七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)輔導(dǎo)講義人教版

新人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)輔導(dǎo)講義

第1講及有理數(shù)有關(guān)的概念

考點(diǎn)-方法?破譯

1.了解負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過程，能夠用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

2.會(huì)進(jìn)行有理的分類，體會(huì)并運(yùn)用數(shù)學(xué)中的分類思想.

3.理解數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義.會(huì)用數(shù)軸比較兩個(gè)有

理數(shù)的大小，會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù).

經(jīng)典?考題?賞析

【例1］寫出下列各語(yǔ)句的實(shí)際意義⑴向前一7米⑵收人一50元

⑶體重增加一3千克

【解法指導(dǎo)】用正、負(fù)數(shù)表示實(shí)際問題中具有相反意義的量.而相反

意義的量應(yīng)該包合兩個(gè)要素：一是它們的意義相反.二是它們具有數(shù)

量.而且必須是同類兩，如“向前及自后、收入及支出、增加及減少

等等”

解：⑴向前一7米表示向后7米⑵收入一50元表示支出50元⑶體重

增加一3千克表示體重減小3千克.

【變式題組】

01.如果+10%表示增加10%,則減少8%可以記作（）

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.（金華）如果+3噸表示運(yùn)入倉(cāng)庫(kù)的大米噸數(shù)，則運(yùn)出5噸大米

表示為（）

A.-5噸B.+5噸C.-3噸D.+3噸

03.（山西）北京及紐約的時(shí)差一13（負(fù)號(hào)表示同一時(shí)刻紐約時(shí)間比

北京晚）.如現(xiàn)在是北京時(shí)間15：00,紐約時(shí)問是

22

【例2】在一萬(wàn)，二，0,0.0333這四個(gè)數(shù)中有理數(shù)的個(gè)數(shù)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（正塞

正有理數(shù)（

［正左

【解法指導(dǎo)】有理數(shù)的分類:⑴按正負(fù)性分類,有理數(shù)0

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)《

負(fù)份數(shù)

（2）按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類，有理數(shù)〔負(fù)整數(shù)；其中分?jǐn)?shù)包括有限小

八她正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)<“八皿

負(fù)分?jǐn)?shù)

數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，因?yàn)椤?3.1415926…是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它不

99

能寫成分?jǐn)?shù)的形式，所以勿不是有理數(shù)，一了是分?jǐn)?shù)，0.0333是無(wú)

限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)形式，0是整數(shù)，所以都是有理數(shù)，故選C

【變式題組】

411?

01.在7,0,15,-301,31.25,100,1,-3001中，

Zo

負(fù)分?jǐn)?shù)為，整數(shù)為，正整

數(shù),

19

02.（河北秦皇島）請(qǐng)把下列各數(shù)填入圖中適當(dāng)位置15,,

915

—,0.1,—5.32,123,2.333

O

【例3】（寧夏）有一列數(shù)為一1,[—1]—]…，找規(guī)律

23456

到第2007個(gè)數(shù)是1.【解法指導(dǎo)】從一系列的數(shù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首

先找出不變量和變量，再依變量去發(fā)現(xiàn)規(guī)律.歸納去猜想，然后進(jìn)行|“2|5

驗(yàn)證.解本題會(huì)有這樣的規(guī)律：⑴各數(shù)的分子部是1；⑵各數(shù)的分母|；、保

依次為1,2,3,4,5,6,…⑶處于奇數(shù)位置的數(shù)是負(fù)數(shù)，處于偶

數(shù)位置的數(shù)是正數(shù)，所以第2007個(gè)數(shù)的分子也是1.分母是2007,

并且是一個(gè)負(fù)數(shù)，故答案為—一.

【變式題組】

01（湖北宜昌）數(shù)學(xué)解密：第一個(gè)數(shù)是3=2+1,第二個(gè)數(shù)是5=3+

2,第三個(gè)數(shù)是9=5+4,第四個(gè)數(shù)是17=9+8…觀察并猜想第六

個(gè)數(shù)是.

02.（畢節(jié)）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)明了一種“馨折形”填數(shù)法，如圖則？

填—.

03.（茂名）有一組數(shù)1,2,5,10,17,26…請(qǐng)觀察規(guī)律，則第8

個(gè)數(shù)為_____.

【例4】（2008年河北張家口）若1+弓的相反數(shù)是一3,則力的相反

乙

數(shù)是—.

【解法指導(dǎo)】理解相反數(shù)的代數(shù)意義和幾何意義，代數(shù)意義只有符號(hào)

不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù).幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁且

0

離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫互為相反數(shù)，本題日

乙

=2,勿=4,則"的相反數(shù)一4。

【變式題組】

01.（四川宜賓）一5的相反數(shù)是（）

11

A.5B.~C.—5D.—~

55

02.已知a及8互為相反數(shù)，c及d互為倒數(shù)，則a+8+cd=

03.如圖為一個(gè)正方體紙盒的展開圖，若在其中的三個(gè)正方形力、B、

C內(nèi)分別填人適當(dāng)?shù)?/p>

數(shù)，使得它們折成正方體.若相對(duì)的面上的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則填

入正方形/、B、。內(nèi)的

三個(gè)數(shù)依次為（）

A.-1,2,0B.0,—2,1C.—2,0,1D.2,

1,0

【例5】（湖北）a、8為有理數(shù)，且a>0,b<Q,\b\>a,則a"、

—a,—8的大小順序是（）

A.b<.~a<.a<.—bB.-a<.b<.a<—b

C.-b<a<—a<.bD.-a<a<.—b<b

【解法指導(dǎo)】理解絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表

>0）

示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即|a1,用式子表示為|a|=O（a=O）.本題注

一。（〃<0）

意數(shù)形結(jié)合思想，畫一條數(shù)軸；:1:-V標(biāo)出a、6,依相反

數(shù)的意義標(biāo)出一6,~a,故選A.

【變式題組】

01.推理①若a=b,則Ia|=I引；②若Ia|=I引，則a=b；③若a不b,

則|a|W|6]；④若

\a\#|b\,則其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

IaIIbI]]]

02.a、8、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則」+—+c0?

ab

c\_

C-------,

2h「

03.a、b、c為不等于。的有理數(shù)，則可+%+□的值可能是.

刁+b

【例6】（江西課改）已知|a-4|+|隅8]=0,則r的值.

ab

【解法指導(dǎo)】本題主要考查絕對(duì)值概念的運(yùn)用，因?yàn)槿魏斡欣頂?shù)a的

絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即月所以|a-4|40,|6—8120.而兩個(gè)

非負(fù)數(shù)之和為0,則兩數(shù)均為0.

解：因?yàn)閨a—4|20,b—8|20,又|a—4|+|Z?—8|=0,/.|a

a+812

—41=0,|Z?—81=0即a—4=0,Z7—8=0,a=4,8=8.故--="=

ab3z

3

8

【變式題組】

01.已知|a|=l,|b\=2,|c|=3,且a>8>c,求a+6+C.

02.（畢節(jié)）若1加一3|+|〃+2|=0,則7+2〃的值為（）

A.-4B.-1C.0D.4

03.已知|司=8,|引=2,且|a一方|=汁一口,求a和6的值

【例7】（第18屆迎春杯）已知（zz?+z?）2+|m\=m,且12m—n—21=列求

mn的值.

【解法指導(dǎo)】本例的關(guān)鍵是通過分析（加+〃）2+1引的符號(hào)，挖掘出m

的符號(hào)特征，從而把問題轉(zhuǎn)化為（勿+〃）2=0,12加一〃一2|=0,找到解

題途徑.

解:\,（勿+〃）2三0,\m\^O（/zz+z?）2+\m\^0,而（勿+〃）2+|加|

=m

勿20,J（勿+〃）？+勿=勿，即（勿+/?尸=0

：.m+n=O①又:|2/一〃一2|=0，2/一〃一2=0

②

224

由①②得明=『n=~~,Jmn=~-

ooy

【變式題組】

01.已知（a+6）2+|6+51=6+5且12a—6-11=0,求a—6.

02.（第16屆迎春杯）已知p=|x—a|+|x+19]+|x—a—96|,如

果19<a<96.aWxW96,求y的最大值.

演練鞏固-反饋提高

01.觀察下列有規(guī)律的數(shù)白,白,白,―7,,根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)

2012203042

數(shù)是（）

,X.XXnJ_

5672r90110

02.（蕪湖）一6的絕對(duì)值是（

11

A.6B.-6C.~D.一~

66

03.在一7,7,8.0.3四個(gè)數(shù)中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

04.若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)為a+8,則這個(gè)數(shù)是（）

A.a—bB.b—aC.~a-\-bD.-a—b

05.數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩點(diǎn)之間距離是6,這兩個(gè)數(shù)是（）

A.0和6B.0和一6C.3和一3D.0和3

06.若一a不是負(fù)數(shù)，則/（）

A.是正數(shù)B.不是負(fù)數(shù)C.是負(fù)數(shù)D.不是

正數(shù)

07.下列結(jié)論中，正確的是（）①若a=6,則|司=1引②若a=

~b,則\a\=I引③若|a\

=\b\,則a=—6④若I=I引，則a=6

A.①②B.③④C.①④D.②③

08.有理數(shù)a、8在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a、b,—a,

引的大小關(guān)系正確

A.\b\>a>—a>bB.\b\>b>a'>

—a

C.a>Ib\>b>—aD.a>\b\>—a>b

09.一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位后，得

0ab

到它的相反數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則這個(gè)數(shù)是.

10.已知|x+2|+|p+2|=0,則燈=___.

11.a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，求5+々+々旦+北

ababcc

12.若三個(gè)不相等的有理數(shù)可以表示為1、a、a+8也可以表示成0、

b

b、一的形式，試求a、8的值.

a

13.已知|H|=4,|b\=5,c|=6,且a>5>c,求a+6—c.

14.1a1具有非負(fù)性，也有最小值為0,試討論：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，

x—l|+|x—3］有沒有最小值，如果有，求出最小值；如果沒有，說

明理由.

15.點(diǎn)/、夕在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,A,夕兩點(diǎn)之間的距離表示

為|/夕|.當(dāng)/、夕兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)力在原點(diǎn)，如圖

1,|<夕|=|陽(yáng)=|引=|a—引當(dāng)力、夕兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)有以下三種

情況:①如圖2,點(diǎn)4、夕都在原點(diǎn)的右邊|朋=|如一|以|=|引一

\a\=b-a=\a-b\；②如圖3,點(diǎn)力、夕都在原點(diǎn)的左邊，|/夕|=|陽(yáng)

—\OA\=\b\—\a\=—b~(—a)=a—b\；③如圖4,點(diǎn)/、B在原

點(diǎn)的兩邊，AB\=|OB\—\OA\=\b\—\a\=—b~(—a)=|a—b\；

綜上，數(shù)軸上/、夕兩點(diǎn)之間的距離1/夕1=Ia—引.

回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和

—5的兩點(diǎn)之間的距離是，，數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間

的距離是⑵數(shù)軸上表示X和一1的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)力和B,則4

6之間的距離是,如果|/夕|=2,則萬(wàn)=；

⑶當(dāng)代數(shù)式|x+l|+|x—2］取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是

培優(yōu)升級(jí)-奧賽檢測(cè)

01.（重慶市競(jìng)賽題）在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為19991的線段，則此

線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1998B.1999C.2000D.2001

02.（第18屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）在數(shù)軸上和有理數(shù)a、b、c對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)的位置如圖所示,有下列四個(gè)結(jié)論：①aScVO;②|a—引+|6—c|

=\a~c\；③（a—Z?）（b—c）（＜?—a）＞0；—be.其中正確

的結(jié)論有（）

A.4個(gè)4.3個(gè)C.2個(gè)〃1個(gè)

ab0

03.如果a、b、c是非零有理數(shù)，且a+8+c=0.則!

ab\c\

~募：的所有可能的值為（）

A.-1B.1或一1C.2或一2D.0

或一2

04.已知國(guó)=—勿，化簡(jiǎn)|加一1I一1加一21所得結(jié)果（）

A.-1B.1C.21n-3D.3-2m

05.如果0＜夕＜15,則代數(shù)式|五一夕|+|X—151+|x一0一151在0

W15的最小值（）

A.30B.0C.15D.一個(gè)及p有關(guān)的代

數(shù)式

06.降+1|十|才一2|十|才一3|的最小值為.

07.若a>0,b<0,使|x—a|+|入一引=a—6成立的x取值范

圍.

08.(武漢市選拔賽試題)非零整數(shù)勿、〃滿足㈤+R—5=0所有

這樣的整數(shù)組(勿，〃)共有組

心“工―、》l'177\p\?,2mnp

09.右非零有理數(shù)力、n、p胸足---+---+---=1.則二----r

mnp|5mnp\

10.(19屆希望杯試題)試求|x-l]+|x—2|+|x—3|~\--一

1997|的最小值.

11.已知(|x+l|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+11)

=36,求x+2p+3z的最大值和最小值.

12.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)左，第一步從左向左跳1個(gè)單位得

人,第二步由左向右跳2

個(gè)單位到k2,第三步由左向左跳3個(gè)單位到k3,第四步由左向右跳4

個(gè)單位到用…按以上規(guī)

律跳100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)左。。新表示的數(shù)恰好19.94,

試求去所表示的數(shù).

13.某城鎮(zhèn)，沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)，它們順次有電腦15

臺(tái)、7臺(tái)、11臺(tái)、3臺(tái)，14臺(tái)，為使各學(xué)校里電腦數(shù)相同，允許一些

小學(xué)向相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最小？

并求出調(diào)出電腦的最少總臺(tái)數(shù).

第02講有理數(shù)的加減法

考點(diǎn)?方法?破譯

1.理解有理數(shù)加法法則，了解有理數(shù)加法的實(shí)際意義.

2.準(zhǔn)確運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)

的加法運(yùn)算.

3.理解有理數(shù)減法及加法的轉(zhuǎn)換關(guān)系，會(huì)用有理數(shù)減法解決生活中

的實(shí)際問題.

4.會(huì)把加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，并能準(zhǔn)確求和.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】（河北唐山）某天股票/開盤價(jià)18元，上午11:30跌了1.5

元，下午收盤時(shí)又漲了0.3元，則股票/這天的收盤價(jià)為（）

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

【解法指導(dǎo)】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法運(yùn)算時(shí)，首先將具有相

反意義的量確定一個(gè)為正，另一個(gè)為負(fù)，其次在計(jì)算時(shí)正確選擇加法

法則，是同號(hào)相加，取相同符號(hào)并用絕對(duì)值相加，是異號(hào)相加，取絕

對(duì)值較大符號(hào)，并用較大絕對(duì)值減去較小絕對(duì)值.解：18+（-1.5）

+（0.3）=16.8,故選C.

【變式題組】

01.今年陜西省元月份某一天的天氣預(yù)報(bào)中，延安市最低氣溫為一6℃,

西安市最低氣溫2℃,這一天延安市的最低氣溫比西安低（）

A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃

02.（河南）飛機(jī)的高度為2400米，上升250米，又下降了327米,

這是飛機(jī)的高度為

03.(浙江)珠穆朗瑪峰海拔8848勿，吐魯番海拔高度為一155勿，則

它們的平均海拔高度為

【例2]計(jì)算(一83)+(+26)+(-17)+(—26)+(+15)

【解法指導(dǎo)】應(yīng)用加法運(yùn)算簡(jiǎn)化運(yùn)算，一83及一17相加可得整百的

數(shù),+26及一26互為相反數(shù)，相加為0,有理數(shù)加法常見技巧有：

⑴互為相反數(shù)結(jié)合一起；⑵相加得整數(shù)結(jié)合一起；⑶同分母的分?jǐn)?shù)或

容易通分的分?jǐn)?shù)結(jié)合一起；⑷相同符號(hào)的數(shù)結(jié)合一起.

解：(—83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(—

83)+(-17)]+[(+26)+(—26)]+15=(-100)+15=-

85

【變式題組】

01.(-2.5)+(-3-)+(-1-)+(-1-)

244

02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(—1.06)

117

03.0.125+3-+(-3-)+11-+(-0.25)

483

……、，

3—1+—1+—1++

1x22x33x42008x2009

【解法指導(dǎo)】依‘丁=4--三進(jìn)行裂項(xiàng)，然后鄰項(xiàng)相消進(jìn)

n(n+l)nn+1

行化簡(jiǎn)求和.

11

角軍：原式=(i_5)+(5_?+(3_/++(---------------)

20082009

【變式題組】

01.計(jì)算1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100)

02.如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為工的長(zhǎng)方形，

2

接著把面積為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為L(zhǎng)的正方形，再把面積為

24

L的正方形等分成兩個(gè)面積為工的長(zhǎng)方形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D

48

形揭示的規(guī)律計(jì)算,+工+工+工+上+工+工+!=.

248163264128256-----------------

【例4】如果a<0,b>0,a+b<0,則下列關(guān)系中正確的是()

A.a>b>—b>—aB.a>一a>5>—bC.力>a>—b>—a

D.—a>b>—b>a

【解法指導(dǎo)】緊扣有理數(shù)加法法則，由兩加數(shù)及其和的符號(hào)，確定兩

加數(shù)的絕對(duì)值的大小，然后根據(jù)相反數(shù)的關(guān)系將它們?cè)谕粩?shù)軸上表

示出來(lái)，即可得出結(jié)論.

解：b>0,幺8是異號(hào)兩數(shù)之和又:.a、8中

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大，Ia|>|b|將a、b、-a、一8表示在同一

數(shù)軸上，如圖，則它們的大小關(guān)系是一a>8>—8>a

bob

【變式題組】-

01.若m>0,n<0,且|勿|||,則m-\-n0.（填>、

〈號(hào)）

02.若m<0,n>0,且|勿|||,則m+n0.（填>、

〈號(hào))

03.已知a<0,b>0,c<0,且|c|>|8|>|a|,試比較a、b、

c、a+b、a'Ac的大小

【例5】4劣一(—33—)—(—1.6)—(—21—)

51111

【解法指導(dǎo)】有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟：⑴依有理數(shù)的減法法則，把減

號(hào)變?yōu)榧犹?hào)，并把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)；⑵利用有理數(shù)的加法法則進(jìn)

行運(yùn)算.

解：4--(-33—)-(-1.6)-(-21-)=4-+33—+1.6

51111511

+21—

11

=4.4+1.6+(33-+21-)=6+55=61

1111

【變式題組】

01.j)-(+1-)

31

02.4--(+3.85)-(-3-)+(-3.15)

44

9io

03.178-87.21-(-43—)+153—-12.79

2121

【例6】試看下面一列數(shù)：25、23、21、19…⑴觀察這列數(shù)，猜想第

10個(gè)數(shù)是多少？第〃個(gè)數(shù)是多少？⑵這列數(shù)中有多少個(gè)數(shù)是正數(shù)？

從第幾個(gè)數(shù)開始是負(fù)數(shù)？⑶求這列數(shù)中所有正數(shù)的和.

【解法指導(dǎo)】尋找一系列數(shù)的規(guī)律，應(yīng)該從特殊到一般，找到前面幾

個(gè)數(shù)的規(guī)律，通過觀察推理、猜想出第〃個(gè)數(shù)的規(guī)律，再用其它的數(shù)

來(lái)驗(yàn)證.

解：⑴第10個(gè)數(shù)為7,第〃個(gè)數(shù)為25—25—1)

⑵?."=13時(shí)，25-2(13-1)=1,刀=14時(shí)，25—2(14—1)=—1故

這列數(shù)有13個(gè)數(shù)為正數(shù)，從第14個(gè)數(shù)開始就是負(fù)數(shù).

⑶這列數(shù)中的正數(shù)為25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=

(25+1)+(23+3)H---P(15+11)+13=26X6+13=169

【變式題組】

01.(杭州)觀察下列等式1—▲=2—工=§,3—』=0，4—3

2255101017

=株…依你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題.⑴寫出第5個(gè)等式；⑵第

10個(gè)等式右邊的分?jǐn)?shù)的分子及分母的和是多少？

02.觀察下列等式的規(guī)律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=

20⑴用關(guān)于n(77^1的自然數(shù))的等式表示這個(gè)規(guī)律；⑵當(dāng)這個(gè)

等式的右邊等于2008時(shí)求n.

【例7】(第十屆希望杯競(jìng)賽試題)求!十(工+2)+(1+^+2)

233444

+(?1+〉+*+，..+)+[)

【解法指導(dǎo)】觀察式中數(shù)的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：若括號(hào)內(nèi)在加上相同的數(shù)均可

合并成1,由此我們采取將原式倒序后及原式相加，這樣極大簡(jiǎn)化計(jì)

算了.

解:設(shè)S4+(>*+(/>()+-+*+-+???

則有s=；+（…+嗡+||+…

+]+3)

將原式的和倒序再相加得

25=-+-+(-+-+-++-+-+-+-+…

223333444444

+（工+工+…+竺+竺+竺+生+…+工+工）

5050505050505050

即25=l+2+3+4H---P49=49x(49+1)=12255=

22

【變式題組】

01.計(jì)算2-22-23-24-25-26-27-28-29+210

。2.（第8屆希望杯試題）計(jì)算

1擊)4+:+；+…+擊)

3

演練鞏固-反饋提高

01.勿是有理數(shù)，則勿十|勿|)

A.可能是負(fù)數(shù)B.不可能是負(fù)數(shù)

C.必是正數(shù)D.可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)

02.如果如|=3,|b\=2,則瓜+引為（）

A.5B.1C.1或5D.±1或±5

03.在1,-1,—2這三個(gè)數(shù)中，任意兩數(shù)之和的最大值是（）

A.1B.0C.11D.-3

04.兩個(gè)有理數(shù)的和是正數(shù)，下面說法中正確的是（)

A.兩數(shù)一定都是正數(shù)B.兩數(shù)都不為0

U至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)D.至少有一個(gè)為正數(shù)

05.下列等式一定成立的是（）

A.1引一x=0B.—x-x=0C.LY|+|—x=0

D.|—|=0

06.一天早晨的氣溫是一6℃,中午又上升了10℃,午間又下降了8℃,

則午夜氣溫是（）

A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃

07.若a<。，貝（J|a—（—a）|等于（）

A.—aB.0C.2aD.12a

08.設(shè)x是不等于0的有理數(shù)，則莊四1值為)

2x

40或1夕.0或2C.0或一1D.0或一2

09.（濟(jì)南）2+（—2）的值為

10.用含絕對(duì)值的式子表示下列各式：⑴若a<0,b>0,則b—a

，a—b=(2)若a>Z?>0,貝！引=

⑶若a<Z?<0,貝！ja—b=

11.計(jì)算下列各題：

⑴23+(—27)+9+5(2)-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25

⑶一0.5—3,+2.75—(4)33.1-10.7-(—22.9)-|-

42

12.計(jì)算1—3+5—7+9—11H---P97-99

13.某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，規(guī)定前進(jìn)為正，后退為負(fù),

某天從力地出發(fā)到收工時(shí)所走的路線（單位：千米）為：+10,-3,

+4,—2,—8,+13,—7,+12,+7,+5⑴問收工時(shí)距昌/地多

遠(yuǎn)？⑵若每千米耗油0.2千克，問從力地出發(fā)到收工時(shí)共耗油多少千

克？

14.將1997減去它的工，再減去余下的L再減去余下的工，再減去

234

余下的:……以此類推，直到最后減去余下的高，最后的得數(shù)是多

少？

15.獨(dú)特的埃及分?jǐn)?shù)：埃及同中國(guó)一樣，也是世界著名的文明古國(guó),

古代埃及人處理分?jǐn)?shù)及眾不同，他們一般只使用分子為1的分?jǐn)?shù)，例

如」+工來(lái)表示工用工+工+J_表示3等等.現(xiàn)有90個(gè)埃及分?jǐn)?shù)：L

3155472872

LLL…工，工，你能從中挑出10個(gè)，加上正、負(fù)號(hào)，使它

3459091

們的和等于一1嗎？

培優(yōu)升級(jí)-奧賽檢測(cè)

1-2+3-4+.-14+15

01.（第16屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）等于)

—2+4—6+8—+28-30

B.

474

02.自然數(shù)a、b、c、"滿足:+:十:+，=1,則:+:+。+

，等于（）

4I氏：

03.（第17屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）a、b、c、"是互不相等的正整數(shù),

且a5cd=441,則a+8+c+"值是()

A.30B.32C.34D.36

°,.（第7屆希望杯試題）若戶慧箴"二1996199619971997

，c

1997199719981998'

則a、b、。大小關(guān)系是（）

A.a<b<.cB.b<c<aC.c<-b<aD.a<c<b

05.(1+')(1+')(1+,)(1+11

)(1+?）的值得整數(shù)

1x32x43x51998x20001999x2001

部分為（）

A.1B.2C.3D.4

06.(—2)20°4+3X(—2)2?！?的值為()

B22003_22004

C.D.22004

07.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）若〔以|=勿+1,則(4%+1)2°°4

08.-+(-+-)+(-+-+-)+…+(-+-+???+—)

233444606060

cc1919197676

09--------------------=

*7676761919

10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=

11.求32°°以72°°2><IB?。。,所得數(shù)的末位數(shù)字為

12.已知(a+8)?+|8+51=8+5,且|28—8-1|=0,求

13?計(jì)算(康T)喘T)(康T)就7)(比T)

14.請(qǐng)你從下表歸納出l3+20+30+43H---\-n的公

式并計(jì)算出13+23+33+4'+…+10()3的值.

第03講有理數(shù)的乘除、乘方

考點(diǎn)?方法?破譯

1.理解有理數(shù)的乘法法則以及運(yùn)算律，能運(yùn)用乘法法則準(zhǔn)確地進(jìn)行

有理數(shù)的乘法運(yùn)算，會(huì)利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化乘法運(yùn)算.

2.掌握倒數(shù)的概念，會(huì)運(yùn)用倒數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3.了解有理數(shù)除法的意義，掌握有理數(shù)的除法法則，熟練進(jìn)行有理

數(shù)的除法運(yùn)算.

4.掌握有理數(shù)乘除法混合運(yùn)算的順序，以及四則混合運(yùn)算的步驟，

熟練進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算.

5.理解有理數(shù)乘方的意義，掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則，進(jìn)一

步掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】計(jì)算⑴1x(」)⑵上!(3)(-l)x(--)(4)2500x0

242424

【解法指導(dǎo)】掌握有理數(shù)乘法法則，正確運(yùn)用法則，一是要體會(huì)并掌

握乘法的符號(hào)規(guī)律，二是細(xì)心、穩(wěn)妥、層次清楚，即先確定積的符號(hào)，

后計(jì)算絕對(duì)值的積.

解:(l)lx(-l)=-(|xl)=-l⑵衿

【變式題組】

01.(1)(-5)x(-6)(2)(-1)xl|(3)

(-8)x(3.76)x(-0.125)

24

2?(-9—)x50

3.(2x3x4x5)x(-)

2345

4.(—5)x3；+2x3：+(—6)x3：

【例2】已知兩個(gè)有理數(shù)a、b,如果加V。，支a+bVO,則()

A.a>0,8<0B.aVO,6>0

C.a、6異號(hào)D.a、8異號(hào)且負(fù)數(shù)的

絕對(duì)值較大

【解法指導(dǎo)】依有理數(shù)乘法法則，異號(hào)為負(fù)，故a、6異號(hào)，又依加

法法則，異號(hào)相加取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，可得出判斷.

解：由加<。知a、8異號(hào)，又由a+b<0,可知異號(hào)兩數(shù)之和為

負(fù)，依加法法則得負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大，選〃

【變式題組】

01.若a+b+c=O,且bVcVO,則下列各式中，錯(cuò)誤的是()

A.a+Z?>0B.b-\-c<0C.aZ?+ac>0D.a

+Z?c>0

02.已矢口a+b>0,a-b<0,abVO,貝lja0,b0,

03.(山東煙臺(tái))如果a*8V。，->0,則下列結(jié)論成立的是()

A.a>0,b>0B.aVO,8<OC.a>0,b<0

D.a<0,Z?>0

04.（廣州）下列命題正確的是（）

A.若ab>0,貝?。輆>0,Z?>0B.若a8<0,

則a<0,8Vo

C.若ab=G,則a=0或5=0D.若ab=G,

則a=0且b=G

［例3］計(jì)算

【解法指導(dǎo)】進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，若不能整除，應(yīng)用法則1,先

把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再確定符號(hào)，然后把絕對(duì)值相乘，要注意除法及

乘法互為逆運(yùn)算.若能整除，應(yīng)用法則2,可直接確定符號(hào)，再把絕

對(duì)值相除.

W：(1)(—72)+(—18)=72+18=4(2)

l-(-21)=l-(-^)=lx(-1)=-1

【變式題組】

01.(1)(—32)+(—8)(2)2；十(一1》⑶0+(-2g)(4)

13

(一)+(-1一)

78

131

02.(1)29-3x-(2)(-1)x(-3-)+(-1/+3(3)

0-(--)x-

35

113

03.M(-：)+(1-0.2+1)X(-3)

245

【例4】(茂名)若實(shí)數(shù)a、5滿足含+芻=0,則優(yōu)=.

【解法指導(dǎo)】依絕對(duì)值意義進(jìn)行分類討論，得出a、6的取值范圍，

進(jìn)一步代入結(jié)論得出結(jié)果.

解：當(dāng)勵(lì)〉。，苫+《=j2(a>0,b>0)當(dāng)MV0,?+_L=0,：.ab<

|a|\b\［—2(a<0,b<0)同例

0,從而g=—1.

\ab\

【變式題組】

01.若“是有理數(shù)，則(//幺A)的結(jié)果是()

A.正數(shù)B.0C.負(fù)數(shù)D.非

負(fù)數(shù)

02.若48都是非零有理數(shù)，則/+的值是多少？

\a\\b\ab

03.如果忖+團(tuán)=0,試比較上及孫的大小.

尤yy

3

［例5］已知必=(_2)2?3=_1⑴求肛2。。8的值；⑵求擊的值.

【解法指導(dǎo)】屋表示〃個(gè)a相乘，根據(jù)乘方的符號(hào)法則，如果a為正

數(shù)，正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，如果a是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，

負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù).

解：%2=(—2)2,/=-1⑴當(dāng)x=2,y=—1時(shí)，肛2。。8=2(_1)20。8=2

當(dāng)尤=-2,y=-1時(shí)，孫2008=(_2)x(_1)2。。8=_2

⑵當(dāng)％=2，產(chǎn)T時(shí)，W=$^=8，x=-2,y=-l時(shí)，^=^^=-8

【變式題組】

01.（北京）若忱-4+（%2『=0,則/的值是.

02.已知人p互為倒數(shù)，且絕對(duì)值相等，求（-4-/1的值，這里n

是正整數(shù).

【例6］（安徽）2007年我省為135萬(wàn)名農(nóng)村中小學(xué)生免費(fèi)提供教科

書，減輕了農(nóng)民的負(fù)擔(dān)，135萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.135X106B.1.35X106C.0.135X107

D.1.35X107

【解法指導(dǎo)】將一個(gè)數(shù)表示為科學(xué)記數(shù)法的aXlff的形式，其中a

的整數(shù)位數(shù)是1位.故答案選B.

【變式題組】

01.（武漢）武漢市今年約有103000名學(xué)生參加中考，103000用科

學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.03X105B.0.103X105C.10.3X104

D.103X103

02.（沈陽(yáng)）沈陽(yáng)市計(jì)劃從2008年到2012年新增林地面積253萬(wàn)畝，

253萬(wàn)畝用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.25.3X1C）5畝B.2.53X106畝C.253X10、畝

D.2.53X10,畝

【例7】（上海競(jìng)賽）

［解法指導(dǎo)】找出左2_1004+5000的通項(xiàng)公式=（k-5O）2+5O2

后土_I222k299"

222222

(1-50)2+502(2-50)+50(Jt-50)+50(99-50)+50

49z+5F+502

(49-50)2+502+(51-50)2+502+(50-50)2+5022+2+…+2+1

49個(gè)

99

【變式題組】

1---3---------+-------3-----+-------3-----+-------3-----

2+4+6H-----F10042+4+6H----Fl0062+4+6H-----Hl0082+4+6H----F2006

，1

Ac.

1003334

1

D.

TOGO

2.（第10屆希望杯試題）已知《+：++擊+高=1?求

111J__J_111

----+——+的值.

2581120411101640

演練鞏固-反饋提高

01.三個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

41個(gè)夕.2個(gè)a3個(gè)

D.1個(gè)或3個(gè)

02.兩個(gè)有理數(shù)的和是負(fù)數(shù)，積也是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)（）

A.互為相反數(shù)B.其中絕對(duì)值大的數(shù)是正

數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)

C都是負(fù)數(shù)D.其中絕對(duì)值大的數(shù)是負(fù)

數(shù)，另一個(gè)是正數(shù)

03.已知abc>0,a>0,ac<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b<Q,c>QB.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b

>0,c>Q

04.若|a引=a8,則（）

A.ab>0B.C.HVO,Z?<0D.ab

<0

05.若a、8互為相反數(shù)，c、"互為倒數(shù)，力的絕對(duì)值為2,則代數(shù)

式m-cd+"+"的值為（）力.—3B.1

m

C.+3D.—3或1

06.若a〉L,則a的取值范圍（）

a

A.a>lB.0<a<lC.a>—1D.-l<a

<0或a>l

07.已知a、8為有理數(shù)，給出下列條件：①a+b=O；（2）a-b=0；

③ab<0；④巴=-1,其中能判斷a、8互為相反數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

b

1個(gè)夕.2個(gè)C.3個(gè)

4個(gè)

08.若abNO,則苫+二的取值不可能為（）

A.0B.1C.2D.-2

09.（-2）"+（-2）|。的值為（）

A.-2B.（-2）21C.0

D.-210

10.（安徽）2010年一季度，全國(guó)城鎮(zhèn)新增就業(yè)人數(shù)289萬(wàn)人，用科

學(xué)記數(shù)法表示289萬(wàn)正確的是（）

A.2.89X107B.2.89X106C.2.89X105

D.2.89X104

11.已知4個(gè)不相等的整數(shù)a、b、c.d,它們的積貝Ua/

b+c+d=.

12.（-1）2向+（-1）2"+（—1）21（〃為自然數(shù)）=.

13.如果?+?=2,試比較—工及孫的大小.

%yy

14.若a-、c為有理數(shù)且自+#1，求瞪|的值?

15.若a、b、c均為整數(shù)，且,+|c—a『=1.求|a—4+|c—4+物一同的

值.

培優(yōu)升級(jí)-奧賽檢測(cè)

oi.已知有理數(shù)小八z兩兩不相等，則q,4,二中負(fù)數(shù)的個(gè)

y-zz-xx-y

數(shù)是（）

41個(gè)4.2個(gè)C.3個(gè)

D.0個(gè)或2個(gè)

02.計(jì)算點(diǎn)-1=1,22—1=3,23—1=7,2，—1=15,25-1=31…歸納各計(jì)算結(jié)果中

的個(gè)位數(shù)字規(guī)律，猜測(cè)2如?！?的個(gè)位數(shù)字是（）

A.1B.3C.7

D.5

03.已知