高中數(shù)學(xué)第二章點直線平面之間的位置關(guān)系2.32.3.1直線與平面垂直的判定

2.3直線、平面垂直判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直判定目標定位

1.了解直線與平面垂直定義.2.掌握直線與平面垂直判定定理.3.了解直線與平面所成角概念，并能處理簡單線面角問題.1/281.直線與平面垂直相關(guān)概念自

主

預(yù)

習(xí)(1)定義：假如直線l與平面α內(nèi)_____一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直，記作______.(2)相關(guān)概念：若直線l與平面α垂直，其中直線l叫做平面α_______，平面α叫做直線l______.直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做______.任意l⊥α垂線垂足垂面2/28(3)圖形語言：(畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與平面平行四邊形一邊垂直)如圖所表示.(4)符號語言：任意a?α，都有l(wèi)⊥a?l⊥α.其中“任意直線”等同于“全部直線”.3/282.直線和平面垂直判定定理(1)文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)兩條______直線都垂直，則該直線與此平面垂直.(2)圖形語言：如圖所表示.相交(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.4/283.直線和平面所成角平面一條______和它在平面上射影所成______，叫做這條直線和這個平面所成角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成角是_____.綜上，直線與平面所成角范圍___________.斜線銳角0°[0°，90°]5/28即

時

自

測1.判斷題(1)若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.()(2)若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直，則l⊥α.()(3)若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直直線.(

)(4)過一點和已知平面垂直直線有且只有一條.(

)×√×√提醒(1)當直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直時，l與α不一定垂直.(3)當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直.6/282.長方體ABCD－A1B1C1D1中，以下不是平面ABCD垂線是(

)A.AA1 B.BB1

C.CC1 D.AD1解析由長方體性質(zhì)可知AD1不垂直于平面ABCD.答案D7/283.以下條件中，能判定直線l⊥平面α是(

)A.l與平面α內(nèi)兩條直線垂直B.l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直C.l與平面α內(nèi)某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直解析依據(jù)線面垂直定義，可知l垂直于α內(nèi)全部直線時，l⊥α.答案D8/284.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成角等于________.解析BB1⊥平面ABCD，∴∠BAB1即為直線AB1與平面ABCD所成角，且∠BAB1＝45°.答案45°9/28類型一直線和平面垂直定義【例1】

以下命題中，正確序號是________.①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也能夠有沒有數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直.解析當l與α內(nèi)一條直線垂直時，不能確保l與平面α垂直，所以①不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；依據(jù)線面垂直定義，若l⊥α則l與α全部直線都垂直，所以④正確.答案③④10/28規(guī)律方法1.直線和平面垂直定義是描述性定義，對直線任意性要注意了解.實際上，“任何一條”與“全部”表示相同含義.當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)任何直線.由此可知，假如一條直線與一個平面內(nèi)一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直.2.由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.11/28【訓(xùn)練1】

設(shè)l，m是兩條不一樣直線，α是一個平面，則以下命題正確是(

)A.若l⊥m，m?α，l⊥α

B.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，m?α，則l∥m D.若l∥α，m∥α，則l∥m解析對于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對于B，因l⊥α，則l垂直α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面；對于D，l，m還可能相交或異面.答案B12/28類型二線面垂直判定【例2】

如圖所表示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1中點.求證：AD⊥平面A1DC1.13/28∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知計算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.證實∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，顯然A1C1?平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，14/28規(guī)律方法證線面垂直方法有三類(1)線線垂直證實線面垂直：①定義法(不慣用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理最慣用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作輔助線)；結(jié)合平面圖形性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.15/28【訓(xùn)練2】

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC中點，O是底面ABCD中心，求證：EF⊥平面BB1O.證實∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC中位線，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.16/28類型三直線與平面所成角(互動探究)【例3】

如圖所表示，三棱錐A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成角.[思緒探究]探究點一直線與平面所成角范圍是什么？提醒直線和平面垂直時，直線與平面所成角是直角，為90°；直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時，直線與平面所成角為0°；直線是平面斜線時，直線與平面所成角是銳角，范圍(0°，90°).所以直線與平面所成角范圍是[0°，90°].17/28探究點二求斜線與平面所成角步驟是什么？提醒求斜線與平面所成角步驟：一作，找出射影，作出角；二證，證實作出角即為所求；三算，在三角形中求角；四答，作答.解因為∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形.所以AB＝AC.如圖所表示，取BC中點D，18/2819/28規(guī)律方法1.求直線和平面所成角步驟：(1)尋找過斜線上一點與平面垂直直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上射影，斜線與其射影所成銳角即為所求角；(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，經(jīng)過解三角形，求出該角.2.在上述步驟中，作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)射影是作角關(guān)鍵，幾何圖形特征是找射影依據(jù)，圖形中特殊點是突破口.20/28【訓(xùn)練3】

如圖所表示，Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角正弦值.解由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB內(nèi)射影為AC.∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，21/2822/28[課堂小結(jié)]1.直線和平面垂直判定方法：(1)利用線面垂直定義；(2)利用線面垂直判定定理；(3)利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2.線線垂直判定方法：(1)異面直線所成角是90°；(2)線面垂直，則線線垂直.23/283.求線面角慣用方法：(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行線或面)；(3)等積法(三棱錐變換頂點，屬間接求法).24/281.一條直線和三角形兩邊同時垂直，則這條直線和三角形第三邊位置關(guān)系是(

)A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定解析由題意可知，該直線垂直于三角形所確定平面，故這條直線和三角形第三邊也垂直.答案B25/282.假如一條直線垂直于一個平面內(nèi)以下各種情況，能確保該直線與平面垂直是(

)①三角形兩邊；②梯形兩邊；③圓兩條直徑；④正六邊形兩條邊.A.①③ B.② C.②④ D.①②④解析由線面垂直判定定理知，直線垂直于①③圖形所在平面，對于②④圖形中兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在平面不一定垂直.答案

A26/28答案30