達(dá)到88分才可以入選．16.現(xiàn)定義對(duì)于一個(gè)數(shù)a，我們把稱為a的“鄰一數(shù)”；若，則；若，則．例如：，．下列說(shuō)法，其中正確結(jié)論有（）個(gè)①若，則；②當(dāng)，時(shí)，，那么代數(shù)式的值為4；③方程的解為或或；④若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】當(dāng)，時(shí)，根據(jù)“鄰一數(shù)”定義，可得，可判定①；當(dāng)，時(shí)，根據(jù)“鄰一數(shù)”定義，可得，代入計(jì)算即可判定②；當(dāng)時(shí)，可解得，當(dāng)時(shí)，可解得，當(dāng)時(shí)，解得，舍去，可判定③；根據(jù)“鄰一數(shù)”定義，得，畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求出x的取值范圍，即可判定④．【詳解】解：①當(dāng)，時(shí)，則，，∴，∴若，則錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，時(shí)，∵，∴，即，∴，故②正確；③∵，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，舍去；∴方程的解為或，故③錯(cuò)誤；④∵，其圖象為：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，故④正確．綜上，正確的有②④，共2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，代數(shù)式求值，解一元一次方程，利用函數(shù)圖象求不等式解集．理解并運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）17.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)既在根號(hào)下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范圍即可．【詳解】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得：．故答案為：．18.若關(guān)于的一元二次方程的兩根為，且，則的值是______．【答案】8【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，，，，，．故答案為：．19.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以為邊在y軸右側(cè)作等邊，將點(diǎn)C向左平移，使其對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，則點(diǎn)C平移的距離________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形變化，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，求出垂線的長(zhǎng)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到的橫坐標(biāo)，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，將代入得，，，是等邊三角形，，．，則，．將代入，解得，故的橫坐標(biāo)為，則，，故答案為：．20.如圖，在矩形中，，將矩形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，且，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．由旋轉(zhuǎn)可得，，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得則，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵四邊形為矩形，，，，，，∴的面積為．故答案為：．21.如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為3，以頂點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則陰影部分的面積為_(kāi)_________．（結(jié)果保留π）【答案】π【解析】【分析】本題考查正多邊形和