1.1等腰三角形（第3課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)課題等腰三角形教學(xué)目標(biāo)（1）會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界：通過(guò)探索等腰三角形判定定理，學(xué)生能夠從幾何圖形中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，理解等腰三角形的判定條件，并將其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。（2）會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界：通過(guò)反證法的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運(yùn)用邏輯推理和逆向思維，理解并掌握反證法的基本思路，提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性。（3）會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界：學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述等腰三角形的判定定理及反證法的證明過(guò)程，并通過(guò)書(shū)面和口頭表達(dá)清晰闡述數(shù)學(xué)推理過(guò)程。重難點(diǎn)（1）理解并掌握等腰三角形的判定定理，能夠靈活運(yùn)用“等角對(duì)等邊”進(jìn)行證明。（2）初步掌握反證法的基本思路，能夠在簡(jiǎn)單的情境中運(yùn)用反證法進(jìn)行推理和證明。教學(xué)方式與策略講授法、實(shí)驗(yàn)法、討論法、發(fā)現(xiàn)法教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知問(wèn)題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？（生：等腰三角形性質(zhì)定理是說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也相等。題設(shè)是一個(gè)三角形有兩條邊相等，結(jié)論是這兩條邊所對(duì)的角相等。）問(wèn)題2.我們是如何證明上述定理的？（學(xué)生回憶并描述上節(jié)課的證明方法，老師可以提示學(xué)生注意輔助線的使用以及全等三角形的應(yīng)用。）【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)問(wèn)題回顧等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明思路，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行小組交流討論。二、思考探究，獲取新知1.探索等腰三角形的判定定理問(wèn)題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等嗎？（學(xué)生分組討論，嘗試構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證，并記錄自己的觀察結(jié)果。）（生：我們發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊確實(shí)也相等。）歸納結(jié)論：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）（老師在黑板上畫(huà)圖并標(biāo)注，引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定理。）【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生的自主探索和驗(yàn)證，讓他們更深入地理解等腰三角形的判定定理，培養(yǎng)幾何直觀能力。2.了解反證法小明的想法：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等。你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？（展示學(xué)生的推理過(guò)程）如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等。假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C?！啊螩=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。進(jìn)一步舉例：要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用類(lèi)似的證法。假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個(gè)直角。引導(dǎo)學(xué)生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點(diǎn)呢？（學(xué)生討論后回答：都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與已知公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立。）歸納結(jié)論：這種證明方法稱為反證法?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體例子和學(xué)生討論，讓學(xué)生掌握反證法的基本思路和應(yīng)用方法，提高邏輯推理能力。三、運(yùn)用新知，深化理解例題1題目：已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2。求證：AB=AC。證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C?！郃B=AC（等角對(duì)等邊）。（老師詳細(xì)講解步驟，學(xué)生跟隨老師的步驟在草稿紙上繪制圖形并標(biāo)記。）教師引導(dǎo)：在這一步驟中，我們要利用平行線的性質(zhì)來(lái)得出角的關(guān)系，再結(jié)合已知條件推導(dǎo)出最終結(jié)論。請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳细L制圖形，標(biāo)記角度。例題2題目：如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB=12，AC=18，求△AMN的周長(zhǎng)。解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD?！進(jìn)N∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD?！唷螹DB=∠MBD,∠NDC=∠NCD?！郙B=MD,NC=ND。∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=30。（老師逐步講解每一步的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)平分線和線段比例的關(guān)系。）教師引導(dǎo)：在這個(gè)問(wèn)題中，我們需要用到角平分線和平行線的性質(zhì)來(lái)確定線段的關(guān)系，再計(jì)算△AMN的周長(zhǎng)。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察圖形，并理解每一步的推理過(guò)程。例題3題目：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形。解：∵S△ABC=(AB?CE)/2=(AC?BD)/2且BD=CE，∴AB=AC?！唷鰽BC是等腰三角形。（老師詳細(xì)講解面積公式和等腰三角形的定義，幫助學(xué)生理解幾何關(guān)系。）教師引導(dǎo)：這個(gè)問(wèn)題涉及到了三角形面積的計(jì)算方法，通過(guò)面積公式我們可以得出邊的關(guān)系，從而證明△ABC是等腰三角形。請(qǐng)大家注意面積公式的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化。例題4題目：如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求證：△ADE是等腰三角形。證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C?！唷螪=∠E?！唷鰽DE是等腰三角形。（老師講解平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的定理。）教師引導(dǎo)：在這個(gè)問(wèn)題中，我們利用了平行線和平等角的關(guān)系，通過(guò)等角對(duì)等邊的定理來(lái)證明△ADE是等腰三角形。請(qǐng)大家注意觀察圖形和推理過(guò)程。例題5題目：垂直于同一條直線的兩條直線平行。證明：假設(shè)a、b不平行，那么a、b相交?！遖⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°?！唷?+∠2=180°。而a、b相交，則∠1+∠2≠180°與∠1+∠2=180°相矛盾。∴假設(shè)不成立。即：垂直于同一條直線的兩條直線平行。（老師通過(guò)具體例子幫助學(xué)生理解反證法的應(yīng)用。）教師引導(dǎo)：通過(guò)反證法，我們可以證明某些幾何命題。請(qǐng)同學(xué)們注意這種證明方法的應(yīng)用，并理解它的邏輯性?！窘虒W(xué)說(shuō)明】學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再進(jìn)行小組交流，逐步培養(yǎng)他們應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)的判定的區(qū)別和聯(lián)系：性質(zhì)定理：在一個(gè)等腰三角形中，兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角也相等。判定定理：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等。（生：性質(zhì)定理是從等邊得出等角，而判定定理是從等角得出等邊。兩者互為逆命題。）五、布置